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高中数学


高中必修 5 线性规划
简单的线性规划问题 一、知识梳理 1. 目标函数: P =2x+y是一个含有两个变 量 x 和y 的 函数,称为目标函数. 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点. 4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 通常称为线性 规划问题.只含有两个变量的简单线性规划问题可用图

解法来解决. 5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划. 二、疑难知识导析 线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、 经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力、财务 等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给一项任务,如何合理安排和 规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域,要将边界画成虚线. 2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法,常用的一种方法是“选点法”:任选 一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满足所给的不等式,若适合,则该点所在的一侧即 为不等式所表示的平面区域; 否则, 直线的另一侧为所求的平面区域. 若 直 线 不 过 原点, 通 常 选 择 原 点 代入检验. 3. 平 移 直 线 y=-kx +P时,直线必须经过可行域. 4.对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此 时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点. 5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什 么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的:(1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;(3)在可行域内求目标函数的最优解.

积储知识: 一. 1.点 P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 上,则点 P 坐标适合方程,即 Ax0+By0+C=0 2. 点 P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 上方 (左上或右上) , 则当 B>0 时, Ax0+By0+C>0;当 B<0 时, Ax0+By0+C<0 3. 点 P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 下方 (左下或右下) , 当 B>0 时, Ax0+By0+C<0;当 B<0 时, Ax0+By0+C>0 注意: (1)在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得实数的符号都相同, (2)在直线 Ax+By+C=0 的两侧的两点,把它的坐标代入 Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即:1.点 P(x1,y1)和点 Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0 的同侧,则有(Ax1+By1+C) (Ax2+By2+C)>0 2.点 P(x1,y1)和点 Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0 的两侧,则有(Ax1+By1+C) ( Ax2+By2+C)<0 二.二元一次不等式表示平面区域: ①二元一次不等式 Ax+By+C>0(或<0)在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的 平面区域. 不 包括边界; . ②二元一次不等式 Ax+By+C≥0(或≤0)在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成 的平面区域且包括边界; 注意:作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域 原因:由于对在直线 Ax+By+C=0 的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得到的实 数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当 C≠0 时,常把原点作为特殊点,当 C=0 时,可用 (0,1)或(1,0)当特殊点,若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域,否则是另 一侧区域为需画区域。
用心 爱心 专心 1

方法二:利用规律: 1.Ax+By+C>0,当 B>0 时表示直线 Ax+By+C=0 上方(左上或右上), 当 B<0 时表示直线 Ax+By+C=0 下方(左下或右下); 2.Ax+By+C<0,当 B>0 时表示直线 Ax+By+C=0 下方(左下或右下) 当 B<0 时表示直线 Ax+By+C=0 上方(左上或右上)。 四、线性规划的有关概念: ①线性约束条件: ②线性目标函数: ③线性规划问题: ④可行解、可行域和最优解: 典型例题一--------画区域 1. 用不等式表示以 A(1 , 4) , B(?3 , 0) , C (?2 , ? 2) 为顶点的三角形内部的平面区域. 分析: 首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出, 然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。 解:直线 AB 的斜率为: k AB ? 4 ? 0 ? 1 ,其方程为 y ? x ? 3 . 1 ? (?3) 可求得直线 BC 的方程为 y ? ?2 x ? 6 .直线 AC 的方程为 y ? 2 x ? 2 . ?ABC 的内部在不等式 x ? y ? 3 ? 0 所表示平面区域内,同时在不等式 2 x ? y ? 6 ? 0 所表示的平面区域内,同时又在不等式 2 x ? y ? 2 ? 0 所表 示的平面区域内(如图) .
? x ? y ? 3 ? 0, 所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组 ? ?2 x ? y ? 6 ? 0, 表示. ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

说明:用不等式组可以用来平面内的一定区域,注意三角形区域内部不包括边界线. 2 画出 2 x ? 3 ? y ? 3 表示的区域,并求所有的正整数解 ( x , y ) .

