nbhkdz.com冰点文库

2.1.2数列递推公式


第2章

2.1

第 2 课时

数列的递推公式(选学)
一、选择题 1.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,an=an-1+ A. 55 12 A 13 B. 3 C.4 1

an-2

(n≥3),则 a5=(

)

D. 5

[答案]

[解析] 令 n=3,4,5,求 a5 即可. 2.已知数列{an}中,an+1=an+2+an,a1=2,a2=5,则 a6=( A.-3 [答案] B.-4 C.-5 D.2 A )

[解析] 由 an+1=an+2+an 得 a3=3,

a4=-2,a5=-5,a6=-3.
3.正项数列{an}中,an+1= A. 16 5 2 B. 19 B 8 C. 5 8 D. 7 ,a1=2,则 a4=( 1+3an

an

)

[答案]

2 2 2 [解析] 由递推关系可得 a2= ,a3= ,a4= . 7 13 19 4.已知数列{an}满足 a1=x,a2=y,且 an+1=an-an-1(n≥2),则 a2007=( A.x [答案] B.y C C.y-x D.-x )

[解析] 根据递推关系可得 x,y,y-x,-x,-y,x-y,这 6 个数值重复出现 a2007 =a334×6+3=a3. 5.已知 Sk 表示数列的前 k 项和,且 Sk+Sk+1=ak+1(k∈N*),那么此数列是( A.递增数列 C.常数列 [答案] C B.递减数列 D.摆动数列 )

[解析] ∵由 ak+1=Sk+1-Sk=Sk+Sk+1
高考学习网-中国最大高考学习网站 Gkxx.com | 我们负责传递知识!

∴Sk=0(k∈N*) 可知此数列每一项均为 0,即 an=0 是常数列. 6.观察下图,并阅读图形下面的文字,像这样 10 条直线相交,交点的个数最多的 是( )

A.40 个 B.45 个 [答案] B

C.50 个 D.55 个

2×1 2×3 3×4 [解析] 交点个数依次组成数列为 1,3,6,即 , , ,由此猜想 an= 2 2 2

n?n-1?
2



10×9 ∴a10= =45. 2 二、填空题 7.已知数列{an}的通项公式 an=3n-1(n∈N*),通过公式 bn= {bn},那么{bn}的前五项为________________. [答案] 5 8 11 14 17 , , , , 2 5 8 11 14

an+1 构造一个新数列 an

[解析] ∵an=3n-1(n∈N*) ∴an+1=3(n+1)-1=3n+2, ∴bn=

an+1 3n+2 = . an 3n-1

5 8 11 14 17 ∴b1= ,b2= ,b3= ,b4= ,b5= . 2 5 8 11 14 8.已知数列{an}的通项公式 an=n2-4n-12(n∈N*),则 (1)这个数列的第四项是________; (2)65 是这个数列的第________项;
高考学习网-中国最大高考学习网站 Gkxx.com | 我们负责传递知识!

(3)这个数列从第________项起以后各项都为正数. [答案] -12;11;7 [解析] (1)a4=42-4×4-12=-12.

(2)令 65=n2-4n-12,∴n2-4n-77=0, ∴n=11 或 n=-7(舍去). 故 65 是这个数列的第 11 项. (3)令 n2-4n-12>0,得 n>6 或 n<2. ∴这个数列从第 7 项起以后各项都为正数. 三、解答题 9.在数列{an}中,已知 a1=1,且满足 an+1=an+ [解析] 由 an+1=an+ 即

an ,求通项公式. n+1

an n+2 ,得 an+1= an, n+1 n+1

an+1 n+2 a2 3 a3 4 a4 5 = .∴ = , = , = ,…, an n+1 a1 2 a2 3 a3 4

an n+1 = (n≥2). an-1 n
将以上各式相乘,得

a2 a3 a4 an 3 4 5 n+1 · · ·…· = · · ·…· a1 a2 a3 an-1 2 3 4 n
∴ =

an n+1 n+1 ,∴an= (n≥2), a1 2 2

又 a1=1 满足上式. ∴an=

n+1
2

(n∈N*).

