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高二数学选修2-1双曲线的简单几何性质(一)


双曲线的性质(一)

定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象
F1 o F2

x
F1

x

方程

/>
x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2

2

2

焦点
a.b.c 的关系

c ?a ?b
2

课堂新授

一、研究双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
(-x,y)

的简单几何性质
y
(x,y)

1、范围 2 x 2 2 ? 2 ? 1,即x ? a a ? x ? a, x ? ? a 2、对称性

-a (-x,-y)

o a
(x,-y)

x

关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点

顶点是A1 (?a,0)、A2 (a,0)
( 2) 如图,线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴,它的长为2a,a叫做 实半轴长;线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 ( 3) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
A1 -a

y b

B2
o a A2 x

x ? y ? m ( m ? 0)
2 2

-b B 1

5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。
(2)e的范围:

? c>a>0 ?

e >1

(3)e的含义:
c2 ? a2 c 2 ? ( ) ? 1 ? e2 ?1 a a b b ?当e ? (1,??)时, ? (0,??), 且e增大, 也增大 a a ? e增大时,渐近线与实轴的夹角增大 b ? a

e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大

(4)等轴双曲线的离心率e= ?2

离心率e ?

2的双曲线是等轴双曲线

c (5) e ? a

c ? a ?b
2 2

2

在a、b、c、e四个参数中,知二可求二

y x 二、导出双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b y 的简单几何性质
(1)范围: y ? a, y ? ?a

2

2

(2)对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
(3)顶点: (0,-a)、(0,a) (4)渐近线: y ? ? a x
b
-b

a
o b x

-a

c (5)离心率: e ? a

双 曲 线

性 质 图象

范围

对称 性

顶点

渐近 线

离心 率

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0) y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

x?a

x ? ?a
y?a




y ? ?a

b c 关于 (?a,0) y ? ? x e ? 坐标 a a 轴和 (其中 原点 2 2 2 都对 a c ? a ?b ) 称 (0,?a) y ? ? x b

例题讲解

例1 :求双曲线

9y2 ?16x2 ? 144 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 ? 2 ?1 2 4 3

焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解:把方程化为标准方程

可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3 半焦距c=
42 ?32 ? 5

焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率:
e ?

4 渐近线方程: y ? ? x 3

c 5 ? a 4

例题讲解

例2 :求下列双曲线的标准方程:

x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 ( ?3, 2 3) ; 9 16

x2 y2 (3 2 , 2) ? 1 有公共焦点,且过点 ⑵与双曲线 ? 16 4

y x 4. 求与椭圆 ? ? 1 有共同焦点,渐近线方程为 16 8

2

2

x?
解:

3y ? 0 的双曲线方程。
椭圆的焦点在x轴上,且坐标为

F1 (?2 2, 0),F ( , 0) 2 2 2

? 双曲线的焦点在x轴上,且c ? 2 2
3 ? 双曲线的渐近线方程为 y ? ? x 3 b 3 ? ? ,而c 2 ? a 2 ? b 2 , ? a 2 ? b 2 ? 8 a 3 解出 a 2 ? 6,b 2 ? 2 x2 y2 ? 双曲线方程为 ? ?1 6 2

?

4、渐近线
动画演示 y b N(x,y’) Q M(x,y)

双曲线在第一象限内部 分的方程为 2 2 x y (1) 双曲线 ? b 2 a 2 2 b 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) y? x ? a ( x ? 0) a b 的渐近线为y ? ? x a b 它与y ? x的位置关系 : a 2 2 等轴双曲线 x ? y ?m (2) A1 b 在y ? x的下方 (m ? 0)的渐近线为 a
b y ? ? x 它与y ? x的位置的变化趋势 : a

B2

o

A2
a x

B1

(3) 利用渐近线可以较准确的 慢慢靠近 画出双曲线的草图

b y?? x a

b y? x a

如果我是双曲线

你就是那渐近线

如果我是反比例函数

你就是那坐标轴

虽然我们有缘 能够生在同一个平面 然而我们又无缘 慢慢长路无交点 为何看不见 等式成立要条件 难到正如书上说的 无限接近 不能达到

为何看不见 明月也有阴晴圆缺 此事古难全
但愿千里共婵娟 此事古难全 但愿千里共婵娟





椭 圆

双曲线

方程
a b c关系
图象

2 x2 ? y ? 1 2 ( a> b >0) 2 a b

x2 ? y2 ? 1 ( a> 0 b>0) 2 2 a b

c 2? a 2 ? b 2 (a> b>0)
y
M

c 2? a 2 ? b 2 (a> 0 b>0)
Y p F2 X

F1

0

F2

X

F1

0

范围

|x|?a,|y|≤b
对称性

|x| ≥ a,y?R
对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点 (-a,0) (a,0) 实轴:2a 虚轴:2b
c (e?1) e= a