? x ? 0, y ? 0, ? x ? z, y ? z, ? y ? 2 x ? 3, 解:原不等式等价于 ? 而求正整数解则意味着 x , y 还有限制条件,即求 ? . ? y ? 2 x ? 3 , ? y ? 3. ? ? ? y ? 3.
依照二元一次不等式表示的平面区域, 知 2 x ? 3 ? y ? 3 表示的区域如下图: 对于 2 x ? 3 ? y ? 3 的正整数解,容易求 得,在其区域内的整数解为 (1 , 1) 、 (1 , 2) 、 (1 , 3) 、 (2 , 2) 、 (2 , 3) . 3 设 x ? 0 , y ? 0 , z ? 0 ; p ? ?3x ? y ? 2 z ,

q ? x ? 2 y ? 4z , x ? y ? z ? 1 , 用 图 表 示 出 点 ( p , q) 的范围. 分析:题目中的 p , q 与 x , y , z 是线性关系. 可借助于 x , y , z 的范围确定 ( p , q) 的范围.
x? (8 ? q ? 6 p ), ?3 x ? y ? 2 z ? ? p, ? 27 ? ? 解:由 ? x ? 2 y ? 4 z ? q, 得 ? 1 (14 ? 5q ? 3 p ), ?y ? ? x ? y ? z ? 1, 27 ? ? 1 ? ? z ? 27 (5 ? 4 p ? 3q ), ? ? 1

?6 p ? q ? 8 ? 0, ? 由 x ? 0 , y ? 0 , z ? 0 得 ?3 p ? 5q ? 14 ? 0, 画出不等式组所示平面 ?3 p ? 4q ? 5 ? 0, ?
用心 爱心 专心 2

区域如图所示. 说明:题目的条件隐蔽,应考虑到已有的 x , y , z 的取值范围.借助于三元一次方程组分别求出 x , y , z ,从而求出 p , q 所满足的不等式组找出 ( p , q) 的范围. 4、已知 x,y,a,b 满足条件: x ? 0, y ? 0, a ? 0, b ? 0 ,2x+y+a=6,x+2y+b=6 (1)试画出( x, y )的存在的范围; (2)求 2 x ? 3 y 的最大值。 典型例题二------画区域,求面积 例 3 求不等式组 ?

? ? y ? x ?1 ?1 所表示的平面区域的面积. ? ? y ? ? x ?1

分析:关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来,判断其形状进而 求出其面积.而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等 式进行化简和变形,如何变形?需对绝对值加以讨论. 解:不等式 y ? x ? 1 ?1 可化为 y ? x( x ? ?1) 或 y ? ? x ? 2( x ? ?1) ; 不等式 y ? ? x ? 1可化为 y ? ? x ? 1( x ? 0) 或 y ? x ? 1( x ? 0) . 在平面直角坐标系内作出四条射线:

AB:y ? x( x ? ?1) , AC:y ? ? x ? 2( x ? ?1) DE:y ? ? x ? 1( x ? 0) , DF:y ? x ? 1( x ? 0) 则不等式组所表示的平面区域如图,由于 AB 与 AC 、 DE 与 DF 互相垂直,所以平面区域是一个矩形.
根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为 典型例题三------求最值 一、与直线的截距有关的最值问题

3 2 3 2 和 .所以其面积为 . 2 2 2

z ? Ax ? By ? C
(?1, 2)

y
B

A

(2 , 4)

1.如图 1 所示,已知 ? ABC 中的三顶点 A(2 , 4) , B( ?1, 2) , C(1, 0) , 点 P( x , y ) 在 ? ABC 内部及边界运动,请你探究并讨论以下问题: ① z ? x ? y 在 点 A 处有最大值 6 ,在边界 BC 处有最小值 1 ; ② z ? x ? y 在 点 C 处有最大值 1 ,在 点 B 处有最小值 ?3

0

C (1, 0) (图 1)

x

y
B

A

y
(2 , 4)

x ? y ? ?3 A

(2 , 4)

(?1, 2)

x? y ?6

(?1, 2)

B

x ? y ?1

0

C (1, 0)
x ? y ?1

x
( 图2 )

0

C (1, 0)

x

?2 x ? y ? 12 ? 0, 2 若 x 、 y 满足条件 ? 求 z ? x ? 2 y 的最大值和最小值. ?3 x ? 2 y ? 10 ? 0, ? x ? 4 y ? 10 ? 0. ?
分析:画出可行域,平移直线找最优解. 解:作出约束条件所表示的平面区域,即可行域,如图所示.

z 1 1 1 x ? z ,它表示斜率为 ? ,纵截距为 的平行直线系,当它 2 2 2 2 在可行域内滑动时,由图可知,直线 l 过点 A 时, z 取得最大值,当 l 过点 B 时, z 取得最小值.
作直线 l : x ? 2 y ? z ,即 y ? ? ∴

zmax ? 2 ? 2 ? 8 ? 18
用心



zmin ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2
爱心 专心 3

注: z ? Ax ? By 可化为 y ? ?

