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二次函数


一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:一般地,形如 函数,叫做二次函数。 2. 二次函数的结构特征: ⑴ ⑵ ( 是常数, )的

二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式: a 的绝对值越 ,抛物线的 。

a 的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴



性质

2. 二次函数基本形式: 是由 进行

而得来的。

a 的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

3. 二次函数基本形式: 是由 进行

而得来的。

a 的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

4. 二次函数基本形式: 是由 进行

而得来的。

a 的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

5. 二次函数基本形式: 是由 进行

而得来的。

a 的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

三、二次函数 y ? a ? x ? h? ? k 与 y ? ax2 ? bx ? c 的比较:
2

从解析式上看,y ? a ? x ? h? ? k 与 y ? ax2 ? bx ? c 是
2

, 后者通过 ,k=

可 .

以得到前者, 即后者配方为:

, 所以 h=

四、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式: y ? ax2 ? bx ? c ( a , b , c 为常数, a ? 0 ) ; 2. 顶点式: y ? a( x ? h)2 ? k ( a , h , k 为常数, a ? 0 ) ; 3. 两根式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 , x1 , x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标). 注意: 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式, 但并非所有的二次函数都可以写 2 成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 b ? 4ac ? 0 时,抛物线的解析式才可以用交 点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数 a 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 中, a 作为二次项系数,显然 a ? 0 . ⑴ 当 a ? 0 时,抛物线开口向上, a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越 大; ⑵ 当 a ? 0 时,抛物线开口向下, a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越 大. 总结起来, a 决定了抛物线开口的大小和方向, a 的正负决定开口方向, a 的大小决 定开口的大小. 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下, b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在 a ? 0 的前提下, 当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ?

b ? 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧; 2a b ? 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; 2a

b ? 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧. 2a ⑵ 在 a ? 0 的前提下,结论刚好与上述相反,即
当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ?

b ? 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧; 2a b ? 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; 2a

b ? 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧. 2a 总结起来,在 a 确定的前提下, b 决定了抛物线对称轴的位置.

ab 的符号的判定:对称轴 x ? ?

b 在 y 轴左边则 ab ? 0 ,在 y 轴的右侧则 ab ? 0 , 2a

概括的说就是“左同右异” 总结: 3. 常数项 c ⑴ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ;

⑶ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来, c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置. b, c 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 总之,只要 a , 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式, 通常利用待定系数法. 用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情 况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.

九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称
y? a2 x ? bx ? 关于 c x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?ax2 ? bx ? c ;

y ? a ? x ? h? ? k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? ? k ;
2
2

2. 关于 y 轴对称
y? a2 x ? bx ? 关于 c y 轴对称后,得到的解析式是 y ? ax2 ? bx ? c ;

y ? a ? x ? h? ? k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y ? a ? x ? h? ? k ;
2 2

3. 关于原点对称
y? a2 x ? bx ? 关于原点对称后,得到的解析式是 c y ? ?ax2 ? bx ? c ;

y ? a? x? ?h ? 关于原点对称后,得到的解析式是 k y ? ?a ? x ? h? ? k ;
2 2

4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转 180°)
y? a2 x ? bx ? 关于顶点对称后,得到的解析式是 c y ? ?ax2 ? bx ? c ?
2 2

b2 ; 2a

y ? a ? x ? h? ? k 关于顶点对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h? ? k .
n ? 对称 5. 关于点 ? m ,

n ? 对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? 2m? ? 2n ? k y ? a ? x ? h? ? k 关于点 ? m ,
2
2

根据对称的性质, 显然无论作何种对称变换, 抛物线的形状一定不会发生变化, 因此 a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适 的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确

定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.

十、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况): 一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 是二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 当函数值 y ? 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数: ① 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时, 图象与 x 轴交于两点 A? x1 , 其中的 x1 ,x2 0? , B ? x2 , 0? ( x1 ? x2 ) , 是一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0? a ? 0? 的两根.这两点间的距离

AB ? x2 ? x1 ?

b2 ? 4ac . a

② 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴只有一个交点; ③ 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴没有交点. 1' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 ; 2 ' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 . 2. 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 y 轴一定相交,交点坐标为 (0 , c ) ; 3. 二次函数常用解题方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 中 a ,b ,c 的符号,或由二次函数中 a ,
b , c 的符号判断图象的位置,要数形结合;

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或 已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式 ax2 ? bx ? c(a ? 0) 本身就是所含字母

x 的二次函数;下面以 a ? 0 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的 内在联系:
??0

抛物线与 x 轴有 两个交点 抛物线与 x 轴只 有一个交点 抛物线与 x 轴无 交点

二次三项式的值可正、 可零、可负 二次三项式的值为非负 二次三项式的值恒为正

一元二次方程有两个不相等实根 一元二次方程有两个相等的实数根 一元二次方程无实数根.

??0 ??0

二次函数图像参考:
y=2 x2 y=x2
y=2 x2 y=2(x-4)2
y=3 (x+4)2 y=3 x2 y=3 (x-2)2

x2 y= 2
y=2(x-4)2-3

y=2 x2+2

y=2 x2

y=2 x2-4

x2 y= 2

y= -x2

y=-2(x+3)2 y=-2x2 y=-2(x-3)2

y=-2x2


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