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圆锥曲线中的最值问题和定值问题专题


与圆锥曲线有关的几个最值问题
平面解析几何是一门研究点的运动变化规律的学科, 圆锥曲线中的范围问题或最值问题 较为常见,所涉及的知识面也较为广泛,是教师和同学感觉较为棘手一个难点。下面就几个 常见的最值问题谈几个常见的解决方法。 一、圆锥曲线上的任一点与圆锥曲线对称轴上某一定点的距离的最值问题: 求圆锥曲线上任一点到某一定点的距离的最值问题,可借助“点在曲线上”实现变量

统 一, 将横纵坐标两个变量中的一个用另一个表示, 构造关于其中一个坐标的二次函数求最值。

x2 2 例 1、 (06 全国高考题)设 B 是椭圆 2 ? y ? 1(a ? 1) 短轴的一个端点, P 为椭圆上 a y
的一个动点,求 | BP | 的最大值。 解:由题意, B 点坐标为 B(0, b) 。设 P( x0 , y 0 ) , 则 | BP | ? x0 ? ( y 0 ? b) ,
2 2 2

B

x
P
(图一)

x 2 2 2 2 因为 P 是椭圆上的点, 所以 02 ? y 0 ? 1( a ? 1) , 则有 x 0 ? a (1 ? y 0 ) , ? b ? y 0 ? b , 且 a

2

| BP | 2 ? a 2 (1 ? y 0 ) ? ( y 0 ? b) 2
2

所以

? ?(a 2 ? 1) y 0 ? 2by0 ? a 2 ? b 2
2

b 2 a 4 ? a 2 ? a 2b 2 ? ?(a ? 1) ( y 0 ? 2 ) ? (?b ? y 0 ? b) a ?1 a2 ?1
2

令 f ( y 0 ) ? ?(a ? 1)( y 0 ?
2

b 2 a 4 ? a 2 ? a 2b 2 ) ? (?b ? y 0 ? b) a2 ?1 a2 ?1

因为 a ? 1 ,所以 a 2 ? 1 ? 0 ,则 若 a ? 1 ? 1 ,即 a ?
2

2 ,则当 y 0 ? ?b 时, (| BP | 2 ) max ? f (?b) ? 2b 2 ? 2 ;
2 2

若 0 ? a 2 ? 1 ? 1 ,即 1 ? a ? 2 ,则当 y 0 ? ?b 时, (| BP | ) max ? f (?b) ? 2b ? 2 ; 若 a 2 ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,则当 y 0 ? ?

b a 4 ? a 2 ? a 2b 2 b 2 )? 时, (| BP | ) max ? f (? 2 。 a ?1 a2 ?1 a2 ?1

综上:略。 说明: 在圆锥曲线上任一点到某一定点的距离的最值问题中, 所给定点一般都是圆锥曲 线的对称轴上的点,否则变量统一往往比较困难。

x2 y2 ? ? 1 的焦点,点 P 在双曲线 例 2、 (03 上海理 12)给出问题: F1 , F2 是双曲线 16 20
上。若点 P 到焦点 F1 的距离等于 9,求点 P 到焦点 F2 的距离。

某学生的解答如下:双曲线的实轴长为 8,由 || PF1 | ? | PF2 ||? 8 ,即 | 9? | PF2 || ? 8 , 得 | PF2 |? 1 或 17。 该学生的解答是否正确?若正确,请写出他的解题依据;若不正确,请写出正确结果。 分析:利用例 1 的方法易证,双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, c 2 ? a 2 ? b 2 ) 上到其一 a 2 b2

