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枣三西校-高一1.4.3正切函数的性质与图象

时间:2013-03-12


枣庄三中 2012-2013 学年第一学期高一数学教学案 1.4.3 正切函数的性质与图象
备课人:周美玲

教材分析
本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》(人教版)数学必修四第一章三角函数第四节《正切函

数的性质和图像》。本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后,又一具体的三角函数。正切函数教 材采用了先根据已有的知识(如正切函数的定义,诱导公式,正切线等)研究性质,然后再根据性质来研 究正切函数的图象。研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现,更是一 种提升,同时又为后续的学习奠定了基石。 课时分配 共 1 课时 本节是第 1 课时

教学目标
重点: 正切函数的图象及其主要性质 难点: 利用正切线画出函数 y ? tan x 的图象,对单调性这个性质的理解 知识点: 理解正切函数的定义及正切函数的图像特征,研究并掌握正切函数的基本性质 能力点:在探究正切函数基本性质和图像的过程中,渗透数形结合的思想,形成发现问题、提出问题、解 决问题的能力,养成良好的数学学习习惯 教育点:体会探究的乐趣, 培养归纳思维能力和逻辑推理能力 自主探究点: 正切函数基本性质和图像 考试点: 正切函数的图象及其主要性质的应用 易错易混点: 注意正切函数的定义域 拓展点: 正切函数的单调性 教具准备 多媒体、三角板 课堂模式 学案导学、诱思探究

一、引入新课: 设置情境
在前两次课中,我们学习了任意角的正、余弦函数,并借助于它们的图像研究了它们的性质。今天我 们将类比正弦、余弦函数的学习方法,在直角坐标系内学习另外一种三角函数,就是任意角的正切函数, 正切函数的图像如何画?正切函数具有哪些性质?这就是本节课要学习的内容。请同学们先自己阅读教材 P42 的内容,并思考以下问题:

二、探究新知 (一)提出问题: 正切函数如何定义的?正切函数的定义域是什么? ? 归纳:在直角坐标系中,如果角 ? 满足: ? ? R, ? ? k? ? , k ? Z ,那么,角 ? 的终边与单位圆交 2 b 于 点 P ( a , b ) , 则 y ? tan ? 是 角 ? 的 函 数 , 我 们 把 它 叫 作 角 ? 的 正 切 函 数 , 其 中 定 义 域 是 a

? ? ? ?? | ? ? R, ? ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?
【师生活动】教师提问,并及时对学生的回答进行客观和鼓励性的评价,最后教师进行总结和归纳. 【设计意图】培养学生的自学能力,让学生养成带着问题阅读教材的习惯为下面学习正切函数的图像和性 质做准备.

(二)利用定义,研究函数的性质:
学生自主研究探索正切函数的性质:

定义域: ? x | x ? R, x ? k? ?

? ?

?

? ,k ?Z?. 2 ?

值域:R 请学生回答,并讲清楚理由,从而引出对正切线的复习. 复习正切线:

正切线是角 x 与 tan x 关系的直观体现,正切函数的性质融于其中. 正切线的作法进行强调说明:角在第二、三象限时是过 A 点从终边的反向延长线作垂线,不是从终边 作垂线 . 奇偶性:奇函数. 利用诱导公式: tan(? x) ? ? tan x, x ? R, x ? k? ? 周期性: ? 是最小正周期. 利用诱导公式: tan(? ? x) ? tan x , x ? R, x ? k? ?

?
2

, k ? Z ,可知,正切函数是奇函数.

?
2

, k ? Z 得到 ? 是函数的周期.

【师生活动】:教师让学生以单元组形式相互交流讨论,教师及时启发. 【设计意图】:激发学生学习的兴趣,为探索正切函数的图像做准备.

(三)问题探究:
如何利用正切线画出函数的图像? 1.利用正切线作 y ? tan x , x ? ? ? (1) (2) (3) (4)

? ? ?? , ? 的图象 ? 2 2?
y

等分:把单位圆右半圆分成 8 等份。 作正切线 平移 连线

?

?
2

x

【师生活动】:教师让学生注意分组讨论,教师点拨学生,根据教师的提示通过单位圆和正切线,类比正、 余弦函数图象的画法作出正切函数的图象. 【设计意图】:让学生学会分析、解决问题的一般方法(类比思想).

2. 根 据 正 切 函 数 的 周 期 性 , 把 上 述 图 像 向 左 、 右 扩 展 , 得 到 正 切 函 数 y ? tan x

x?R ,且

x?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图像,称“正切曲线”

y

3 ? ? 2

?? ? ? 2

0

?
2

?

3 x ? 2

3.从上图可看出, 正切曲线是由被相互平行的直线 x ? 些直线叫作正切曲线各支的渐近线。 4.正切函数 y ? tan x 的性质 引导学生观 察,共同获得: (1)定义域: ? tan( (2)值域:R 观察:当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于 (3)周期性: T ? ?

?
2

? k? ( k ? z ) 隔开的无穷多支曲线组成的, 这

?

( x ? 2) ? ) ? f ( x ? 2) 2 3

?

?
2

?k ? z ?, x ? k? ? ? 时, tan x ?? ?? ???
?
2 2 ? k? 时, tan x ? ?? ??

?
2

? k? ?k ? z ? , x ? ??

(4)奇偶性: tan?? x ? ? ? tan x 奇函数 (5)单调性:在开区间 ? ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单调递增 2 ? 2 ?

(6)对称中心: ?

