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第一课时 等比数列的概念及通项公式


§3 等比数列

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第一章 数列

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3.1 等比数列

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第一课时 等比数列的概念及通项公式

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第一章 数列

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1.理解等比数列的定义,能够应用定义判断一个数列是否 为等比数列. 2.掌握等比数列的通项公式,体会等比数列的通项公式与 指数函数的关系.

3.掌握等比中项的定义,能够应用等比中项的定义解决问
题.

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1.对等比数列的定义,通项公式的考查是本课时的热点. 2.本课时内容常与函数、方程、不等式结合命题. 3.多以选择题和解答题的形式考查.

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1.还记得等差数列的定义吗?从第二项起,每一项与其前 一项的差等于同一个常数的数列,称为等差数列. 2.等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d,是关于n的一次

函数式.
3.看下面两个数列

(1)已知数列{an}的前4项为2,4,8,16,则它的通项公式为an=
2n.

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(2)若数列{an}的通项公式为an=3( 2)n-1,则其前4项依 次为3,3 2,6,6 2,第10项为48 2. 你能看出这两个数列的共同特点吗? (1)中{an}的每一项与它前一项之比均为2, (2)中{an}的每一项与它前一项之比均为 2.

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1.等比数列的定义 如果一个数列从 第2项 等于 同一个常数 个常数叫做等比数列的 公比 起,每一项与它的前一项的比都 ,公比通常用字母 q 表示.

,那么这个数列叫做等比数列,这

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2.等比数列的通项公式



设等比数列 {an} 的首项为 a1 ,公比为 q ,则它的通项公式 an a1qn-1 .
3.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使 a,G,b成等比数列 ,

那么G叫做a与b的等比中项,这三个数满足关系式 G2=ab

.

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1.在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则公比q为(

)

A.2
C.4

B.3
D.8
3

a4 解析: ∵q =a =8.∴q=2. 1 答案: A

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1 2.等比数列{an}中,a1= 8 ,q=2,则a4与a8的等比中 项是( ) B.4 1 D.4
1 n-1 n-4 由an= · 2 =2 知a4=1,a8=24,其等比中 8

A.± 4 1 C.± 4
解析: 项为± 4.

答案: A

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9 1 2 3.若等比数列的首项为 ,末项为 ,公比为 ,则这 8 3 3 个数列的项数为________.
解析: ∴n=4. 9 ?2?n-1 1 an=8×?3? =3 ? ?

答案: 4

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4.下面各数列是等比数列的是________. ①0,0,0,0,②1,-1,1,-1,1,-1,③- 2 2,4, ④a 1,a 2,a 3,a 4.
- - - -

2 ,2,-

解析: ①不是等比数列,②是公比为-1的等比数 列,③是公比为- 2 的等比数列,④是公比为a-1的等比数 列.
答案: ②③④

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1 5.在等比数列{an}中,a2=- ,a6=-27,求{an}的 3 通项公式.
解析: 得 1 1 1 ? ? ? ?a1q=- , ?a1=- , ?a1= , 3 9 9 ? 解得? 或? 5 ? ? ? a q ? 1 =-27, ?q=3, ?q=-3. 方法一:设等比数列{an}的公比为 q,由已知

1 n-1 1 - ∴{an}的通项公式是an=- · 3 或an= · (-3)n 1. 9 9 即an=-3n-3或an=(-1)n-1· 3n-3.
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1 4 方法二:∵a6=a2· q ,∴-27=-3· q,
4

∴q4=81,∴q=± 3, 据an=a2· q
n-2

1 n-2 1 ,有an=- · 3 或an=- · (-3)n-2, 3 3

即an=-3n-3或an=(-1)n-1· 3n-3.

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在等比数列{an}中 20 (1)已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4= ,求an; 3 (2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.

可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组,求出a1和q,
再表示其他量.

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[解题过程]

(1)方法一:设{an}的公比为 q,

a1q2=2 ? ? 则? 20 ,两式相除得 3 a1q+a1q = 3 ? ? q 3 1 2 = ,即 3q -10q+3=0,∴q=3或 3 1+q2 10
?1? - 1 当 q= 时,a1=18,∴an=18?3?n 1=2×33-n 3 ? ?

