nbhkdz.com冰点文库

第一课时 等比数列的概念及通项公式

时间:2013-02-21


§3 等比数列

工具

第一章 数列

栏目导引

3.1 等比数列

工具

第一章 数列

栏目导引

第一课时 等比数列的概念及通项公式

工具

第一章 数列

栏目导引

1.理解等比数列的定义,能够应用定义判断一个数列是否 为等比数列. 2.掌握等比数列的通项公式,体会等比数列的通项公式与 指数函数的关系.

3.掌握等比中项的定义,能够应用等比中项的定义解决问
题.

工具

第一章 数列

栏目导引

1.对等比数列的定义,通项公式的考查是本课时的热点. 2.本课时内容常与函数、方程、不等式结合命题. 3.多以选择题和解答题的形式考查.

工具

第一章 数列

栏目导引

工具

第一章 数列

栏目导引

1.还记得等差数列的定义吗?从第二项起,每一项与其前 一项的差等于同一个常数的数列,称为等差数列. 2.等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d,是关于n的一次

函数式.
3.看下面两个数列

(1)已知数列{an}的前4项为2,4,8,16,则它的通项公式为an=
2n.

工具

第一章 数列

栏目导引

(2)若数列{an}的通项公式为an=3( 2)n-1,则其前4项依 次为3,3 2,6,6 2,第10项为48 2. 你能看出这两个数列的共同特点吗? (1)中{an}的每一项与它前一项之比均为2, (2)中{an}的每一项与它前一项之比均为 2.

工具

第一章 数列

栏目导引

1.等比数列的定义 如果一个数列从 第2项 等于 同一个常数 个常数叫做等比数列的 公比 起,每一项与它的前一项的比都 ,公比通常用字母 q 表示.

,那么这个数列叫做等比数列,这

工具

第一章 数列

栏目导引

2.等比数列的通项公式



设等比数列 {an} 的首项为 a1 ,公比为 q ,则它的通项公式 an a1qn-1 .
3.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使 a,G,b成等比数列 ,

那么G叫做a与b的等比中项,这三个数满足关系式 G2=ab

.

工具

第一章 数列

栏目导引

1.在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则公比q为(

)

A.2
C.4

B.3
D.8
3

a4 解析: ∵q =a =8.∴q=2. 1 答案: A

工具

第一章 数列

栏目导引

1 2.等比数列{an}中,a1= 8 ,q=2,则a4与a8的等比中 项是( ) B.4 1 D.4
1 n-1 n-4 由an= · 2 =2 知a4=1,a8=24,其等比中 8

A.± 4 1 C.± 4
解析: 项为± 4.

答案: A

工具

第一章 数列

栏目导引

9 1 2 3.若等比数列的首项为 ,末项为 ,公比为 ,则这 8 3 3 个数列的项数为________.
解析: ∴n=4. 9 ?2?n-1 1 an=8×?3? =3 ? ?

答案: 4

工具

第一章 数列

栏目导引

4.下面各数列是等比数列的是________. ①0,0,0,0,②1,-1,1,-1,1,-1,③- 2 2,4, ④a 1,a 2,a 3,a 4.
- - - -

2 ,2,-

解析: ①不是等比数列,②是公比为-1的等比数 列,③是公比为- 2 的等比数列,④是公比为a-1的等比数 列.
答案: ②③④

工具

第一章 数列

栏目导引

1 5.在等比数列{an}中,a2=- ,a6=-27,求{an}的 3 通项公式.
解析: 得 1 1 1 ? ? ? ?a1q=- , ?a1=- , ?a1= , 3 9 9 ? 解得? 或? 5 ? ? ? a q ? 1 =-27, ?q=3, ?q=-3. 方法一:设等比数列{an}的公比为 q,由已知

1 n-1 1 - ∴{an}的通项公式是an=- · 3 或an= · (-3)n 1. 9 9 即an=-3n-3或an=(-1)n-1· 3n-3.
工具
第一章 数列

栏目导引

1 4 方法二:∵a6=a2· q ,∴-27=-3· q,
4

∴q4=81,∴q=± 3, 据an=a2· q
n-2

1 n-2 1 ,有an=- · 3 或an=- · (-3)n-2, 3 3

即an=-3n-3或an=(-1)n-1· 3n-3.