A z A z x ? 表示与直线 y ? ? x 平行的一组平行线,其中 为截距,特别注 B B B B

意:斜率范围及截距符号。即注意平移直线的倾斜度和平移方向。 变式:设 x,y 满足约束条件 ? x ? 4 y ? ?3

? ?3 x ? 5 y ? 25 ? x ?1 ?

分别求:(1)z=6x+10y,(2)z=2x-y,(3)z=2x-y,的最大值,最小值。 二、与直线的斜率有关的最值问题

z?

y ? y0 表示定点 P(x0,y0)与可行域内的动点 M(x,y)连线的斜率. x ? x0

? x ? y ? 2 ≤ 0, y 例 2 设实数 x, y 满足 ? ,则 z ? 的最大值是__________. ? x ? 2 y ? 4 ≥ 0, x ? 2 y ? 3 ≤ 0, ?
解析:画出不等式组所确定的三角形区域 ABC, z ?

y y?0 ? 0) P( x,y) 确定的直线的斜 表示两点 O(0,, x x?0

率,要求 z 的最大值,即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值. 可以看出直线 OP 的斜率最大,故 P 为 x ? 2 y ? 4 ? 0 与 2 y ? 3 ? 0 的交点,

y
B

A

3 ? 3? 即 A 点.∴ P ?1 , ? .故答案为 . 2 ? 2?
3.如图 1 所示,已知 ? ABC 中的三顶点 A(2 , 4) , B( ?1, 2) , C(1, 0) , 点 P( x , y ) 在 ? ABC 内部及边界运动,请你探究并讨论以下问题:

(2 , 4)

(?1, 2)

0

C (1, 0) (图 1)

x

y ?1 2y ? 3 若目标函数是 z ? 或z ? ,你知道其几何意义吗?你能否借助其几何 x x ?1

意 义 求 得 zm i n和

zmax ?
三、与距离有关的最值问题

z ? ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 或z ? ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 或z ? x 2 ? y 2 ? Ax ? By ? C (配方)的结构表示定
点 Q (x0,y0)到可行域内的动点 N(x,y)的距离的平方或距离。
2 2 1.已知 x ? y ? 5 ? 0 , x ? y ? 10 ? 0 .求 x ? y 的最大、最小值.

2 2 分析:令 z ? x ? y ,目标函数是非线性的.而 z ? x ? y ?
2 2

?x

2

? y 2 可看做区域内的点到原点距离

?

2

的平方.问题转化为点到直线的距离问题. 解 : 由 ?

? x ? y ? 5 ? 0, 得 可 行 域 ( 如 图 所 示 ) 为 ? x ? y ? 10 ? 0,
2

z ? x2 ? y2 ?

?x

? y 2 ,而 (0 , 0) 到 x ? y ? 5 ? 0 , x ? y ? 10 ? 0 的

?

2

用心

爱心

专心

4

距离分别为

25 5 10 和 . 所以 z 的最大、最小值分别是 50 和 . 2 2 2

? x ? y ? 2 ≥ 0, ? 2.已知 ? x ? y ? 4 ≥ 0,求 z ? x2 ? y 2 ? 10 y ? 25 的最小值 ? 2 x ? y ? 5 ≤ 0, ?
解析:作出可行域如图 3,并求出顶点的坐标 A(1,3) 、B(3,1) 、C(7,9) .而 z ? x2 ? ( y ? 5)2 表示 可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的平方,过 M 作直线 AC 的垂线,易知垂足N在线段 AC 上,故 z 的最小值是 MN
2

?

9 . 2

y
C(1,22/5)

练习:1..给出平面区域如右图所示,若使目标函数 z=ax+y (a > 0 )取得最大 值的最优解有无穷多个,则 a 的值为(B ) A.

1 4

B.

3 5

C.4

D.

5 3

A(5,2) B(1,1)

? x ? 3, ? 2、在坐标平面上,不等式组 ? x ? y ? 0 所表示的平面区域的面积为 ?x ? y ? 2 ? 0 ?

o

x

3.三角形三边所在直线分别为 x-y+5=0,x+y=0,x-3=0,求表示三角形内部区域的不等式组.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 4..已知 ? x ? y ? 4 ? 0 ,求 z ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?

?| x ? 2 y ? 4 | 的最大值为



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5


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