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上海高三数学

时间:2011-01-23


届高三数学(文科)测试题( 集合、简易逻辑、函数、导数) 新阳中学 2009 届高三数学(文科)测试题(一)(集合、简易逻辑、函数、导数) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 选择题( 小题, 在每小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的。 ) 有一项是符合题目要求的。 1.设集合 A = {x 0 ≤ x <

3且x ∈ N}的真子集的个数是 . ... A.15 B.8 C.7 D.3

2. p 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的 . “ A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ∞) 上单调递增的是 . +
A. y = x3 B. y = cos x
2008
1 ? 2007 ?? 1 ? ,则 f ? ? ?? 2008 ? ? '

C. y =
? ?= ? ?

1 x2

D. y = ln x

4.函数 f ( x ) = x
A.0

B.1

C.2006

D.2007

5.已知函数 f ( x) =

e x ? e?x ,则下列判断中正确的是 2

A.奇函数,在 R 上为增函数 C.奇函数,在 R 上为减函数

B.偶函数,在 R 上为增函数 D.偶函数,在 R 上为减函数

6.函数 y = log 2 x ? a 图象的对称轴为 x = 2 ,则 a 的值为
A.

1 2

B. ?

1 2

C. 2

D. ? 2

1 1 7.为了得到函数 y = 3 × ( ) x 的图象,可以把函数 y = ( ) x 的图象 3 3 A.向左平移 3 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度

8.如图,是函数 y = f (x) 的导函数 f ′(x) 的图象,则下面判断正确的是

1

y

A.在区间(-2,1)上 f (x) 是增函数
-3 -2 2 3 O 1 4 5

B.在(1,3)上 f (x) 是减函数 C.在(4,5)上 f (x) 是增函数

x

D.当 x = 4 时, f (x) 取极大值

9.设函数 y = x3 与 y = 2 2? x 的图象的交点为 ( x0,y0 ) ,则 x0 所在的区间是 .
A. ( 0 , ) 1 B. (1, ) 2 C. ( 2, 3) D. (3, ) 4

10. . 定义新运算 ⊕ : a ≥ b 时,a ⊕ b = a ; a < b 时, a ⊕ b = b2 , 当 当 则函数 f ( x) = (1⊕ x) x ? (2 ⊕ x) ,

x ∈ [ ?2, 2] 的最大值等于
A.-1 B.1 C.6 D.12

小题, 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 填空题( 11.设全集U 是实数集 R , M= { x | x 2 > 4} , N = { x |1 < x < 3} ,则 . 中阴影部分所表示的集合是 ___________ 。
? 1 x ? ( ) , x≥2 12.已知函数 f ( x) = ? 2 ,则函数 f (log 2 3) 的值为 ___________ 。 . ? f ( x + 1), x<2 ?



13.若函数 y = 2 ? x +1 + m 的图象不经过第一象限,则 m 的取值范围是 ___________ 。 . 14.若方程 x 2 + (k ? 2) x + 2k ? 1 = 0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,则 k . 的取值范围 ___________ 。 (本大题满分 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 三、解答题: 本大题满分 80 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题: ( 15.(本题满分 12 分) ( 已知实数 a ∈ {?1,1, a 2 } ,求函数 f ( x) = x 2 ? (1 ? a ) x ? 2 的零点。

16.(本题满分 12 分) (
2

1 已知函数 f ( x) = log 1 [( ) x ? 1] , 2 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)证明:函数 f ( x) 在定义域内单调递增。

17.(本题满分 14 分) ( 某商品每件成本 9 元, 售价为 30 元, 每星期卖出 432 件.如果降低价格, 销售量可以增加, 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x (单位:元, 0 ≤ x ≤ 30 )的平方成正比. 已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件, (Ⅰ)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (Ⅱ)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

18.(本题满分 14 分) ( 若函数 y= x3- ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为 增函数,试求实数 a 的取值范围。
1 3 1 2

19.(本题满分 14 分) (

3

两个二次函数 f ( x) = x 2 + bx + c 与 g ( x) = ? x 2 + 2 x + d 的图象有唯一的公共点 P (1, ?2) , (Ⅰ)求 b, c, d 的值; (Ⅱ)设 F ( x) = ( f ( x) + m) ? g ′( x) ,若 F ( x) 在 R 上是单调函数,求 m 的范围,并指出是单 调递增函数,还是单调递减函数。

