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高三数学理科二轮复习第六课时

时间:2015-10-09


导数及其应用
备课人:陈小玲 考试要求 1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景阿; (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算 (1)能根据导数定义,求函数 y=c(c 为常 点: 数),y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= x 的导数; (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数
1 x

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命题展望

导数与定积分是 微积分的核心概念之 本 章 重 一,也是中学选学内 容中较为重要的知识

1. 导 数 的 之一 . 由于其应用的 概念; 广泛性,为我们解决

2. 利 用 导 有关函数、数列问题

的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的 数求切线的斜 提供了更一般、更有 复合函数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函数)的导 率; 数. 3.导数在研究函数中的应用 效的方法.因此, 本章

3. 利 用 导 知识在高考题中常在 数判断函数单 函数、数列等有关最 (1)了解函数单调性和导数的关系,能利用 调性或求单调 值不等式问题中有所

导数研究函数的单调性, 会求函数的单调区间(其 区间; 中多项式函数一般不超过三次);

体现,既考查数形结

4. 利 用 导 合思想,分类讨论思

(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和 数求极值或最 想,也考查学生灵活 充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其 值; 中多项式函数一般不超过三次); 会求闭区间上函 运用所学知识和方法

5. 利 用 导 的能力 . 考题可能以

数的最大值、 最小值(其中多项式函数一般不超过 数求实际问题 选择题或填空题的形 三次). 4.生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景, 了解定积分的基 本思想,了解定积分的概念; (2)了解微积分基本定理的含义. 最优解. 式来考查导数与定积

本章难点:导 分的基本运算与简单 数 的 综 合 应 的几何意义,而以解 用. 答题的形式来综合考 查学生的分析问题和 解决问题的能力.

-1-

【知识纵横】
f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?0 lim ?1 定义:f ? x0 ? ? ? x ?0 ?x ? ? ??1? 公式:①常函数,②指,③对,④幂,⑤复合函数。 ? 0 ? ?2 运算 ? ? u ?? ? ?? 2 ? 法则:① ? au ?? ,② ? u ? v ?? ,③ ? uv ?? ,④ ? ? ?v? ? ? ? ??1? 物理意义:瞬时速度及加速度 ? ? ? ?斜率:求法有三①知两点②知倾角③求导 ? ? 0 ? ? ?3 意义: ?①在该点出的切线方程, ? ? ? ? ?? 2 ? 几何意义 ?切线方程:②过某点做曲线的切线方程 , ? ? ? ? ? ? ? ? ?③知切线求参数值. ? ? ? 导数 ? ? ?①证明或判断单调性; ? ? ? ? ??1? 单调性 ?②求单调区间; ? ?③知单调,求参数范围. ? ? ? ? ? ? ?①求极值; ? ? ? ? ?? 2 ? 求两函数值 ?②求最值; ?40 应用: ? ?③知极值或最值,求参数值. ? ? ? ? ? ? ? 3? f ? x ? 与f ? ? x ?的图像关系 ? ? ? ?①证明不等式; ? ? ? ? ?? 4 ? 综合应用 ?②比较实数大小; ? ?③讨论方程根的个数. ? ? ? ? ?

【典例精析】 1.导数定义的应用 例 1 (2008 北京高考)如图,函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC ,其中 A,B,C 的坐
y 4 f ?1 ? ?x ? ? f ?1? ? _________3 4) (2 0) (6 4) , lim 标分别为 (0,,,,, . ?x ?0 ?x 2 1 A C

B 0? x?2 ?? 2 x ? 4   O 2 3 4 5 6 1 解:由图可知 f ?x ? ? ? ,根据导数的定义 x ? 2     2 ? x ? 3 ?

x

知 lim

?x ?0

f ?1 ? ?x ? ? f ?1? ? f ??1? ? ?2 . ?x

例2(2006 重庆高考)已知函数 f ?x ? ? x 2 ? bx ? c e x ,其中 b, c ? R , (Ⅰ)略, (Ⅱ)

?

?

-2-

若 b 2 ? 4?c ? 1?, 且 lim
x ?0

f ?x ? ? c ? 4 ,试证: ? 6 ? b ? 2 . x

解: f ??x? ? x 2 ? ?b ? 2?x ? b ? c e x ,易知 f ?0? ? c .故
lim
x ?0

?

?

?b ? c ? 4, f ?x ? ? c f ?x ? ? f ?0? ? lim ? f ??0? ? b ? c ,所以 ? 2 解得 ? 6 ? b ? 2 . x ?0 x x?0 ?b ? 4?c ? 1?,

2. 利用导数研究函数的图像 例 3 (2009 安徽高考)设 a <b,函数 y ? ( x ? a)2 ( x ? b) 的图像可能是

解: y / ? ( x ? a)(3x ? 2a ? b) ,由 y / ? 0 得 x ? a, x ? 值 0, 当x?

2a ? b 时 y 取极小值且极小值为负. 故选 C. 或当 x ? b 时 y ? 0 , 当x ?b 3

2a ? b ,∴当 x ? a 时, y 取极大 3

时, y ? 0 选 C. 点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型. 例 4(2009 年湖南卷)若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是
y y y y

o

a

b x

o

a B.

b x

o

a

b x C.

o

a

b x

A .

D.

解: 因为函数 y ? f ( x) 的导函数 ...y ? f ?( x) 在区间 [a, b ] 上是增函数,即在区间
[a, b] 上各点处函数的变化率是递增的,故图像应越来越陡峭.由图易知选 A.

