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2009学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 (理科试卷)


2009 学年第二学期徐汇区高三年级数学学科 学习能力诊断卷 (理科试卷) (120 分钟, 满 分 150 分)2010.4
一. 填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1 2 1.设集合 A ? {x | ? ? x ? 2}, B ? {x x ? 1} ,则 A ? B ? _______________. 2 3 2.已知△ABC 中, cot A

? ? ,则 cos A ? _______________. 4
3. 若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ? ) ,则前 6 项的和 S6 ? 字作答) 4. ( x ? 2)6 的展开式中 x 的系数为_____________.
3

.(用数

5.若球 O1、O2 表示面积之比

S1 R ? 9 ,则它们的半径之比 1 =_____________. R2 S2

6.函数 f ( x) ? 2x ? 4( x ? 4) 的反函数为________________.
4 2 k 7.三阶行列式 ? 3 5 4 第 2 行第 1 列元素的代数余子式为 ? 10 ,则 k ? ____________. ?1 1 ? 2

8.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 ?F1PF2 的大小为 9 2

____________ ___. 9. ?ABC 中,已知 AB ? 2 , AC ? 2 2 ,则 ?ACB 的最大值为_______________.

b 10.有 5 只苹果,它们的质量分别为 125 a 121 127(单位:克) :若该样本的 124 , 则该样本的标准差 s =_____________.(克) 中位数和平均值均为 (用数字作答)
11.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4cos? 于 A、B 两点, 则 AB =______________________. 12.某学生参加一次世博志愿者测试,已知在备选的 10 道试题中,预计每道题该学生答对 的概率为

2 。规定每位考生都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试,则该学生仅答对 2 道 3

题的概率是______________.(用数值表示) 13. 已知 a ? 1 时,集合 ? a, 2 ? a? 有且只有 3 个整数,则 a 的取值范围是___________. 14. 设 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?1.5? ? 1, ??1.5? ? ?2 . 若 函 数 f ? x? ?

ax 1? ? 1? ? a ? 0, a ? 1? , 则 g ? x ? ? ? f ? x ? ? ? ? ? f ? ? x ? ? ? 的 值 域 为 x ? 1? a 2? ? 2? ?

________________.

二.选择题: (本题满分 16 分,每小题 4 分) 3?i 15. 复数 等于---------------------------------------------------------------------------------( 1? i
A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i C. 2 ?i D. 2 ? i



16.下列函数中,与函数 y ? A . f ( x) ? log2 x

1 有相同定义域的是--------------------------------------( x
1 x
C. f ( x) ?| x | D. f ( x) ? 2x



B. f ( x) ?

17.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则----------------------------(

??? ??? ? ?

??? ?

) B

??? ??? ? ? ? A. PA ? PB ? 0

??? ??? ? ? ? B. PB ? PC ? 0

??? ??? ? ? ? C. PC ? PA ? 0

??? ??? ??? ? ? ? ? D. PA ? PB ? PC ? 0

A

P 第 17 题图

C

18. 已知 AC , BD 为圆 O : x2 ? y 2 ? 4 的两条互相垂直的弦, AC , BD 交于点 M 1, 2 , 则四边形 ABCD 面积的最大值为----------------------------------------------------------------( A4 B5 C6 D7 )

?

?

三.

解答题: (本大题共 5 题,满分 78 分) 19 . 本 题 满 分 14 分 ) 在 ?ABC 中 , a 、 b 、 c 是 ? A 、 ? B 、 ?C 的 对边 , 已知 (
?B ? 450 , ?C ? 600 , a ? 2
20. (本题满分 14 分) (如图) 已知正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱长均为 1,M 为棱 A1B1 上的点,N 为棱 BB1 的 1 中点,异面直线 AM 与 CN 所成角的大小为 arccos

?

3 ? 1 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC .

?

A1M 2 ,求 的值. 5 MB1
A1

D1

C1 B1

21. (满分 16 分;第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分,第三 小题 6 分) 已知函数 f ( x) ?