20.(本题满分 14 分) (本题满分 设函数 y= f ( x) 是定义在 R 上的函数,并且满足下面三个条件: ①对任意正数 x、y,都 有 f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) ; ②当 x>1 时, f ( x) <0; ③ f (3) = ?1 。

1 (Ⅰ)求 f (1)、f ( ) 的值; 9 (Ⅱ)证明 f ( x)在R + 上是减函数; (Ⅲ)如果不等式 f ( x) + f (2 ? x) < 2 成立,求 x 的取值范围。

届高三数学(文科) 新阳中学 2009 届高三数学(文科)测试题 (集合、简易逻辑、函数、导数)参考答案 集合、简易逻辑、函数、导数)
4

一、选择题 CADBA CDCBC

二、填空题 11、 { x |1 < x ≤ 2} 、 三、解答题 15.(本题满分 12 分) ( 解:∵ a ∈ {?1,1, a 2 } , ∴ a 可能等于 1 或 ?1 或 a 2 。 ………………………………2 分 12、 、
1 6

13、 m ≤ ?2 、

14、 、

1 2 <k< 2 3

当 a = 1 时,集合为 {1, ?1,1} ,不符合集合元素的互异性。∴ a ≠ 1 同理可得 a ≠ ?1 。

∴ a = a 2 ,得 a = 1 (舍去)或 a = 0 。

……………………………9 分

∴ f ( x) = x 2 ? x ? 2 ,解方程 f ( x) = 0 得函数 f ( x) 的零点为 ?1 和 2 。 ………………12 分 16. 本题满分 12 分) . (本题满分 (
1 解: (1)由 ( ) x ? 1 > 0 ,解得 x < 0 2

∴ f ( x) 的定义域为 (?∞, 0) ……………………4 分 (2)证明:设 x1 , x2 ∈ (?∞, 0)且x1 < x2 ,
1 1 ∴ ( ) x2 < ( ) x1 2 2 1 x2 1 则 0 < ( ) ? 1 < ( ) x1 ? 1 2 2

1 1 因此: log 1 [( ) x2 ? 1] > log 1 [( ) x1 ? 1] , 2 2 2 2

即: f ( x1 ) < f ( x2 ) ,则 f ( x) 在(- ∞ ,0)上为增函数。…………………12 分

17.(本题满分 14 分) . 本题满分 解: (1)设商品降价 x 元,则每个星期多卖的商品数为 kx 2 ,若记商品在一个星期的获利为

5

f ( x) ,则依题意有

f ( x) = (30 ? x ? 9)(432 + kx 2 ) = (21 ? x)(432 + kx 2 ) , 又由已知条件, 24 = k 22 ,于是有 k = 6 , ·

……………………4 分

………………………6 分 ……………………7 分

所以 f ( x) = ?6 x 3 + 126 x 2 ? 432 x + 9072,x ∈ [0, . 30]

(2)根据(1) ,我们有 f ′( x) = ?18 x 2 + 252 x ? 432 = ?18( x ? 2)( x ? 12) .…………9 分 当 x 变化时, f ′( x) 与 f ( x) 的变化如下表:

x

2 [ 0,)

(2, 12) 2 12

30 (12, ]

f ′( x) f ( x)

?
?

0

+
?

0

?
? ……………11 分

极小

极大

故 x = 12 时, f ( x) 达到极大值.因为 f (0) = 9072 , f (12) = 11264 , 所以定价为 30 ? 12 = 18 元能使一个星期的商品销售利润最大. …………………14 分

18. (本题满分 14 分)
解: f ′ (x)=x2-ax+a-1=0 得 x=1 或 x=a-1, ……………………3 分

当 a-1≤1,即 a≤2 时,函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意. …6 分 当 a-1>1,即 a>2 时,函数 f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)上为减函 数,在(a-1,+∞)上为增函数. …………………9 分

依题意,当 x∈(1,4)时, f ′ (x)<0,当 x∈(6,+∞)时, f ′ (x)>0, ∴4≤a-1≤6. ∴a 的取值范围为[5,7]. 19. (本小题满分 19. 本小题满分 14 分) ( …………………13 分 …………………14 分

6

解: (1)由已知得 ?