对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点
顶点

(-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴:2a 短轴:2b c e= a
( 0< e < 1 )

离心率

渐近线


a2 x?? c

y=±

准线

b x a a2 x?? c

课堂练习

4 1、若双曲线的渐近线方程为 y ? ? x, 则双曲线 3 的离心率为 。
2、若双曲线的离心率为2,则两条渐近线的交角 为 。

第62页 x2 y2 1、求与椭圆 ? ? 1有公共焦点,且离心率 49 24 5 e ? 的双曲线方程。 4

解:由c ? 49 ? 24 ? 25, 得c ? 5.? 焦点为( ? 5, 0),
2

x2 y2 5 5 设共焦点的双曲线为 2 ? 2 ? 1, 然后由 ? 2 a 5 ?a a 4 2 2 x y 求得a ? 4, b 2 ? 25 ? 16 ? 9, 可得 ? ? 1. 16 9
x2 y 2 x2 y2 注:与 2 ? 2 ? 1共焦点的椭圆系方程是 2 ? 2 2 ? 1, a b m m ?c x2 y2 双曲线系方程是 2 ? 2 ?1 2 m c ?m

1、“共渐近线”的双曲线的应 2 2用 x y



b 2 2 x y 方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0,?为参数), a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线; λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。

a

2

?

2

? 1共渐近线的双曲线系

x2 y 2 x2 y2 2、与 2 ? 2 ? 1共焦点的椭圆系方程是 2 ? 2 2 ? 1, a b m m ?c 2 2 x y 双曲线系方程是 2 ? 2 ? 1. 2 m c ?m

根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ? 1 有共同渐近线,且过点 ( ?3, 2 3) ; ⑴与双曲线 ? 9 16 ⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 ? ? 1 的渐近线为 y ? ? x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 ? 4 , 9 16 3 4 故点 ( ?3, 2 3) 在射线 y ? ? x (x≤0)及 x 轴负半轴之间, 3 x2 y2 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,∴设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), a b ?b 4 ? 2 9 2 2 ? a ? ? x y ? a 3 ∴? 解之得 ? ?1 4 ,∴ 双曲线方程为 ? ? 2 2 9 4 ?b2 ? 4 ? ( ?3) ? (2 3) ? 1 ? 2 2 4 ? a b ?

法二:巧设方程,运用待定系数法 . 2 2 ⑴设双曲线方程为 x ? y ? ? (? ? 0) ,
9 16

( ?3)2 (2 3)2 ? ? ?? 9 16

1 ?? ? 4

x2 y2 ? 双曲线的方程为 ? ?1 9 4 4

根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 ? 16 4
法一:直接设标准方程,运用待定系数法 x2 y2 ⑵解:设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) a b ? a 2 ? b 2 ? 20 ? a 2 ? 12 ? 则? 解之得 ? 2 ? (3 2 )2 2 2 或设 b ?8 ? ? ? ? 1 ? 2 2
? a b

x2 y2 ? ?1 ∴双曲线方程为 12 8

x2 y2 ? ? 1, 2 2 m 20 ? m 求得m 2 ? 12(30舍去)

法二:设双曲线方程为
(3 2)2 22 ∴ 16 ? k ? 4 ? k ? 1

x2 y2 ? ? 1 ? 16 ? k ? 0且4 ? k ? 0 ? 16 ? k 4 ? k
x2 y2 ? ?1 12 8

, 解之得k=4,

∴ 双曲线方程为

例2

5 已知双曲线顶点间的距离是16,离心率e ? , 4 焦点在x轴上,中心在原点,写出双曲线的方 程,并且求出它的渐近 线和焦点坐标 . 2 2
x y ? ?1 2 2 a b

解:依题意可设双曲线的方程为
c 5 又 ? e ? ? ,? c ? 10 a 4

? 2a ? 16,即a ? 8

?b 2 ? c 2 ? a 2 ? 10 2 ? 82 ? 36
x2 y 2 ? 双曲线的方程为 ? ?1 64 36 3 ? 渐近线方程为y ? ? x 4

焦点F1 (?10,0), F2 (10,0)


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