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2013高考理科数学二轮1-7三角恒等变换与解三角形


必考问题7 三角恒等变换与

解三角形

3 1.(2012· 全国)已知α为第二象限角,sin α+cos α= 3 ,则cos 2α = 5 A.- 3 5 C. 9 5 B.- 9 5 D. 3 ( ).

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3 1 答案:A [将 sin α+cos α= 两边平方,可得 1+sin 2α= ,sin 3 3 2 5 2 2α=-3,所以(-sin α+cos α) =1-sin 2α=3,因为 α 是第二象 15 限角,所以 sin α>0,cos α<0,所以-sin α+cos α=- ,所 3 5 以 cos 2α=(-sin α+cos α)(cos α+sin α)=- ,选 A.] 3

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1 2.(2012· 江西)若tan θ+ =4,则sin 2θ= tan θ ( 1 A. 5 1 C.3 1 B. 4 1 D.2 ).

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1+tan2θ 1 答案:D [∵tan θ+ = =4,∴4tan θ=1+tan2θ, tan θ tan θ 2sin θcos θ 2tan θ 2tan θ 1 ∴sin 2θ=2sin θcos θ= 2 = .] 2 = 2 = 4tan θ 2 sin θ+cos θ 1+tan θ

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3.(2012· 天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b, c.已知8b=5c,C=2B,则cos C= ( 7 A.25 7 C.± 25 7 B.-25 24 D. 25 ).

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答案: [因为 8b=5c, A 则由 C=2B, sin C=sin 2B=2sin Bcos 得 sin C c 4 B,由正弦定理得 cos B= = = ,所以 cos C=cos 2B= 2sin B 2b 5 2cos
2

?4? 7 ? ?2-1= ,故选 B-1=2× 5 25 ? ?

A.]

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1 4.(2012· 北京)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=-4,则 b =________. 解析 由余弦定理,得 b =4+(7-b) 解得 b=4. 答案 4
2 2

? 1? -2×2×(7-b)×?-4?, ? ?

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1.对于三角恒等变换,高考命题以公式的基本运用、计算 为主,其中多以与角所在范围、三角函数的性质、三角 形等知识结合为命题的热点.

2.对于解三角形,重点考查正弦定理、余弦定理两公式在
解三角形中的应用,通过三角形中的边、角关系和相关 公式的灵活运用来考查学生分析问题、解决问题的能力 以及数学运算能力.

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1.在三角恒等变换过程中,准确地记忆公式,适当地变换
式子,有效地选取公式是解决问题的关键. 2.在解三角形的试题时,要弄清楚三角形三边、三角中已 知什么,求什么,这些都是解决问题的思维基础,分析 题设条件,利用正、余弦定理进行边与角之间的相互转

化是解决问题的关键.

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必 备 知 识 方 法

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必备知识 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α± β)=sin αcosβ± αsin β. cos (2)cos(α± β)=cos αcosβ?sin αsin β. tan α± tanβ (3)tan(α± β)= . 1?tan αtanβ

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二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α. (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 2tan α (3)tan 2α= . 1-tan2α 1-cos 2α 1+cos 2α 2 (4)降幂公式:sin α= ,cos α= . 2 2
2

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正弦定理及其变形 a b c sin A=sin B=sin C=2R(2R为△ABC外接圆的直径). 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. a b c sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R. a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

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余弦定理及其推论 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cos A= 2bc ,cos B= 2ac , a2+b2-c2 cos C= 2ab . 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B, a2+b2-c2=2abcos C.

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面积公式 1 1 1 S△ABC=2bcsin A=2acsin B=2absin C.

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必备方法 1.“变角”是三角变换的灵魂,因此要注意分析条件与所求之 间角的联系,常考察是否具有和、差、倍、半关系或互余、 互补关系.如2β与β是倍角关系.此外,根据条件与所求中 的角的特点,常要对角进行恰当的配凑,如:β=(α+β)- α+β ? β? ? α ? α, 2 =?α-2?-?2-β?,2α=(α+β)+(α-β)等. ? ? ? ?

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2.要充分把握三角函数的变换规律.三角变换时,需会用 “切化弦”“弦化切”“辅助角”“1的代换”等技

巧,追求“名、角、式”(三角函数名、角度、运算结
构)的统一,其中角的变换是三角变换的核心. 3.在三角形内求值、证明或判断三角形形状时,要用正、 余弦定理完成边与角的互化,一般是都化为边或都化为 角,然后用三角公式或代数方法求解,从而达到求值、

证明或判断的目的.解题时要注意隐含条件.
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4.解三角形的应用问题时,要将条件和求解目标转化到一 个三角形中,然后用正、余弦定理或三角公式完成求

解,同时注意所求结果要满足实际问题的要求,还要注
意对不同概念的角的正确理解与应用,如俯角、仰角、 方位角、视角等.