?b + c = ?3 ? 1 + b + c = ?2 化简得 ? …………………………2 分 ? d = ?3 ??1 + 2 + d = ?2

且 x 2 + bx + c = ? x 2 + 2 x + d 即 2 x 2 + (b ? 2) x + c ? d = 0 有唯一解 所以 △= (b ? 2) 2 ? 8(c ? d ) = 0 即
b 2 ? 4b ? 8c ? 20 = 0

…………………………3 分

…………………………5 分

消去 c 得 b 2 + 4b + 4 = 0 , 解得 b = ?2, c = ?1, d = ?3 (2) F ( x) = ( x 2 ? 2 x ? 1 + m) ? (?2 x + 2)
= ?2 x3 + 6 x 2 ? (2 + 2m) x + 2m ? 2

…………………………7 分

…………………………9 分 …………………………10 分

F ′( x ) = ?6 x 2 + 12 x ? 2 ? 2m

若 F ( x) 在 R 上为单调函数,则 F ′( x) 在 R 上恒有 F ′( x) ≤ 0 或 F ′( x) ≥ 0 成立。 因为 F ′( x) 的图象是开口向下的抛物线, 所以 F ′( x) ≤ 0 时 F ( x) 在 R 上为减函数, 所以 △= 122 + 24(?2 ? 2m) ≤ 0 ,解得 m ≥ 2 即 m ≥ 2 时, F ( x) 在 R 上为减函数。 20.解: . (Ⅰ)令 x=y=1 易得 f (1) = 0 . 而 f (9) = f (3) + f (3) = ?1 ? 1 = ?2 ,
1 1 且 f (9) + f ( ) = f (1) = 0,得f ( ) = 2. 9 9 (Ⅱ) 0 < x1 < x1 ? ……………………4 分

…………………………12 分

…………………………14 分

x2 x >1? f ( 2 ) < 0 x1 x1

∴ f ( x2 ) = f (

x2 x ? x1 ) = f ( 2 ) + f ( x1 ) < f ( x1 ) x1 x1
……………………8 分

∴ f (x) 在 R+上为减函数。

7

1 (Ⅲ)由条件(1)及(Ⅰ)的结果得: f [ x(2 ? x)] < f ( ),其中0 < x < 2, 9

1 ? ? x(2 ? x) > , 由(Ⅱ)得: ? 9 ?0 < x < 2 ?
解得 x 的范围是 (1 ?

2 2 2 2 ,1 + ) 3 3

…………………14 分

届高三数学(文科)测试题( 新阳中学 2009 届高三数学(文科)测试题(二) (向量、三角函数、数列) 向量、三角函数、数列)
班级:____________ 姓名:____________ 座号:__________ _____ 评分:______ ________ 班级:____________ 姓名:____________ 座号:____________ 评分:____________ 题号 答案 题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 选择题( 一项是符合题目要求的。 一项是符合题目要求的。 )
1.化简 AC ? BD + CD ? AB 得( A. AB B. DA
1 2 1 B. ? 2

).

C. BC

D. 0
).

2.等比数列 {a n } 中, a1 = ,公比 q = ?1 ,则 S8 = ( A.
1 2

C.0

D.1
).

3.已知两点 M ( 3, 2 ) , N ( ?5, ?5) , MP =

1 MN ,则 P 点坐标是( 2
8

A. ( ?8,1)

3? ? B. ? ?1, ? ? 2? ?

? 3? C. ?1, ? ? 2?

D. ( 8, ?1)

4.下图是函数 f ( x) = sin( x + ? ) 一个周期内的图像,则 ? 可能等于(
5π 6 π C. ? 6
A.

).

π 2 π D. 6 B.

y x 0

5.数列 {a n } 中, a1 = 1, a n +1 = 2a n + 1 ,则 {a n } 的通项公式为(
n n n

).

B. 2 + 1 C. 2 ? 1 D. 2 n +1 A. 2 6.若数列 {a n } 的前 n 项的和 S n = 3n ? 2 ,那么这个数列的通项公式为( ).

?1, n = 1 D. an = ? n ?1 ?2 ? 3 , n ≥ 2 7.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a3 + a7 + a11 为一个确定的常数,则下列各数中也是常 数的是( ). A.S6 B.S11 C.S12 D.S13
3 A. an = ( ) n ?1 2 1 B. an = 3 × ( ) n ?1 2 C. an = 3n ? 2 8.化简 sin150 ? 3 cos150 得到的结果是(

). ).