? k? ? ,0? ? 2 ?

【师生活动】学生根据教师的提示总结归纳其性质并与单元组成员交流答案.
【设计意图】培养学生合作交流意识,让学生体会函数性质与图像之间的关系,体会形与数的结合更 能抓住问题的本质.

三、理解新知
正切函数的图象的画法;利用正切函数的图像得出正切函数性质及其性质的应用. 【设计意图】为准确地运用新知,做好必要的铺垫. 四、运用新知
例 1:比较 tan? ?

? 13? ? ? 17? ? ? 与 tan? ? ? 的大小 ? 4 ? ? 5 ?

解:? tan? ?

? 2? ? 2? ? 13? ? ? 17? ? ? ?? ,0 ? ? , y ? tan x在? 0, ? 内单调递增, ? ? ? tan , tan? ? ? ? ? tan 4 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ? ? 2?

? tan

?
4

? tan

2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ?

变式练习 1: 1、比较大小:

(1) tan138? 与 tan143? ;

(2) tan

2、关于正切函数 y ? tan x ,下列判断不正确的是( ) A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值 【师生活动】组织学生结合前面的例题及其解答,进行分析讨论,例题和练习均让学生独立阅读思考 完成 【设计意图】及时反馈学生对知识的掌握情况与对知识巩固
例 2:求函数 y

7? ? 与 tan ; 8 6

?? ?? ? tan? x ? ? 的定义域、周期性和单调区间 3? ?2
?
2
, k ? z ,即 x ? 2k ? , k ? z ,所求函数定义域为: ? x | x ? 2k ? , k ? z ?

解:由

?
2

x?

?
3

? k? ?

1 3

? ?

1 3

? ?

由 f ( x) ? tan(

?

x ? ) ? tan( x ? ? ? ) ? tan( ( x ? 2) ? ) ? f ( x ? 2) , 2 3 2 3 2 3 x?

?

?

?

?

?

因此,函数的周期为 2

5 1 , k ? z ,解得 ? ? 2k ? x ? ? 2k , k ? z 2 2 3 2 3 3 5 1 因此,函数的单调递增区间是: (? ? 2k , ? 2k ), k ? z. 3 3
由 k? ?

?

?

?

?

? k? ?

?

【师生活动】教师展示例题后,先让学生自己分析思考,然后找学生到黑板上进行演算,最后对学生 的演算进行客观和鼓励性的评价.对学生出现的问题进行纠正,并且写出规范的解题过程. 【设计意图】学生通过自己的实践,真确地体会函数的性质,强化对新建构的知识的理解与掌握,加 深对所学知识的认识. 变式练习 2: 1、 求函数y ? tan( x ?

?
4

)的定义域 、值域、单调性、奇偶性,周期性.

2、教材 P45 3、4 题 【师生活动】组织学生独立完成,个别指导 【设计意图】培养学生独立思考问题的习惯,并巩固所学知识。 五、课堂小结 教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学方法? 学生:知识上: 1、理解正切函数的图像特征;2 掌握正切函数的基本性质 思想上: 归纳、类比讨论的数学思想 【师生活动】学生总结,教师提炼. 【设计意图】让学生自己归纳总结,寻找知识建立的支点,有利于学生对知识的掌握通过学生的自 我总结,可以帮助学生逐渐养成归纳概括和提升抽象问题的能力

六、布置作业 1.预习教材 P49?55
2.书面作业 (1)必做题:自主丛书 P 《正切函数的性质与图象》;课本 P46 习题 1.4A 组 6.7. 104 (2)选做题: 课后练习与提高 1. 不通过求值,比较 tan135? 与 tan138? 的大小 解:? 90? ? 135? ? 138? ? 270?
? ? 又? y ? tan x 在 x ? 90 , 270 上是增函数

?

?

? tan135? ? tan138?

2.求函数 y ? tan 2 x 的定义域、值域和周期 解:(1)要使函数 y ? tan 2 x 有意义,必须且只须 2x ? ∴函数 y ? tan 2 x 的定义域为{ x ? R | x ? (2)设 t ? 2 x ,由 x ?

?
2

+ k ? , k ? z ,即 x ?

?
4



k? ,k ? z 2

?
4

?

k? ,k ? z} 2

?
4

?

k? ? , k ? z }知 t ? + k ? , k ? z 2 2
即 y ? tan 2 x 的值域为 ? ??, ???

∴ y ? tan t 的值域为 ? ??, ??? (3)由 tan 2( x ? 3.

?
2

) ? tan(2 x ? ? ) ? tan 2 x

? y ? tan 2 x 的周期为

?
2



研究函数 y ? tan x 的基本性质,作出大致图像.

解:(略)

【设计意图】通过练习加深学生对所学知识的巩固.

七、教后反思
本教案的亮点是在本节课中,通过设置“矛盾冲突”撞击学生的思维,比如:在得到正切函数的概念 之后,提出如何研究这一具体函数的性质,启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法;又 如,在得到正切函数的部分性质之后,提出如何能“丰满”正切函数的性质,启发学生可以借助图像进行 研究,让学生感受“数缺形少直观,形缺少数难入微”的精妙. 遗憾之处师生之间互动还需加强,课堂气氛不够活跃.

八、板书设计
1.4.3 正切函数的性质与图象 课题:§1.4.3 正切函数的图像及其性质 1,正切函数的定义: 2,正切线的作法: 3,正切函数图像: 4,正切函数图像的性质: 5,例题分析: 6,反馈练习:


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