焦点 F 的距离最近的点 P 是与这个焦点对应的一支的顶点 A ,即 | PF | min ? c ? a 。所以本 例中 | PF2 | min ? 6 ? 4 ? 2 ,故 | PF2 |? 17 符合题意。 二、与圆锥曲线的定义所涉及的一些特殊点有关的最值问题: 求圆锥曲线上任一点与一个或几个定点的距离的最值问题中, 如果所给定点与圆锥曲线 定义有关,不妨利用定义中所蕴藏的内在关系解决问题。 例 3 、 06 江 西 高 考 题 ) P 为 双 曲 线 C : (

x2 y 2 ? ?1 右支上一点, M,N 分别是圆 9 16

F1 : ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 4 和 F2 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 1 的 点 , 则 | PM | ? | PN | 的 最 大 值
是 。 解:如图三,两定圆的圆心 F1 (?5,0) 、 F2 (5,0) 即双曲线 C 的左右焦点,由双曲线定义可

|m | 知 | PF1 | ? | PF2 |? 6 。 | PM xa ?| PF1 | ?r1 ?| PF1 | ?2 , PN | min ?| PF2 | ?r2 ?| PF2 | ?1 , 又
所以 (| PM | ? | PN |) max ?| PM | max ? | PN | min ?| PF1 | ? | PF2 | ?2 ? 1 ? 6 ? 3 ? 9 。
y P N M F1 F2 x

y B M// F1 M/ x

A

( 图二 ) 例 4、已知 A(4,0), B(2,2) 是椭圆 C :

(图三)

x2 y 2 ? ? 1 内的点, M 是椭圆上的动点,求 25 9

| MA | ? | MB | 的最大值与最小值。
解:由题意,点 A 即椭圆右焦点 F2 (如图三) ,设椭圆左焦点 F1 ,则 F1 (?4,0) ,由椭

圆定义可知 | MA |? 2a? | MF1 |? 10? | MF1 | ,则 | MA | ? | MB |? 10? | MB | ? | MF1 | ,显然,当

M 、 F1 、 B 三 点 共 线 时 , || MA | ? | MB || max ?| BF1 |? 2 10 , 所 以
(| MA | ? | MB |) max ? 10 ? 2 10 , (| MA | ? | MB |) min ? 10 ? 2 10 。
说明:三角形中“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”“两点之间线段最短” , 等平面几何中的一些重要结论是平面解析几何中求解最值问题的一些理论依据, 问题在于如 何将所要解决的最值问题转化成这些广为人知的数学模型。 三、圆锥曲线上的任意点到某一定直线的距离的最值问题: 求圆锥曲线上任一点到某一定直线的距离的最值,借助“点在曲线上”实现变量统一往 往比较困难,这时可借助“切线平移法”实现变量统一或“三角代换”求最值。 例 5、 (06 全国高考题)求抛物线 y ? ? x 上的点到直线 l : 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值。
2

解法一: 设抛物线 y ? ? x 上任一点 P 坐标为 ( x 0 , y 0 ) , 则点 P 到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的
2

距离为 d ?

| 4 x0 ? 3 y 0 ? 8 | 4 ,下面同例 1 解法易得 d min ? 。 3 5

l l?
O

y

解法二: (切线平移法) 设与直线 l 平行的直线 l ? 的方程为: 4 x ? 3 y ? b ? 0 , 则直线 l ? 平移到与抛物线相切时的切点 Q 即抛物线上到 直线 l 最近的点,直线 l 与 l ? 的距离即所求最小距离。 由?

Q

x

?4 x ? 3 y ? b ? 0 ? y ? ?x
2

4 ? 3 x 2 ? 4 x ? b ? 0 ,则由△ ? 16 ? 12b ? 0 ? b ? ? 。 3

4 | ? ?8| 4 2 3 则抛物线 y ? ? x 上的点到直线 l : 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值为 d ? ? 。 5 3
说明: 在求椭圆或双曲线一支上的一点到一条定直线的距离的最值问题中, “变量统一” 很难做到,在这种情况下, “切线平移法”就显得较为方便。 例 6、求椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的点到直线 l : x ? y ? 3 ? 0 距离的最小值。 4

解法一: (切线平移法)设与直线 l 平行的直线 l ? 的方程为: x ? y ? b ? 0 ,

?x ? y ? b ? 0 ? ? 5 x 2 ? 8bx ? 4b 2 ? 4 ? 0 ,则由△ ? 0 ? b ? ? 5 , 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4
则 l ? : x ? y ? 5 ? 0 ,则 d max ?

| 5 ?3| 2

?