工具

第一章 数列

栏目导引

工具

第一章 数列

栏目导引

在等比数列{an}中 20 (1)已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4= ,求an; 3 (2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.

可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组,求出a1和q,
再表示其他量.

工具

第一章 数列

栏目导引

[解题过程]

(1)方法一:设{an}的公比为 q,

a1q2=2 ? ? 则? 20 ,两式相除得 3 a1q+a1q = 3 ? ? q 3 1 2 = ,即 3q -10q+3=0,∴q=3或 3 1+q2 10
?1? - 1 当 q= 时,a1=18,∴an=18?3?n 1=2×33-n 3 ? ?

2 2 n-1 当 q=3 时,a1=9,∴an=9· 3 =2×3n-3

工具

第一章 数列

栏目导引

方法二:设等比数列{an}的公比为 q,则 q≠0, a3 2 a2= q =q,a4=a3q=2q, 2 20 1 ∴q+2q= 3 .解得 q1=3,q2=3. 1 当 q= 时,a1=18. 3
?1? - 18 n 1 ? ? ∴an=18× 3 = n-1=2×33-n. 3 ? ?

2 2 n-1 当 q=3 时,a1=9,∴an=9×3 =2×3n-3.

工具

第一章 数列

栏目导引

4 ? ?a2+a5=a1q+a1q =18, (2)方法一:因为? 2 5 ? a + a = a q + a q ? 3 6 1 1 =9,

1 所以两式相除得 q=2,从而 a1=32. 又 an=1,所以
?1? - 32?2?n 1=1, ? ?

即 26-n=20,所以 n=6.

方法二:因为 a3+a6=q(a2+a5), 1 所以 q= . 2 由 a1q+a1q4=18,知 a1=32. 由 an=a1qn-1=1,知 n=6.

工具

第一章 数列

栏目导引

[题后感悟 ]

(1)a1 , q 是等比数列的基本量,只要求出这两

个基本量,其他量便可迎刃而解.本例中方法一是根据已知条
件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方

法;方法二充分利用了各项之间的关系,直接求出q后,再求a1
最后求an,方法二带有一定的技巧性,能简化运算. (2)等比数列通项公式的推广 数列{an}为等比数列,公比为q,则an=amqn-m(m,n不分大 小).

工具

第一章 数列

栏目导引

1.在等比数列{an}中,
(1)a4=2,a7=8,求an; (2)a1,2(a1+a2),3(a1+a2+a3)成等差数列,求{an}的公比.
3 ? a = a q ? 4 1 ? (1)方法一: 因为 6 ? a = a q ? 7 1 3 ? a q ? 1 =2 , 所以? 6 ? ?a1q =8

解析:

① ②

② 3 3 由 得 q =4,从而 q= 4,而 a1q3=2, ①

工具

第一章 数列

栏目导引

2 1 于是 a1=q3=2, 所以 an=a1q
n-1

2n-5 =2 3 .

方法二:因为 a7=a4q3,所以 q3=4. 所以 an=a4q
n-4

? ?3 =2· ?

2n-5 ?n-4 ? 4? =2 3 .


(2)设等比数列{an}的公比为 q,则 an=a1qn 1, 又 a1,2(a1+a2),3(a1+a2+a3)成等差数列, 所以 4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),

工具

第一章 数列

栏目导引

1 已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=3(an-1)(n∈N+). (1)求a1,a2; (2)求证:数列{an}是等比数列.

工具

第一章 数列

栏目导引

[解题过程] 1 ∴a1=- . 2

1 1 (1)由S1= (a1-1),得a1= (a1-1), 3 3

1 1 1 又S2= (a2-1),即a1+a2= (a2-1),得a2= . 3 3 4 1 1 (2)证明:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3(an-1)-3(an-1-1), an 1 得 =- , 2 an-1 1 1 所以{an}是首项为-2,公比为-2的等比数列.

工具

第一章 数列

栏目导引

[题后感悟]

(1)已知 Sn 与 an 的关系, 在 n≥2 时, 往往得

到 an 与 an-1 的关系. (2)证明数列是等比数列常用的方法 an+1 an ①定义法: a =q(常数)或 =q(常数)(n≥2) an-1 n 等比数列. ②等比中项法:an+12=an· an+2(an≠0,n∈N+) 比数列. ③通项公式法:an=a1qn-1(其中 a1,q 为非零常数,n∈N+) {an}为等比数列. {an}为等 {an}为

工具

第一章 数列

栏目导引

2.已知等比数列{an}中,a1=1,公比为q(q≠0),且bn=an+
1-an.