10.设数列{an}的前 n 项的和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0,有一根为 Sn-1,n= 1,2,3,…,求 a1、a2. [解析] 当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1,于是(a1-1)2-a1(a1- 1 1)-a1=0,解得 a1= . 2 1 1 1 1 当 n=2 时,有一根为 S2-1=a2- ,于是(a2- )2-a2(a2- )-a2=0,解得 a2= . 2 2 2 6 能力提升 一、选择题
高考学习网-中国最大高考学习网站 Gkxx.com | 我们负责传递知识!

1 1.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ),则 an=(

n

)

A.2+lnn C.2+nlnn [答案] A

B.2+(n-1)lnn D.1+n+lnn

[解析] 解法一:取 n=2,则 a2=a1+ln2=2+ln2,排除 C、D; 1 3 取 n=3,则 a3=a2+ln(1+ )=2+ln2+ln =2+ln3,排除 B,选 A. 2 2 解法二:直接将选项依次代入验证. 1 当 an=2+lnn 时,an+1=an+ln(1+ )

n

1 =2+lnn+ln(1+ )

n

=2+ln(n+1)满足,故选 A. 1 解法三:∵an+1=an+ln(1+ ),

n

1 ∴a2-a1=ln(1+ )=ln2, 1

a3-a2=ln(1+ )=ln , a4-a3=ln(1+ )=ln ,
… 1 n an-an-1=ln(1+ )=ln . n -1 n-1 3 n 相加得:an-a1=ln2+ln +…+ln =lnn,∵a1=2,∴an=2+lnn. 2 n-1 2.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= 3 2 1 3 4 3

1 2

3 2

an- 3 (n∈N+),则 a20=( 3an+1

)

A.0 [答案]

B.- 3 C. 3 B

D.

[解析] ∵a1=0,a2=

a1- 3 a2- 3 a3- 3 =- 3,a3= = 3,a4= =0,… 3a1+1 3a2+1 3a3+1

高考学习网-中国最大高考学习网站 Gkxx.com | 我们负责传递知识!

至此可知:数列{an}的各项的值依次为 0,- 3, 3,0,- 3, 3,0,…,周而 复始. ∵20÷3=6 余 2,∴a20=a2=- 3. 二、填空题 3.设 f(n)= [答案] [解析] 1 1 1 + +…+ (n∈N*),那么 f(n+1)-f(n)=________. n+1 n+2 2n

1 1 - 2n+1 2n+2

f(n+1)=

1 1 1 1 1 1 + + +…+ + + , n+2 n+3 n+4 2n 2n+1 2n+2 1 1 1 1 1 + - = - . 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 2n+2

∴f(n+1)-f(n)=

4.若数列{an}中,a1=3,且 an+1=a2 n(n 是正整数),则数列的通项 an=________. [答案] [解析]

an=32n-1 a1=3,a2=32,a3=34,a4=38…,猜想 an=32n-1.

三、解答题 5.数列{an}的通项公式是 an=-2n2+19n-23,则数列{an}中最大的一项是第几项? 并求出该项. [解析] 19 2 192 19 177 an=-2n +19n-23=-2(n- ) -23+ =-2(n- )2+ , 4 8 4 8
2

∵n∈N*,∴当 n=5 时,an 最大,

a5=-2×52+19×5-23=22.
故数列{an}最大的一项是第 5 项,且 a5=22. 6.设函数 f(x)=log2x-logx4(0<x<1),数列{an}的通项 an 满足 f(2an)=2n(n∈N*), 求数列{an}的通项公式. [解析] ∵f(x)=log2x-logx4, ∴f(2 an)=log22 an-log2 an 4=2n, 2 即 an- =2n,∴an 2-2nan-2=0,

an

∴an=n± n2+2. 又∵0<x<1,∴0<2 an <1, ∴an<0(n∈N*),∴an=n- n2+2(n∈N*).

高考学习网-中国最大高考学习网站 Gkxx.com | 我们负责传递知识!

7.一辆邮车每天从 A 地往 B 地运送邮件,沿途(包括 A,B)共有 8 站,从 A 地出发时, 装上发往后面 7 站的邮件各一个,到达后面各站后缷下前面各站发往该站的一个邮件, 同时装上该站发往下面各站的邮件各一个,试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数 所成的数列,画出该数列的图象,并判断该数列的增减性. [解析] 将 A、B 之间所有站按序 1,2,3,4,5,6,7,8 编号,通过计算,上面各站剩余 邮件数依次排成数列:7,12,15,16,15,12,7,0.填写下表: 站号 剩余邮件数 1 7 2 12 3 15 4 16 5 15 6 12 7 7 8 0

该数列的图象如图所示.