6 ? 10 | 5 ? 3 | 6 ? 10 , d min ? ? 。 2 2 2

解法二: (三角代换法) 设 P ( x0 , y 0 ) 为椭圆上任一点,因为

? x0 ? 2 cos? x2 ,则点 P 到直 ? y 2 ? 1 ,所以可设 ? 4 ? y 0 ? sin ?
? | 5 s i ? ? ?) ? 3 | n ( 2 , (? ? ? ? a r c t2)a , 则 n

线 l 距 离 为 d?

| 2 c o?s ? s i ? ? 3 | n 2

d max ?

| 5 ?3| 2

?

6 ? 10 | 5 ? 3 | 6 ? 10 , d min ? ? 。 2 2 2

说明:与圆、椭圆或双曲线有关的最值问题中,利用三角比中的平方关系实现变量统一 也是平面解析几何中一种较为常见的方法。 通过前面几种常见最值问题的赘述可以看到, 解析几何中的最值问题和以前所学过的知 识是存在着一种紧密的内在联系的, 只要我们能够深刻理解圆锥曲线的定义及方程所揭示的 内涵,灵活运用数形结合的数学思想,就可以将问题转化为我们所熟悉的一些数学模型,将 问题解决。

练习: 1、 (2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 已知以原点 O 为中心的双曲线的一条准线方程为 x ? (Ⅰ)求该双曲线的方程; (Ⅱ)如题(20)图,点 A 的坐标为 ( ? 5, 0) , B 是圆 x ? ( y ? 5) ? 1 上的点,点
2 2

5 ,离心率 e ? 5 . 5

M 在双曲线右支上,求 MA ? MB 的最小值,并求此时 M 点的坐标;

w. w.w. k. s.5.u.c.o.m

解: Ⅰ)由题意可知,双曲线的焦点在 x 轴上,故可设双曲线的方程为 (

x2 y 2 5 a2 5 2 2 得 ,由 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,设 c ? a ? b ,由准线方程为 x ? ? 2 5 c 5 a b
e? 5


c ? 5 a

解得 a ? 1, c ? 5

从而 b ? 2 ,?该双曲线的方程为 x ?
2

y2 ? 1; 4

(Ⅱ)设点 D 的坐标为 ( 5, 0) ,则点 A、D 为双曲线的焦点,| MA | ? | MD |? 2a ? 2 所以 | MA | ? | MB |? 2? | MB | ? | MD |≥ 2? | BD | ,? B 是圆 x ? ( y ? 5) ? 1 上
2 2

| ? 1 的 点 , 其 圆 心 为 C (0, 5) , 半 径 为 1 , 故 | B D≥ | C D | ? | M A |? | M ≥| ?2 B |B D | ≥ ? 0 1 1

10 ?

1 从而

当 M , B 在线段 CD 上时取等号,此时 | MA | ? | MB | 的最小值为 10 ? 1

?直线 CD 的方程为 y ? ? x ? 5 ,因点 M 在双曲线右支上,故 x ? 0
?4 x 2 ? y 2 ? 4 ? 由方程组 ? ? y ? ?x ? 5 ?
所以 M 点的坐标为 ( 解得 x ?

? 5?4 2 4 5 ?4 2 ,y? 3 3

? 5 ?4 2 4 5 ?4 2 , ); 3 3

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

圆锥曲线中的恒成立问题
y 结论一、 以椭圆

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点 P ( x0 , y0 ) 与椭圆的焦点 2 a b
2 2 2

2

2

P A F1 O F2 x B

连线 PF 为直径的圆必与圆 x ? y ? a 内切.

y 类比: P 1.以双曲线

x y ? 2 ? 1(a, b ? 0) 上的点 P ( x0 , y0 ) 与双曲线的焦点 2 a b
F1 O F2
2 2 2

2

2

x

连线 PF 为直径的圆必与圆 x ? y ? a 相切. y

A x

O B

F

2.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的弦 AB 过焦点 F, 则以线段 AB 为直径的圆比与准线相切。 以线
2

段 AF 为直径的圆必与 y 轴相切.