D A

C
B

x?a (a ? 0) ax

(1)判断并证明 y ? f (x) 在 x ? (0,??) 上的单调性; (2)若存在 x0 ,使 f ? x0 ? ? x0 ,则称 x0 为函数 f ? x ? 的不动点,现已知该函数有且仅有一

个不动点,求 a 的值,并求出不动点 x0 ; (3)若 f ( x) ? 2 x 在 x ? (0,??) 上恒成立 , 求 a 的取值范围. 22. (本题满分 16 分;第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 6 分) 设 P ? a, b ?? a ? b ? 0? 、 R ? a,2? 为坐标平面 xoy 上的点,直线 OR ( O 为坐标原点)与抛物 线y ?
2

4 x 交于点 Q (异于 O ). ab

(1) 若对任意 ab ? 0 , Q 在抛物线 y ? mx2 ? 1? m ? 0? 上, 点 试问当 m 为何值时, P 点 在某一圆上,并求出该圆方程 M ; (2) 若点 P(a, b) ? ab ? 0? 在椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 1 上,试问:点 Q 能否在某一双曲线上,若 能,求出该双曲线方程,若不能,说明理由; (3) 对(1)中点 P 所在圆方程 M ,设 A 、 B 是圆 M 上两点,且满足 OA ? OB ? 1 , 试问:是否存在一个定圆 S ,使直线 AB 恒与圆 S 相切. 23. (本题满分 18 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 设数列 ?an ?? n ? 1, 2,?? 是等差数列,且公差为 d ,若数列 ?an ? 中任意(不同)两项之和 仍是该数列中的一项,则 称该数列是“封闭数列”. (1)若 a1 ? 4, d ? 2 ,判断该数列是否为“封闭数列” ,并说明理由? (2)设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,若公差 d ? 1, a1 ? 0 ,试问:是否存在这样的“封闭数 列” ,使 lim ? 由; (3)试问:数列 ?an ? 为“封闭数列”的充要条件是什么?给出你的结论并加以证明.

?1 1 1 ? 11 ? ? ? ? ? ? ;若存 在,求 ?an ? 的通项公式,若不存在,说明理 n ?? S Sn ? 9 ? 1 S2

2009 学年第二学期徐汇区高三年级数学学科 学 习 能 力 诊 断 卷 理科试卷参考答案及评分标准(2010.4)
一. 填空题: 1. {x ?1 ? x ? 2} 5.3 9. 6. f
?1

2. ?

3 5

3.63 7. ?14 11. 2 3

4. 160 8. 120? 12.

( x) ?

? 4

1 2 x ? 2( x ? 2) 2

10. 5 14. 15.D 16.A

4 9

13. ?1 ? a ? 0 二.选择题: 三.解答题:
0

??1,0?
17.C 18.B

19.解: A ? 180 ? ? B ? C ? ? 75 ,--------------------------------------------------------------2 分
0

sin A ? sin 750 ? sin ? 450 ? 300 ? ?

6? 2 ----------------------------------------------------6 分 4

由正弦定理

2 3 ?1 a b b ? ? ? ? b ? 4 ,-----------------------------------10 分 sin A sin B 6? 2 2 4 2

?

?

∴ S?ABC ?

1 1 ab sin C ? ? 2 2 2

?

3 ?1 ? 4 ?

?

3 ? 6 ? 2 3 。----------------------------14 分 2 ? ? 1? ? 2?

20. 解: 如图建立空间直角坐标系,则 A( 1,0,0 ),C( 0,1,0 ), M ?1, a,1? , N ?1,1,
AM = 0, a ,1 , CN = 1,0,

z D1 A1 M B1 N D A x B C y C1

(

)

(

1 2

) (其中 a ? 0 )-----4 分

设向量 AM 、 CN 的夹角为 ? ,

???? ???? ? AM ? CN 则 cos ? ? ???? ???? ? ? AM ? CN

2 ? , 2 5 ?1? 2 1? a ? 1? ? ? ?2?