它在{1,2,3,4}上是递增的,在{4,5,6,7,8}上是递减的. 8.某林区改变植树计划,第一年植树增长率 200%,以后每年的植树增长率都是前一 1 年植树增长率的 . 2 (1)假设成活率为 100%,经过四年后,林区的树木量是原来的树木量的多少倍? (2)如果每年都有 5%的树木死亡,那么经过多少年后,林区的树木量开始下降? [解析] (1)设林区原有的树木量为 a,调整计划后,第 n 年的树木量为 an(n=

1,2,3,…),则 a1=a(1+200%)=3a,

a2=a1(1+100%)=2a1=6a, a3=a2(1+ )= a2=9a a4=a3(1+ )= a3= a.
45 所以经过四年后,林区树木量是原来树木量的 倍; 4
高考学习网-中国最大高考学习网站 Gkxx.com | 我们负责传递知识!

1 2 1 4

3 2 5 4

45 4

(2)若每年损失树木量的 5%,则第 n 年后的树木量与第(n-1)年的树木量之间的关系 为:

an=an-1(1+

1 19 1 (1+ n-2)an-1(n≥2). n-2)(1-5%)= 2 20 2

设第 n 年后树木量开始减少, 则?

?an≥an-1 ?an≥an+1



19 1 ? ?20?1+2 即? 19 1 ?1+ ? ?20 2 1 1 ? ?2 ≥19 ∴? 1 1 ≤ ? ?2 19
n-2 n-1

n-2

?an-1≥an-1 , ?an≤an

n-1

1 1 1 ,∴ ≤ n≤ ,解得 n=6. 76 2 38

高考学习网-中国最大高考学习网站 Gkxx.com | 我们负责传递知识!


2.1.2数列性质及递推公式 Microsoft Word 文档

判断 an+1 与 an(n∈N*)的大小,若 an+1>an 恒成立,则{an}为递增数列;若 an+1<an 恒成立,则 {an}为递减数列. . 2.递推公式定义:如果已知数列 ?...

2.1 第2课时 数列的通项公式与递推公式

2.1 第2课时 数列的通项公式与递推公式_数学_高中教育_教育专区。忠源纪念中学高中数学必修 5 导学案(主备人:林凤娟) §2.1 第 2 课时 数列的通项公式与...

2.1数列的概念与简单表示

1.1.1正弦定理 1.2应用举例 2.2等差数列 2.4等比数列(师) 2.5等比数列前n...对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式; 4.知道递推公式是...

...B版数学必修5课后强化作业:2-1-2《数列的递推公式(...

高中数学人教B版数学必修5课后强化作业:2-1-2数列递推公式(选学)》_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教B版数学必修5课后强化作业 ...

...学案:2.1.2 数列的递推公式(选学) Word版含解析

【新步步高】2014-2015学年高二数学人教B版必修5 学案:2.1.2 数列递推公式(选学) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2.1.2 数列递推公式(选学)...

递推数列通项的求解(2)

递推数列通项的求解(2)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。黄岩中学高一年级...a n ? 2a n?1 a n ,求通项公式 a n . 2.已知数列 {an } 满足: ...

2.2.1等差数列的通项公式

2.2.1等差数列的通项公式_高一数学_数学_高中教育_教育专区。构建“有理、有...初步认识给出此 种类型的递推关 系式,应怎样求通 项公式. a3 ? a2 ? d...

...数列的概念与简单表示法——数列的性质和递推公式

2014-2015学年数学必修五(人教版A版)第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法——数列的性质和递推公式_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2014-2015学年数学...

最全的递推数列求通项公式方法[1]

7页 免费 最全的递推数列求通项公式... 24页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...

浅谈四种数列递推公式求通项公式的方法

浅谈四种数列递推公式求通项公式的方法───构造等比数列法寿县一中数学组 邵兵...即数列 {an?1 ? an } 是首项为 a 2 ? a1 ,公比为 p 的等比数列。...