结论二、过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的点 P ( x0 , y0 ) 与椭圆的长轴 a 2 b2
F1 O

y

P x F2 B

b2 (或短轴) 两个顶点连线 PA、 PB, 则直线 AB 的斜率之积恒等于 ? 2 . A a
类比:

x2 y 2 过双曲线 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 上的点 P ( x0 , y0 ) 与实轴(或虚轴)两 a b
A O 个顶点连线两条倾斜角互补的弦 PA、 则直线 AB 的斜率恒等于 PB,

y

B P

x

b . a2
y P A F1 O M

2

x2 y 2 结论三、椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点 P ( x0 , y0 ) 与椭圆的两 a b
个焦点连线 PF1、PF2,过焦点作三角形⊿PF1F2 的外角平分线的垂 线,垂足为 M,则 M 恒在圆 x ? y ? a 上.
2 2 2

F2 B

x

类比:

x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 上的点 P ( x0 , y0 ) 与双曲线的两个焦点 a b
连线 PF1、 2, PF 过焦点作三角形⊿PF1F2 的角∠F1PF2 平分线的垂线, 垂足为 M,则 M 恒在圆 x ? y ? a 上.
2 2 2

y P M F1 O F2 x

x2 y 2 结论四、椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点 P ( x0 , y0 ) 与椭圆 a b
的两个焦点连线 PF1、PF2,三角形⊿PF1F2 的旁切圆(与 PF2 边相切,与 PF1 和 F1F2 的延长线相切)必与长轴相切于椭圆的 顶点. B F1 O

y P M F2 A x

y 类比: M F1 O F2 P x

双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 上的点 P ( x0 , y0 ) 与双曲线的两个焦点连线 PF1、PF2,三角形 a 2 b2

⊿PF1F2 的内切圆必与实轴相切于双曲线的顶点.

结论五、已知 A 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点,过 a 2 b2
A

y M P F1 N O F2 x

作 两 条 相 互 垂 直 的 弦 AM , AN , 则 直 线 MN 过 定 点

(?

a(a 2 ? b 2 ) , 0) . a 2 ? b2

类比: 1. 已知 A 为双曲线

M

y

x2 y 2 过作两条相互垂直的 ? ? 1(a, b ? 0) 的右顶点 A, a 2 b2

P N y

x O A

a (a 2 ? b 2 ) 弦 AM , AN , 则直线 MN 过定点 ( 2 , 0) . a ? b2
2. 已知 MN 为抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的弦,若 OM ? ON ,则
2

M x

O 直线 MN 过定点 P(2 p, 0) .

F N

P

结 论 六 、 已知 PQ 为椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的弦 ,若 a 2 b2
ab a 2 ? b2
. F1

Q

y P x

OP ? OQ ,则原点 O 到弦 PQ 的距离为定值 d ?
类比:

O

F2

y M N F O
1

x2 y 2 已知 MN 为双曲线 2 ? 2 ? 1(b ? a ? 0) 的弦,若 OM ? ON ,则原 a b
点 O 到弦 PQ 的距离为定值 d ?

x F2

ab b ? a2
2



x2 y 2 结论七、过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上点 P 作椭圆的切线, a b
椭圆的两焦点 F1 , F2 到切线的距离之和为定值 b 2 .

y P d1 F1 O d2 F2

x

类比: 过双曲线

y

x y 椭圆的 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上点 P 作椭圆的切线, 2 a b
F
1

2

2

M O N F2

x

两焦点 F1 , F2 到切线的距离之和为定值 b 2 .