B. ? 2 C. ? 6 ? 2 D. 6 + 2 A. 2 9.已知等差数列 {an } ,首项为 19,公差是整数,从第 6 项开始为负值,则公差为( A. ?5
B. ?4

C . ?3

D. ? 2

10.△ ABC 的内角满足 tan A ? sin A < 0, sin A + cos A > 0, 则 A 的范围是(

).

π π π π 3π 3π A. (0, ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , π ) 4 4 2 2 4 4 填空题( 小题, 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 1 1 3 11.已知 a = ( , 2sin α ), b = ( cos α , ), 且 a ∥ b ,则锐角 α 的值为 . 3 2 2 12.在等差数列{ an }中,前 15 项的和 S15 = 90 ,则 a8 = . 13.有纯酒精 aL( a > 1) ,从中取出 1 L ,再用水加满;然后再取出 1 L ,再用水加满,如此反 复进行,则第九次取出 L 酒精. 14.观察下表中的数字排列规律,第 n 行( n ≥ 2 )第 2 个数是 .
…… 2 2 …… 3 4 3 …… 4 7 7 4 …… 5 11 14 11 5 …… 6 16 25 25 16 6 …… 1
… …

…… …… …… …… …… ……

第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行

(本大题满分 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 三、解答题: 本大题满分 80 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题: (
9

15. (本小题满分 12 分) {a n } 为等差数列,S n 为数列 {a n } 的前 n 项和, 设 已知 S 7 = 7, S15 = 75 , 求数列 {a n } 的通项公式.

16. (本小题满分 14 分)在△ABC 中,已知 tan A = (1)求角 C; 2)求△ABC 的面积 S. (

1 1 , tan B = 且最长边为 1. 2 3

17. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) =

1 3 cos 2 x + sin x ? cos x + 1( x ∈ R ) 2 2

(1)求函数 f (x) 的对称中心,最大值及取得最大值的条件; (2)求 f (x) 的单调增区间.

1 18. (本小题满分 12 分)数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n = (a n ? 1) 3 (1)求 a1 , a 2 及 a3 ; 2)证明:数列 {a n } 是等比数列,并求 a n . (

10

19. (本小题满分 14 分)四边形 ABCD 中, AB = (6,1), BC = ( x, y ), CD = (?2,?3) (1)若 BC // DA ,试求 x 与 y 满足的关系式; (2)满足(1)的同时又有 AC ⊥ BD ,求 x, y 的值及四边形 ABCD 的面积.

20. (本小题满分 14 分)数列{ an }是公比为 q 的等比数列, a1 = 1 , an + 2 =

an +1 + an (n ∈ N ? ) 2

(1)求公比 q ; (2)令 bn = nan ,求{ bn }的前 n 项和 Sn .

11

届高三数学(文科) 新阳中学 2009 届高三数学(文科)测试题 (向量、三角函数、数列)参考答案 向量、三角函数、数列)
1-10 DCBDC DDBBC 11、
π 4 12、6 13、 ?1 ? ? a
? ? ? 1?
8

14、

n2 ? n + 2 2

7×6 ? ? S7 = 7 a1 + 2 d = 7 ?a = ?2 ? 15.解:由题意知 ? ,解得 ? 1 ,所以 an = n ? 3 .………12 分 ?d = 1 ? S = 15a + 15 × 14 d = 75 1 ? 15 2 ?

16.解: 1)由 tan( A + B ) = (

tan A + tan B = 1, …………2 分 1 ? tan A tan B 而在△ABC 中,0<A+B<π,…………………………………3 分 π 3 所以 A + B = ,则 C = π ;…………………………………5 分 4 4 (2)在△ABC 中,∵∠C 是钝角, ∴∠B、∠A 是锐角,

由 tan B =

1 10 ,得 sin B = . 3 10

…………………………………8 分

由正弦定理

b c 5 = ,得 b = . ……………………………10 分 sin B sin C 5

由 tan A =

1 5 ,得 sin A = 2 5

…………………………………12 分
12

∴△ABC 的面积 S =

1 1 bc sin A = ………………………………14 分 2 10

1 1 + cos 2 x 3 1 1 1 3 5 17.解:由已知可得 f ( x) = × + × sin 2 x + 1 = ( cos 2 x + sin 2 x) + 2 2 2 2 2 2 2 4 1 π 5 f ( x) = sin(2 x + ) + . 2 6 4 k π 5 (1)对称中心为 ( π ? , ) , k ∈ Z ; 2 12 4 π 7 当 x = kπ + , k ∈ Z 时 f ( x) max = ; 6 4



……………………6 分 ……………………8 分 ……………………10 分
kπ ?