(1)判断数列{bn}是否为等比数列?说明理由. (2)求数列{bn}的通项公式. 解析: (1)∵等比数列{an}中,a1=1,公比为q, ∴an=a1qn-1=qn-1(q≠0), 若q=1,则an=1,bn=an+1-an=0, ∴{bn}是各项均为0的常数列,不是等比数列.
工具
第一章 数列

栏目导引

bn+1 an+2-an+1 qn+1-qn qn?q-1? 若q≠1,由于 = = = = bn an+1-an qn-qn-1 qn-1?q-1? q, ∴{bn}是首项为b1=a2-a1=q-1,公比为q的等比数 列. (2)由(1)可知,当q=1时,bn=0; 当q≠1时,bn=b1qn-1=(q-1)· qn-1, ∴bn=(q-1)qn-1(n∈N+).

工具

第一章 数列

栏目导引

等比数列{an}的前三项的和为168,a2-a5=42,求a5,a7
的等比中项. [策略点睛]

工具

第一章 数列

栏目导引

[规范作答]

设该等比数列的公比为 q,首项为 a1,因
2 ? ?a1+a1q+a1q =168 q≠1, 由已知, 得? 4 ? ?a1q-a1q =42

为 a2-a5=42, 所以



2 ? ?a1?1+q+q ?=168, 所以? 3 ? a q ? 1 - q ?=42. ? 1

① ②

因为 1-q3=(1-q)(1+q+q2), 1 所以由②除以①,得 q(1-q)=4.

工具

第一章 数列

栏目导引

若G是a5,a7的等比中项,则应有 G2=a5a7=a1q4· a1q6=a12q10 =96
2

?1? ×?2?10=9. ? ?

所以a5,a7的等比中项是± 3.

工具

第一章 数列

栏目导引

[题后感悟]

G b 由等比中项的定义可知: = G2=ab G= a G

± ab.这表明:只有同号的两项才有等比中项,并且这两项 的等比中项有两个,它们互为相反数.异号的两数没有等比 G b 2 中项. 反之, 若 G =ab, 则 = , 即 a, G, b 成等比数列. 所 a G 以 a,G,b 成等比数列 G2=ab(ab≠0).

工具

第一章 数列

栏目导引

3 243 3.已知a,- ,b,- ,c这五个数成等比数列, 2 32 求a,b,c的值.
? 3? ? 243? ?3? =?-2?×?- 32 ?=?2?6, ? ? ? ? ? ?

解析: ∵b 27 ∴b=±8 .

2

? 3? 27 2 2 ? ? 当b= 8 时,ab= -2 ,∴a=3, ? ? ? 243? ? 3? 2 187 ?3?7 2 10 由bc=?- 32 ? =?-2? ,得c= =?2? . 128 ? ? ? ? ? ?

工具

第一章 数列

栏目导引

?3? 27 2 同理,当 b=- 8 时,a=-3,c=-?2?7. ? ?

2 27 ?3?7 2 27 ? ? 综上所述,a,b,c 的值分别为3, 8 , 2 或-3,- 8 , ? ?
?3? -?2?7. ? ?

工具

第一章 数列

栏目导引

1.对等比数列的概念的理解
(1)每一项与它前一项的比是同一个常数,具备任意性; (2) 每一项与它前一项的比是同一个常数,强调的是同一个; (3) 每一项与它前一项的比是同一个常数,是有序的,也正 是这种有序才决定q的确定性; (4)公比q≠0这是必然的,也就是不存在q=0的等比数列.还 可以理解为在等比数列中,不可能存在数值为0的项.

工具

第一章 数列

栏目导引

2.对等比数列通项公式的理解 若等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其通项公式 为an=a1qn-1.要注意: (1)公式成立的条件是n∈N+,q≠0; an+1 (2)此公式是按定义: =q(q是非零常数)推导出来 an 的,即an+1=anq,这是等比数列通项公式的一种递推关系 的表现形式;

(3)在等比数列的通项公式中有四个量a1,q,n,an,只要知
道其中的三个量,就可以求出另一个量.
工具
栏目导引

第一章 数列

3.等比数列的判定方法 an+1 (1) =q(q为非零常数,n∈N+)?{an}是等比数列; an (2)an=cqn(c,q为非零常数,n∈N+)?{an}是等比数 列; (3)an+12=an· an+2(an· an+1· an+2≠0,n∈N+)?{an}是等比 数列.