2 2 n-1 当 q=3 时,a1=9,∴an=9· 3 =2×3n-3

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方法二:设等比数列{an}的公比为 q,则 q≠0, a3 2 a2= q =q,a4=a3q=2q, 2 20 1 ∴q+2q= 3 .解得 q1=3,q2=3. 1 当 q= 时,a1=18. 3
?1? - 18 n 1 ? ? ∴an=18× 3 = n-1=2×33-n. 3 ? ?

2 2 n-1 当 q=3 时,a1=9,∴an=9×3 =2×3n-3.

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4 ? ?a2+a5=a1q+a1q =18, (2)方法一:因为? 2 5 ? a + a = a q + a q ? 3 6 1 1 =9,

1 所以两式相除得 q=2,从而 a1=32. 又 an=1,所以
?1? - 32?2?n 1=1, ? ?

即 26-n=20,所以 n=6.

方法二:因为 a3+a6=q(a2+a5), 1 所以 q= . 2 由 a1q+a1q4=18,知 a1=32. 由 an=a1qn-1=1,知 n=6.

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[题后感悟 ]

(1)a1 , q 是等比数列的基本量,只要求出这两

个基本量,其他量便可迎刃而解.本例中方法一是根据已知条
件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方

法;方法二充分利用了各项之间的关系,直接求出q后,再求a1
最后求an,方法二带有一定的技巧性,能简化运算. (2)等比数列通项公式的推广 数列{an}为等比数列,公比为q,则an=amqn-m(m,n不分大 小).

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1.在等比数列{an}中,
(1)a4=2,a7=8,求an; (2)a1,2(a1+a2),3(a1+a2+a3)成等差数列,求{an}的公比.
3 ? a = a q ? 4 1 ? (1)方法一: 因为 6 ? a = a q ? 7 1 3 ? a q ? 1 =2 , 所以? 6 ? ?a1q =8

解析:

① ②

② 3 3 由 得 q =4,从而 q= 4,而 a1q3=2, ①

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2 1 于是 a1=q3=2, 所以 an=a1q
n-1

2n-5 =2 3 .

方法二:因为 a7=a4q3,所以 q3=4. 所以 an=a4q
n-4

? ?3 =2· ?

2n-5 ?n-4 ? 4? =2 3 .


(2)设等比数列{an}的公比为 q,则 an=a1qn 1, 又 a1,2(a1+a2),3(a1+a2+a3)成等差数列, 所以 4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),

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1 已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=3(an-1)(n∈N+). (1)求a1,a2; (2)求证:数列{an}是等比数列.

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[解题过程] 1 ∴a1=- . 2

1 1 (1)由S1= (a1-1),得a1= (a1-1), 3 3

1 1 1 又S2= (a2-1),即a1+a2= (a2-1),得a2= . 3 3 4 1 1 (2)证明:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3(an-1)-3(an-1-1), an 1 得 =- , 2 an-1 1 1 所以{an}是首项为-2,公比为-2的等比数列.

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[题后感悟]

(1)已知 Sn 与 an 的关系, 在 n≥2 时, 往往得

到 an 与 an-1 的关系. (2)证明数列是等比数列常用的方法 an+1 an ①定义法: a =q(常数)或 =q(常数)(n≥2) an-1 n 等比数列. ②等比中项法:an+12=an· an+2(an≠0,n∈N+) 比数列. ③通项公式法:an=a1qn-1(其中 a1,q 为非零常数,n∈N+) {an}为等比数列. {an}为等 {an}为

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2.已知等比数列{an}中,a1=1,公比为q(q≠0),且bn=an+
1-an.

(1)判断数列{bn}是否为等比数列?说明理由. (2)求数列{bn}的通项公式. 解析: (1)∵等比数列{an}中,a1=1,公比为q, ∴an=a1qn-1=qn-1(q≠0), 若q=1,则an=1,bn=an+1-an=0, ∴{bn}是各项均为0的常数列,不是等比数列.
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bn+1 an+2-an+1 qn+1-qn qn?q-1? 若q≠1,由于 = = = = bn an+1-an qn-qn-1 qn-1?q-1? q, ∴{bn}是首项为b1=a2-a1=q-1,公比为q的等比数 列. (2)由(1)可知,当q=1时,bn=0; 当q≠1时,bn=b1qn-1=(q-1)· qn-1, ∴bn=(q-1)qn-1(n∈N+).