(2)由 2kπ ?

π

2

≤ 2x +

π

6

≤ 2k π +

π

2

(k ∈ Z ) ,解得

π
3

≤ x ≤ kπ +

π
6

所以 f(x)的单调增区间为: [kπ ?
18. (1) n = 1 时, 1 = S1 = 解: 当 a

π
3

, kπ + ](k ∈ Z ) . 6

π

……………………14 分

1 1 1 1 得 当 得 ( a1 ? 1) , a1 = ? ; n = 2 时,S2 = a1 + a2 = ( a2 ? 1) , a2 = , 3 2 3 4

同理可得 a3 = ? . (2)当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 =

1 8

…………………………………6 分

a 1 1 1 1 1 ( an ? 1) ? ( an ?1 ? 1) = an ? an?1 ,所以 n = ? . 3 3 3 3 an ?1 2 1 故数列 {a n } 是公比为 ? 的等比数列 ……………………10 分 2 n 1 ? 1? 又 a1 = ? ,∴ an = ? ? ? . ……………………12 分 2 ? 2?

19.解: (1) BC = ( x, y )

DA = ? AD = ?( AB + BC + CD) = ?( x + 4, y ? 2) = (? x ? 4,? y + 2) …2 分
则有 x ? (? y + 2) ? y ? (? x ? 4) = 0 化简得: x + 2 y = 0 …………4 分 又 AC ⊥ BD

∵ BC // DA

(2) AC = AB + BC = ( x + 6, y + 1)

BD = BC + CD = ( x ? 2, y ? 3)

则 ( x + 6) ? ( x ? 2) + ( y + 1) ? ( y ? 3) = 0 ?x + 2 y = 0 联立 ? 2 2 ? x + y + 4 x ? 2 y ? 15 = 0

化简有: x 2 + y 2 + 4 x ? 2 y ? 15 = 0 …………8 分 ?x=2 或? ? y = ?1 ……………10 分

? x = ?6 解得 ? ? y=3

∵ BC // DA AC ⊥ BD 则四边形 ABCD 为对角线互相垂直的梯形
? x = ?6 当? ? y=3 ?x=2 当? ? y = ?1

AC = (0,4) BD = (?8,0) ,此时 S ABCD =

1 ? AC ? BD = 16 ……………12 分 2 1 ? AC ? BD = 16 2

AC = (8,0) BD = (0,?4) ,此时 S ABCD =

……………14 分

20.解: 1)∵{an}为公比为 q 的等比数列,an+2= (
13

an +1 + an (n∈N*) 2

an q + an 1 ,即 2q2―q―1=0,解得 q=- 或 q =1 2 2 n ( n + 1) (2)当 an=1 时,bn=n, Sn=1+2+3+…+n= 2

∴an·q2=

………6 分 ………8 分

? 1? 当 an= ? ? ? ? 2?

n?1

? 1? 时,bn=n· ? ? ? ? 2?
2

n?1


n? 2

1 ? 1? ? 1? (- )+3· ? ? ? +…+(n-1) ? ? ? · S n =1 +2 · 2 ? 2? ? 2? 1 1 ? 1? ? 1? - Sn=(- )+2· ? ? ? +…+(n-1) ? ? ? · 2 2 ? 2? ? 2? 3 ? 1? ? 1? ? 1? ①—②得 Sn=1+ ? ? ? + ? ? ? +…+ ? ? ? 2 ? 2? ? 2? ? 2?
? 1? 1? ? ? ? n ? 2 ? -n · ? ? 1 ? = ? ? 1 ? 2? 1+ 2
n
n

? 1? +n · ? ? ? ? 2? ? 1? +n ? ? ? ? 2?
n n

n?1

① ②

2

n?1

2

n?1

? 1? -n ? ? ? ? 2?

2 2? 1? ? 1? = ? ?? ? ? n i ?? ? 3 3? 2? ? 2?

n

4 4 ? 1 ? 2n ? 1 ? i ? ? ? ……14 分 Sn= ? ? ? ? ? 9 9? 2? 3 ? 2?

n

n

14


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