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热 点 命 题 角 度

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利用三角恒等变换进行三角函数的化简、求值 三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂,常考查:① 三角恒等变换在化简、求值等方面的简单应用;②三角恒

等变换与三角形中相关知识的综合、与向量的交汇性问
题,多以解答题形式出现,难度中档.

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【例 1】? (2012· 广东)已知函数 ∈R)的最小正周期为 10 π. (1)求 ω 的值; (2)设

? π? f(x)=2cos?ωx+6?(其中 ? ?

ω>0,x

? π? ? 5 ? 5 ? 16 6 ? α,β∈?0,2?,f?5α+3π?=-5,f?5β-6π?=17,求 ? ? ? ? ? ?

cos(α

+β)的值. [审题视点] (1)由 T=10π 可得 ω 的值;(2)化简所给的已知条 件, 求得 cos α、 β 的值, cos(α+β)展开, sin 将 代入数据即可. [听课记录]
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? π? (1)∵f(x)=2cos?ωx+6?,ω>0 ? ?

2π 的最小正周期 T=10π= ω ,

1 ∴ω=5. (2)由(1)知 而
?1 π? f(x)=2cos?5x+6?, ? ?

? π? ? 5π? 6 5π 16 ?0, ?,f?5α+ ?=- ,f(5β- )= , α,β∈ 2? ? 3? 5 6 17 ?

?1? 5π? π? 6 ? ? ? ∴2cos?5 5α+ 3 ?+6?=-5, ? ? ? ? ? 1? 5π? π? 16 ? ? 2cos?5 5β- 6 ?+6?=17, ? ? ? ? ?

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? π? 3 cos?α+2?=-5,cos ? ?

8 β=17,

3 4 15 于是 sin α= ,cos α= ,sin β= , 5 5 17 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 4 8 3 15 13 = × - × =- . 5 17 5 17 85

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(1)给值求角的本质还是给值求值,即欲求某角,也 要先求该角的某一三角函数值. (2)由于三角函数的多值性,故要对角的范围进行讨论,确定并求 出限定范围内的角. (3)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系,灵活使用角的变 α+β α-β 换,如α=(α+β)-β,α= 2 + 2 等.

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【突破训练1】

? ?π 3π? π? 2 已知cos?x-4?= ,x∈?2, 4 ?. ? ? 10 ? ?

(1)求sin x的值;
? π? (2)求sin?2x+3?的值. ? ?

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解 (1)因为

?π 3π? x∈?2, 4 ?, ? ?

π ?π π ? 所以 x- ∈?4,2?, 4 ? ? 于是 sin
? π? sin?x-4?= ? ?

1-cos

2

? π? 7 2 ?x- ?= 4? 10 . ?

?? π? π? ?? x=sin? x-4?+4? ? ? ?? ?

? ? π? π π? =sin?x-4?cos +cos?x-4?sin 4 ? ? ? ?

π 4

7 2 2 2 2 4 = 10 × 2 + 10 × 2 =5.
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(2)因为

?π 3π? x∈?2, 4 ?, ? ?
2

所以 cos x=- 1-sin x=-

? 4? 3 ? ?2=- . 1- 5 5 ? ?

24 7 2 sin 2x=2sin xcos x=-25,cos 2x=2cos x-1=-25. 所以
? π? sin?2x+3?=sin ? ?

24+7 3 π π 2xcos 3+cos 2xsin 3=- 50 .

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三角函数与解三角形
以三角形为载体,以三角变换为核心,结合正(余)弦定
理考查解斜三角形是高考的一个热点问题.根据所给式 子、三角形的特点合理选择正弦或余弦定理是解题的关 键,综合考查学生逻辑分析和计算推理能力.

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【例 2】? (2011· 山东)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 cos A-2cos C 2c-a a,b,c.已知 = b . cos B sin C (1)求 sin A的值; 1 (2)若 cos B= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4 [审题视点] (1)根据所给式子和第(1)问式子的特征,采用边化 角较为简单;(2)借用第(1)问的结果可知 a、c 间的关系,再结 1 合 cos Β= ,b=2,利用余弦定理可求解. 4 [听课记录]
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a b c 解 (1)由正弦定理,设sin A=sin B=sin C=k, 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 则 = = , b ksin B sin B cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = . cos B sin B 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π,所以原等式可化为 sin C=2sin A, sin C 因此 =2. sin A
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sin C (2)由 sin A=2,得 c=2a. 1 由余弦定理 b =a +c -2accos B 及 cos B= , 4
2 2 2

1 得 4=a +4a -4a × ,解得 a=1,从而 c=2. 4
2 2 2

1 15 又因为 cos B= ,且 0<B<π,所以 sin B= . 4 4 1 1 15 15 因此 S= acsin B= ×1×2× = . 2 2 4 4

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在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系 式中要注意变换方向的选择.正弦定理、余弦定理、三角

形面积公式本身就是一个方程,在解三角形的试题中方程
思想是主要的数学思想方法,要注意从方程的角度出发分 析问题.