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等比数列{an}的前三项的和为168,a2-a5=42,求a5,a7
的等比中项. [策略点睛]

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[规范作答]

设该等比数列的公比为 q,首项为 a1,因
2 ? ?a1+a1q+a1q =168 q≠1, 由已知, 得? 4 ? ?a1q-a1q =42

为 a2-a5=42, 所以



2 ? ?a1?1+q+q ?=168, 所以? 3 ? a q ? 1 - q ?=42. ? 1

① ②

因为 1-q3=(1-q)(1+q+q2), 1 所以由②除以①,得 q(1-q)=4.

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若G是a5,a7的等比中项,则应有 G2=a5a7=a1q4· a1q6=a12q10 =96
2

?1? ×?2?10=9. ? ?

所以a5,a7的等比中项是± 3.

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[题后感悟]

G b 由等比中项的定义可知: = G2=ab G= a G

± ab.这表明:只有同号的两项才有等比中项,并且这两项 的等比中项有两个,它们互为相反数.异号的两数没有等比 G b 2 中项. 反之, 若 G =ab, 则 = , 即 a, G, b 成等比数列. 所 a G 以 a,G,b 成等比数列 G2=ab(ab≠0).

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3 243 3.已知a,- ,b,- ,c这五个数成等比数列, 2 32 求a,b,c的值.
? 3? ? 243? ?3? =?-2?×?- 32 ?=?2?6, ? ? ? ? ? ?

解析: ∵b 27 ∴b=±8 .

2

? 3? 27 2 2 ? ? 当b= 8 时,ab= -2 ,∴a=3, ? ? ? 243? ? 3? 2 187 ?3?7 2 10 由bc=?- 32 ? =?-2? ,得c= =?2? . 128 ? ? ? ? ? ?

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?3? 27 2 同理,当 b=- 8 时,a=-3,c=-?2?7. ? ?

2 27 ?3?7 2 27 ? ? 综上所述,a,b,c 的值分别为3, 8 , 2 或-3,- 8 , ? ?
?3? -?2?7. ? ?

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1.对等比数列的概念的理解
(1)每一项与它前一项的比是同一个常数,具备任意性; (2) 每一项与它前一项的比是同一个常数,强调的是同一个; (3) 每一项与它前一项的比是同一个常数,是有序的,也正 是这种有序才决定q的确定性; (4)公比q≠0这是必然的,也就是不存在q=0的等比数列.还 可以理解为在等比数列中,不可能存在数值为0的项.

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2.对等比数列通项公式的理解 若等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其通项公式 为an=a1qn-1.要注意: (1)公式成立的条件是n∈N+,q≠0; an+1 (2)此公式是按定义: =q(q是非零常数)推导出来 an 的,即an+1=anq,这是等比数列通项公式的一种递推关系 的表现形式;

(3)在等比数列的通项公式中有四个量a1,q,n,an,只要知
道其中的三个量,就可以求出另一个量.
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3.等比数列的判定方法 an+1 (1) =q(q为非零常数,n∈N+)?{an}是等比数列; an (2)an=cqn(c,q为非零常数,n∈N+)?{an}是等比数 列; (3)an+12=an· an+2(an· an+1· an+2≠0,n∈N+)?{an}是等比 数列.

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4.等比数列与等差数列异同点 等差数列 等比数列

不同点

(1)强调每一项与前一项 的差; (2)a1和d可以为零; (3)等差中项唯一.

(1)强调每一项与前一项 的比; (2)a1与q均不为零; (3)等比中项有两个值.

相同点

(1)都强调每一项与前一项的关系; (2)结果都必须是常数; (3)数列都可以由a1、d或a1、q确定.
(1)若an为正项等比数列,则{logaan}为等差数列; (2){an}为等差数列,则{ban}为等比数列.
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◎已知数列{an}的前n项和Sn=aqn(a≠0,q≠1,q为非零常数), 则数列{an}是否为等比数列?
【错解】


∵an+1=Sn+1-Sn

=aqn 1-aqn=aqn(q-1), an=Sn-Sn-1=aqn-aqn 1=aqn 1(q-1),
- -

an+1 又∵ =q为常数,∴数列{an}为等比数列. an

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【错因】 忽略了an=Sn-Sn-1中n≥2的条件.
【正解】 当n=1时,a1=S1=aq,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=aqn-1(q-1),
an+1=Sn+1-Sn=aqn(q-1),

an+1 a2 ∴ a =q(n≥2),但a =q-1≠q, n 1 ∴数列{an}不是等比数列(从第二项开始的数列a2, a3,…为等比数列).

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