工具

第一章 数列

栏目导引

4.等比数列与等差数列异同点 等差数列 等比数列

不同点

(1)强调每一项与前一项 的差; (2)a1和d可以为零; (3)等差中项唯一.

(1)强调每一项与前一项 的比; (2)a1与q均不为零; (3)等比中项有两个值.

相同点

(1)都强调每一项与前一项的关系; (2)结果都必须是常数; (3)数列都可以由a1、d或a1、q确定.
(1)若an为正项等比数列,则{logaan}为等差数列; (2){an}为等差数列,则{ban}为等比数列.
第一章 数列

联系
工具

栏目导引

◎已知数列{an}的前n项和Sn=aqn(a≠0,q≠1,q为非零常数), 则数列{an}是否为等比数列?
【错解】


∵an+1=Sn+1-Sn

=aqn 1-aqn=aqn(q-1), an=Sn-Sn-1=aqn-aqn 1=aqn 1(q-1),
- -

an+1 又∵ =q为常数,∴数列{an}为等比数列. an

工具

第一章 数列

栏目导引

【错因】 忽略了an=Sn-Sn-1中n≥2的条件.
【正解】 当n=1时,a1=S1=aq,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=aqn-1(q-1),
an+1=Sn+1-Sn=aqn(q-1),

an+1 a2 ∴ a =q(n≥2),但a =q-1≠q, n 1 ∴数列{an}不是等比数列(从第二项开始的数列a2, a3,…为等比数列).

工具

第一章 数列

栏目导引

练考题、验能力、轻巧夺冠
工具
栏目导引

第一章 数列


《等比数列概念和通项公式》教学设计方案

等比数列的概念通项公式》 数学 1 课时(40 ...掌握等比数列的定义 2.理解等比数列的通项公式及...补充练习: (1) 一个等比数列的第 9 项是 4 1...

等比数列及其通项公式教案

等比数列及其通项公式(第一课时 教案)教学目标: 掌握等比数列的定义,理解等比数列的通项公式及推导;培养学生的发现意识, 提高学生创新意识,提高学生分析问题、解决...

...第二章同步检测2-3-1等比数列的概念及通项公式)

高二数学必修5(人教B版)第二章同步检测2-3-1等比数列的概念及通项公式) 第2章 2.3 第 1 课时 等比数列的概念及通项公式一、选择题 1.公差不为零的等差...

2.4.1等比数列的概念及通项公式导学案

2.4.1等比数列的概念及通项公式导学案_语文_初中教育_教育专区。宁乡县玉潭...2.4等比数列(第一课时)等... 4页 1下载券 2.4等比数列概念及通项公... ...

人教A版数学必修五 (2.4.1 等比数列的概念及通项公式)...

人教A版数学必修五 (2.4.1 等比数列的概念及通项公式)示范教案_教学案例/设计...称为第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推.假设每一轮每一台计算 ...

6.示范教案(2.4.1 等比数列的概念及通项公式)

6.示范教案(2.4.1 等比数列的概念及通项公式)_其它课程_小学教育_教育专区。...称为第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推.假设每一轮每一台计算 ...

...2.4.1等比数列的概念及通项公式教学设计(精品)

最新人教A版必修5高中数学 2.4.1等比数列的概念及通项公式教学设计(精品)_高三...称为第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推.假设每一轮每一台计算 ...

2.4.1等比数列的概念及通项公式导学案

§ 2.4.1 等比数列的概念及通项公式 1 § 2.4.1 等比数列的概念及通项公式 2 白城实验高中 高二数学 必修 5 导学案 第二章 数列 及时练兵 1.已知等比数列...

...2.4.1等比数列的概念及通项公式教学设计 新人教A版...

(新课标)2015-2016学年高中数学 2.4.1等比数列的概念及通项公式教学设计 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。2.4 2.4.1 等比数列? 等比数列的概念及通项...

...的通项公式 第1课时 等比数列的概念及通项公式 学案...

等比数列的概念 等比数列的通项公式 第1课时 等比数列的概念及通项公式 学案 高中数学 必修五 苏教 Word版_数学_高中教育_教育专区。高中数学 必修五 苏教版 ...