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【突破训练2】

(2012· 江西)在△ABC中,角A,B,C的对边分别

?π ? ?π ? π 为a,b,c.已知A=4,bsin?4+C?-csin?4+B?=a. ? ? ? ?

π (1)求证:B-C=2; (2)若a= 2,求△ABC的面积.

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(1)证明



?π ? ?π ? bsin ?4+C? -csin ?4+B? =a,应用正弦定理,得 ? ? ? ? ?π ? Csin?4+B?=sin ? ?

sin

?π ? Bsin?4+C?-sin ? ?

A,

sin

? B? ? ?

? ? 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? -sin C? = , 2 sin C+ 2 cos C? 2 sin B+ 2 cos B? 2 ? ? ?

整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1, 即 sin(B-C)=1, 3 π 由于 0<B,C<4π,从而 B-C=2.

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(2)解

3π 5π π B+C=π-A= ,因此 B= ,C= . 4 8 8

π 由 a= 2,A=4, asin B 5π asin C π 得 b= =2sin ,c= =2sin , sin A 8 sin A 8 1 5π π π π 1 所以△ABC 的面积 S= bcsin A= 2sin sin = 2cos · = . sin 2 8 8 8 8 2

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向量与解三角形的综合考查
解三角形问题常以向量为载体,解题时通常先利用向

量知识将有关向量关系式转化为三角形中的边角关系,然
后再借助解三角形的知识求解,难度中档偏低.

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【例 3】? 在△ABC 中,A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,A= π 6,(1+ 3)c=2b. (1)求角 C; → → (2)若CB· =1+ 3,求 a,b,c. CA π [审题视点] (1)由(1+ 3)c=2b 及 A=6可利用正弦定理将边的 → → 关系转化为角的关系; (2)将向量关系式CB· =1+ 3转化为 CA 三角形中的边角关系,再利用解三角形的知识求解. [听课记录]
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b 1 3 sin B 解 (1)由(1+ 3)c=2b,得 = + = , c 2 2 sin C
? ? π sin?π-6-C? ? ?

则有

sin C

5π 5π sin cos C-cos sin C 6 6 = sin C

1 3 1 3 =2tan C+ 2 =2+ 2 , π 得 tan C=1,即 C=4.

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→ → (2)由CB· =1+ 3,推出 abcos C=1+ 3. CA π 2 而 C=4,即得 2 ab=1+ 3, ? 2 ? 2 ab=1+ 3, ? 则有??1+ 3?c=2b, ? a c ? = , sin A sin C ? ?a= 2, ? 解得?b=1+ 3, ?c=2. ?

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解答这一类问题,首先要保证向量运算必须正 确,否则,反被其累,要很好的掌握正、余弦定理的应用

条件及灵活变形,方能使问题简捷解答.

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→ AC → → |AC → 【突破训练 3】 在△ABC 中,已知 2AB· = 3|AB|·→ |=3BC2, 求角 A,B,C 的大小. 解 设 BC=a,AC=b,AB=c,

→ → → → 由 2AB· = 3|AB|· |, AC |AC 3 得 2bccos A= 3bc,所以 cos A= , 2 π → |AC → 又 A∈(0,π),因此 A=6,由 3|AB|·→ |=3BC2, 3 得 bc= 3a ,于是 sin C· B= 3sin A= 4 . sin
2 2

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所以 sin sin

?5π ? C· ? 6 -C?= sin ? ?

3 , 4

?1 ? C· cos ?2 ?

? 3 3 ? C+ 2 sin C?= 4 , ?

因此 2sin C· C+2 3sin2C= 3, cos sin 2C- 3cos 2C=0,即
? π? sin?2C-3?=0. ? ?

π 5π π π 4π 由 A=6知 0<C< 6 ,所以-3<2C-3< 3 , π π π 2π 从而 2C-3=0,或 2C-3=π,即 C=6或 C= 3 , π 2π π π π 2π 故 A=6,B= 3 ,C=6或 A=6,B=6,C= 3 .
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正、余弦定理的实际应用
由于正、余弦定理是解斜三角形的工具,而解斜三角 形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热 点,其主要要求是:会利用正弦定理和余弦定理等知识和 方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题.