1 2

5 1 ? 1 ? a2 ? ? a ? -------------------------------------------------10 4 2


???? ???? ? AM ? CN 或 cos ? ? ???? ???? ? ? AM ? CN
分 所以当 a ? 分 21.解: (1) f ( x) ?

1 2 ?1? 1 ? a2 ? 1 ? ? ? ?2?
2

??

2 ,无解;-----------------------------------12 5

A1M 1 时, ? 1 , -------------------------------------------------------------------------14 2 MB1
1 1 ? a x

对任意的 x 1 , x 2? (0, ??)且x 1 ? x 2 ------------------------------------------- 1 分

x ?x 1 1 1 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 1 2 -------------------------------- 3 分 a x1 a x2 x1 x 2
∵ x1 ?x 2 ? 0 ∴ x1 ? x 2 ? 0, x1 x 2 ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,函数 y ? f (x) 在 x ? (0,??) 上单调递增。-----------------5 分

x?a ? ax 2 ? x ? a ? 0 ,-------------------------------------7 分 ax 1 2 令 ? ? 1 ? 4a ? 0 ? a ? (负值舍去)---------------------------------------9 分 2 1 1 2 1 2 2 将 a ? 代入 ax ? x ? a ? 0 得 x ? x ? ? 0 ? x ? 2 x ? 1 ? 0 ? x0 ? 1 ---------10 分 2 2 2 1 1 (3)∵ f ( x) ? 2 x ∴ ? 2 x ? ----------------------------------------12 分 a x
(2)解:令 x ? ∵x ? 0 ∴ 2x ?

1 2 ? 2 2 (等号成立当 x ? )--------------------14 分 x 2



1 1 ? (2 x ? ) a x

min

?2 2?a?

2 4

? 2 ? , ?? ? ------------------------------------------16 分 ? a 的取值范围是 ? ? 4 ? ? ?

2 ? ?y ? a x ? ?a 2? ? Q ? , ? ,-----------------------------------------------------2 分 22.解: (1)? ? ?b b? ? y2 ? 4 x ? ab ?

2 ?a? 2 2 代入 y ? mx ? 1? ? m ? ? ? 1 ? ma ? b ? 2b ? 0 ---------------------------------- 4 分 b b? ?
2
2 当 m ? 1 时,点 P (a, b) 在圆 M : x ? ? y ? 1? ? 1 上-------------------------------------------5 分 2 2 (2)? P ? a, b ? 在椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 1 上,即 a ? ? 2b ? ? 1 2

2

1 ? 可设 a ? cos ? , b ? sin ? ------------------------------------------------------------------------7 分 2

a ? 2 2 2 2 ? xQ ? b ? ?a 2? ? 2? ?a? ? 4 ? ? 2cos ? ? 2 2 又? Q ? , ? , 于是? ? ? yQ ? mxQ ? ? ? ? m ? ? ? ? ? ? m? ? ?b b? ?b? ? b ? ? sin ? ? ? sin ? ? ?y ? 2 ? Q b ?
16 4m cos 2 ? ? ? ? 16 (令 m ? 4 ) sin 2 ? sin 2 ?

? 点 Q 在双曲线 y 2 ? 4x2 ? 16 上--------------------------------------------------------------------10 分
2 (3)? 圆 M 的方程为 x ? ? y ? 1? ? 1 2

设 AB : x ? ky ? ?, A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由 OA ? OB ? 1
2 2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? y1 ? 1? ? y12 ? 1 ? ? y2 ? 1? ? y2 ? 2 y1 ? 2 y2 ? 1 2 2

1 ? y1 y2 ? --------------------------------------------------------------------------------------------- -12 分 4

? x 2 ? ? y ? 1?2 ? 1 ? 又? ? ? x ? ky ? 1 ?
? ? k ? 1? y ? 2 ? k ? ? 1? y ? ? ? 0 ,? y1 y2 ?
2 2 2

?2
k 2 ?1

?