y 结论八、过椭圆

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 左焦点 F1 作椭圆 2 a b

2

2

A P B1 B F
1

F2 O

x

的弦 AB ,端点 B 关于 x 轴的对称点为 B1 ,则直线 AB1 在

a2 x 轴上截距为定值 ? . c
类比: y M N1 F1 O Q N F2 x

x2 y 2 1.过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 右焦点 P 作椭圆的弦 MN ,端 a b

a2 点 N 关于 x 轴的对称点为 N1 , 则直线 MN1 在 x 轴上截距为定值 . c
2. 过作抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦点 P 作抛物线的弦 MN , 端点 N
2

y N1 P O N F

M x

关于 x 轴的对称点为 N1 ,则直线 MN1 在 x 轴上截距为定值 ?

p . 2

结论九、AB 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的弦, 端点 B 关 a 2 b2
P

y A B1 B Q O x

于 x 轴的对称点为 B1 ,则直线 AB 与直线 AB1 在 x 轴上截 距之积为定值 a 2 . 类比:

y M N1 O Q P N x

x2 y 2 1. MN 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的弦,端点 N 关于 x 轴 a b
的对称点为 N1 ,则直线 AB 与直线 AB1 在 x 轴上截距之积为定值

a2 .
y 2. MN 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的弦,端点 N 关于 x 轴的对称点
2

M Q N y x

N1 P O

为 N1 ,则直线 AB 与直线 AB1 在 x 轴上截距互为相反数.

x2 y 2 结论十、过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点 P ( x0 , y0 ) 作两条倾斜 a b
b2 x 角互补的弦 PA、PB,则直线 AB 的斜率恒等于 2 0 . a y0
类比: 1.过双曲线

P F1 A O F2 x B

y A

x y ? 2 ? 1(a, b ? 0) 上的点 P ( x0 , y0 ) 作两条倾斜角互 2 a b
b 2 x0 . a 2 y0

2

2

B O P

x

补的弦 PA、PB,则直线 AB 的斜率恒等于 ?

2.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的点 P ( x0 , y0 ) 作两条倾斜角互补的弦
2

y B

A F x

p PA、PB,则直线 AB 的斜率恒等于 ? . y0

O P

结论十一、弦 AB 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点 F (c, 0) ,则 a 2 b2
F1 O

y A F2 x B y

1 1 2a ? ? 2 恒成立. | FA | | FB | b
类比:

A

x2 y 2 x 1. 弦 AB 过 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的 焦 点 F (c, 0) 交 双 曲 线 右 支 于 A 、 B , 则 O F a b
B

1 1 2a ? ? 2 恒成立. | FA | | FB | b
y B F O x

2.弦 AB 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F (
2

1 1 2 p ? ? 恒成立. , 0) ,则 | FA | | FB | p 2

y

x2 y 2 结论十二、过点 P 作椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的切线,若两条切线 a b
相互垂直,则点在定圆 x ? y ? a ? b 上.
2 2 2 2

P

x F1 O F
2

类比: y

x2 y 2 1.过点 P 作双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的切线, 若两条切 a b
线相互垂直,则点在定圆 x ? y ? a ? b 上.
2 2 2 2

P x F1 O F2

2.过点 P 作抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的切线,若两条切线相互垂直,
2

y M P F ON x

则点在定直线 x ? ?

p 上. 2

结论十三、过点 P 作椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的切线,交直 a 2 b2

y P F F1 O
2

Q x R

线x?

a 于点 Q,则以线段 PQ 为直径的圆恒过右焦点 F2 . c

2

类比: y 1.过双曲线

x y ? 2 ? 1(a, b ? 0) 右支上点 M 作双曲线的切线, 交直线 2 a b
F O
1

2

2

M Q N F2 x

x?

a2 于点 Q,则以线段 MQ 为直径的圆恒过右焦点 F2 . c

y

p 2.过点 M 作抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的切线,交准线 x ? ? 于 M,则 2 以线段 MP 为直径的圆恒过焦点 F .
2

M P O F N x


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