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【例4】? (2012·沈阳模拟)如图,渔船甲位
于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且 与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里 /时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行, 若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的

方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.
(1)求渔船甲的速度; (2)求sin α的值. [审题视点] 第(1)问实质求BC;第(2)问运用正弦定理可 求解. [听课记录]
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(1)依题意,∠BAC=120° ,AB=12,

AC=10×2=20,∠BCA=α. 在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· cos∠BAC AC· =122+202-2×12×20×cos 120° =784, 解得 BC=28. 所以渔船甲的速度为 14 海里/时.

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(2)在△ABC 中,因为 AB=12,∠BAC=120° ,BC=28,∠BCA =α, AB BC 由正弦定理,得 = , sin α sin 120° 3 12× 2 ABsin 120° 3 3 即 sin α= = = , BC 28 14 3 3 所以 sin α 的值为 14 .

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(1)三角形应用题的解题要点:解斜三角形的问 题,通常都要根据题意,从实际问题中寻找出一个或几个

三角形,然后通过解这些三角形得出所要求的量,从而得
到实际问题的解. (2)有些时候也必须注意到三角形的特殊性,如直角三角 形、等腰三角形、锐角三角形等.正确理解和掌握方位 角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少的.

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【突破训练4】 (2012·惠州调研)如图, 某河段的两岸可视为平行,为了

测量该河段的宽度,在河段的一
岸边选取两点A,B,观察对岸 的点C,测得∠CAB=75°, ∠CBA=45°且AB=100米. (1)求sin 75°;

(2)求该河段的宽度.

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解 (1)sin 75° =sin(30° +45° ) =sin 30° cos45° +cos 30° 45° sin 6+ 2 1 2 3 2 =2× 2 + 2 × 2 = 4 . (2)因为∠CAB=75° ,∠CBA=45° , 所以∠ACB=180° -∠CAB-∠CBA=60° . AB BC 由正弦定理得 = , sin∠ACB sin∠CAB ABsin 75° 所以 BC= sin 60° .
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如图,过点 B 作 BD 垂直于对岸,垂足为 D, 则 BD 的长就是该河 段的宽度. 在 Rt△BDC 中, 因为∠BCD=∠CBA=45° , BD sin∠BCD=BC, 所以 BD=BCsin 45° ABsin 75° = sin 60° · 45° sin

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6+ 2 100× 4 2 = ×2 3 2 25?6+2 3? 50?3+ 3? = = (米). 3 3 50?3+ 3? 答:该河段的宽度为 米. 3

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阅 卷 老 师 叮 咛

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转化与化归在解三角形中的应用 解三角形问题是历年高考的热点,常与三角恒等变换

相结合考查正弦、余弦定理的应用,解题的实质是将三角
形中的问题转化为代数问题或方程问题,在此过程中也常 利用三角恒等变换知识进行有关的转化.可以说,三角形 问题的核心就是转化与化归.

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【示例】? (2012· 新课标全国)已知a,b,c分别为△ABC三个内角 A,B,C的对边,acos C+ 3asin C-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为 3,求b,c.

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[满分解答]

(1)由acos C+ 3 asin C-b-c=0及正弦定理得sin

Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为B=π-A-C, 所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于sin
? π? 1 C≠0,所以sin?A-6?=2. ? ?

π 又0<A<π,故A= . 3 1 (2)△ABC的面积S=2bcsin A= 3,故bc=4. 而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8. 解得b=c=2.
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(6分)

(12分)
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老师叮咛:本题较容易,得分率较高.考查了考生利用正、 余弦定理及三角公式进行转化的能力.其中,第?1?问利用正

弦定理将边化成角,结合三角恒等变换知识整理出角A.第
?2?问根据三角形的面积公式得到关于b,c的等式,再由余 弦定理用a和角A表示出b,c的关系,从而求解.

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【试一试】 在△ABC中,BC= 5,AC=3,sin C=2sin A. (1)求AB的值;
? π? (2)求sin?2A-4?的值. ? ?

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AB BC 解 (1)在△ABC 中,根据正弦定理, = . sin C sin A sin C 于是 AB=sin A· BC=2BC=2 5. (2)在△ABC 中,根据余弦定理,得 AB2+AC2-BC2 2 5 cos A= = 5 . 2AB· AC 5 于是 sin A= 1-cos A= 5 .
2

4 从而 sin 2A=2sin Acos A=5, 3 cos 2A=cos A-sin A= . 5
2 2

所以

? π? sin?2A-4?=sin ? ?

π π 2 2Acos4-cos 2Asin4= 10 .
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2015高考数学二轮专题复习题7:三角恒等变换与解三角形含解析

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2013届高三数学(理)二轮复习 必考问题专项突破7 三角恒等变换与解三角形

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高考数学二轮复习:专题训练(七) 三角恒等变换与解三角形

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2014年高考数学(理)二轮专题复习真题感悟:1-3-2三角恒等变换与解三角形 Word版含解析]

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