? 1 1 ? ? ------------14 分 2 4 k ?1 2

又原点 O 到直线 AB 距离 d ?

?
1? k 2

?d ?

1 1 ,即原点 O 到直线 AB 的距离恒为 2 2

? 直线 AB 恒与圆 S : x 2 ? y 2 ?

1 相切。----------------------------------- ----------------------16 分 4

23. (1)数列 ?an ? 是“封闭数列” ,因为: an ? 4 ? ? n ?1? ? 2 ? 2n ? 2 ,---------------1 分

对任意的 m, n ? N ? ,有

am ? an ? ? 2m ? 2? ? ? 2n ? 2? ? 2 ? m ? n ?1? ? 2 ,---------------------------------------------3 分
? m ? n ? 1? N ? 于是,令 p ? m ? n ? 1 ,则有 ap ? 2 p ? 2 ??an ? -------------------------4 分
(2)解:由 ?an ? 是“封闭数列” ,得:对任意 m, n ? N ? ,必存在 p ? N ? 使

a1 ? ? n ?1? ? a1 ? ? m ?1? ? a1 ? ? p ?1? 成立,----------------------------------------------------5 分
于是有 a1 ? p ? m ? n ? 1 为整数,又? a1 ? 0 ? a1 是正整数。-------------------------------6 分 若 a1 ? 1 则 S n ?

?1 1 n(n ? 1) 1 ? 11 ,所以 lim ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ,-----------------------7 分 n ?? S 2 Sn ? 9 ? 1 S2 ?1 1 n(n ? 3) 1 ? 11 ,所以 lim ? ? ? ? ? ? ? ,------------------------8 分 n ?? S 2 Sn ? 9 ? 1 S2
n(2a1 ? n ? 1) n ? n ? 3? ? ,于是 2 2

若 a1 ? 2 ,则 S n ?

若 a1 ? 3 ,则 Sn ?

?1 1 1 2 1 ? 11 ,所以 lim ? ? ? ? ? ? ? ? ,------------------------------------------9 分 n ?? S Sn n(n ? 3) Sn ? 9 ? 1 S2
? 综上所述, a1 ? 2,? an ? n ? 1 n ? N ,显然,该数列是“封闭数列” 。---------------- 10 分

?

?

(3)结论:数列 ?an ? 为“封闭数列”的充要条件是存在整数 m ? ?1 ,使 a1 ? md .----12 分 证明: (必要性)任取等差数列的两项 as , at ? s ? t ? ,若存在 ak 使 as ? at ? ak ,则

2a1 ? ? s ? t ? 2? d ? a1 ? ? k ?1? d ? a1 ? ? k ? s ? t ? 1? d
故存在 m ? k ? s ? t ? 1? Z ,使 a1 ? md ,---------------------------------------------------------14 分 下面证明 m ? ?1 。当 d ? 0 时,显然成立。 对 d ? 0 ,若 m ? ?1 ,则取 p ? ?m ? 2 ,对不同的两项 a1 , a p ,存在 aq 使 a1 ? a p ? aq , 即 2md ? ? ?m ?1? d ? md ? ? q ?1? d ? qd ? 0 ,这与 q ? 0, d ? 0 矛盾, 故存在整数 m ? ?1 ,使 a1 ? md 。--------------------------------------------------------------16 分 (充分性)若存在整数 m ? ?1 使 a1 ? md ,则任取等差数列的 两项 as , at ? s ? t ? ,于是

as ? at ? a1 ? ? s ?1? d ? md ? ?t ?1? d ? a1 ? ? s ? m ? t ? 2? d ? as?m?t ?1
由于 s ? t ? 3, m ? ?1? s ? t ? m ? 1 为正整数,? as ?m?t ?1 ??an ? 证毕.- -----------------18 分


2009学年第二学期徐汇区高三数学(理科)学习能力诊断卷(附答案)

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