点评:这是一道非常精彩的好题,题目考察了导数的概念——函数的变化率 以及图像的变化规律,是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的,虽然试 题的设计来源于高等数学,但考察的还是中学所学的初等数学知识.

-3-

3.利用导数解决函数的单调性问题 例 5(2008 全国高考)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间;高考资源网
? 2 1? (Ⅱ)设函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ? 3 3?

解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 求导得 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 当 a 2 ? 3 时, ? ? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上递增; 当 a 2 ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? 递减, ? ? 3 3 ? ?
? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? 递增, , 即 f ( x) 在 ? ??, ? ? ? 3 3 ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? ? 递增。 ? ? ? 3 ? ?

? 2 1? ? 2 1? (2) 因为函数 f ( x) 在区间 ? ? , 所以当 x ? ? ? , ? ? 内是减函数, ? ? 时 f ? ? x? ? 0 ? 3 3? ? 3 3?
f ? ? ? ? ? 0 解得 a ? 2 . 恒成立,结合二次函数的图像可知 ? ? ? 3? ? ? f ?? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? 3? ? ? 2?

点评:函数在某区间上单调转化为导函数 f ? ? x ? ? 0 或 f ? ? x ? ? 0 在区间上恒成立问
? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? 题, 是解决这类问题的通法. 本题也可以由函数在 ? , ? 上递 ? ? 3 3 ? ?
? ?a ? ? 减,所以 ? ? ? ?a ? ? ? a2 ? 3 2 ?? 3 3 求解. a2 ? 3 1 ?? 3 3

【变式 1】 (2004 年全国高考)若函数 f ?x ? ?

1 3 1 2 x ? ax ? ?a ? 1?x ? 1 在区间 ?1,4? 上 3 2

是减函数,在区间 ?6,??? 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 解:f ?x ? ? x 2 ? ax ? ?a ? 1?, 令 f ??x? ? 0 得 x ? 1 或 x ? a ? 1 , 结合图像知 4 ? a ? 1 ? 6 , 故 a ? ?5,7?. 点评:本题可转化为 f ??x ? ? 0,x ? ?1,4?恒成立且 f ??x? ? 0,x ? ?6,??? 恒成立来解.
-4-

1 【变式 2】(2005 年湖南高考)已知函数 f ?x ? ? ln x ? ax 2 ? 2 x?a ? 0? 存在单调递减 2 区间,求 a 的取值范围;

解: f ??x ?( x) ?

1 ax2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2 ? ? . 因为函数 f ?? x ? 存在单调递减区间,所以 x x

f ??x? ? 0 在 ?0,??? 上解,从而 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 有正解.高考资源网
①当 a ? 0 时, y ? ax2 ? 2 x ? 1为开口向上的抛物线,ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 总有正 解; ②当 a ? 0 时, y ? ax2 ? 2 x ? 1为开口向下的抛物线,要使 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 总 有正解,则 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,解得 ? 1 ? a ? 0 . 综上所述,a 的取值范围为 ?? 1,0? ? ?0,??? . 【变式 3】 ( 2009 浙 江 高 考 ) 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b
(a, b ? R) .若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ...

解:函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于 f ??x? ? 0 在区间 (?1,1) 上有实数解,且 无重根. 又 f ??x? ? 3x 2 ? 2?1 ? a?x ? a?a ? 2? ,由 f ??x? ? 0 ,得 x1 ? a, x 2 ? ?
a?2 ? ? 1 ? ? ? 1, ?? 1 ? a ? 1, ?? 1 ? a ? 1, ?? 5 ? a ? 1, ? ? ? ? ? 3 解得 ? 或? a ? 2 或? ? 1 1 a?2 a?? , ? a?? , a?? , ? ? ? a ? ? . 3 2 2 ? ? ? ? 3 ?
a?2 。从而 3

1? ? 1 ? ? 所以 a 的取值范围是 ? ? 5,? ? ? ? ? ,1?. 2? ? 2 ? ?

点评:这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势,充分体现高考“能力立意” 的思想,高考中应高度重视。 4.利用导数的几何意义研究曲线的切线问题 15 例 6 (2009 江西高考)若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x3 和 y ? ax 2 ? x ? 9 都 4 相切,则 a 等于 7 7 25 21 25 A. ?1 或 B. ?1 或 C. ? 或 D. ? 或 7 4 4 64 4 64
) 直 线 与 y ? x3 相 切 于 点 ( x0 , x03 ) , 所 以 切 线 方 程 为 解 : 设 过 ( 1 , 0的

y ? x03 ? 3x02 ( x ? x0 )
-5-

3 即 y ? 3x02 x ? 2x03 ,又 (1, 0) 在切线上,则 x0 ? 0 或 x0 ? ? , 2 25 15 当 x0 ? 0 时,由 y ? 0 与 y ? ax 2 ? x ? 9 相切可得 a ? ? , 64 4 3 27 27 15 x? 当 x0 ? ? 时,由 y ? 与 y ? ax 2 ? x ? 9 相切可得 a ? ?1 ,所以选 A . 2 4 4 4 点评:函数的切线问题,切点是关键,因为它是联结曲线和其切线的“桥梁” , 在做题中往往需要设出切点.

【变式】 (2008 辽宁高考)设 P 为曲线 C : y ? x2 ? 2x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P
? ?? 处切线倾斜角的取值范围为 ?0, ? ,则点 P 横坐标的取值范围为( ? 4?

)高考资源


1? ? A. ? ?1, ? ? 2? ?

B. ??1 , 0?

C. ?0, 1?

?1 ? D. ? , 1 ?2 ? ?

? ?? 解:由曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ?0, ? ,可得曲线 C 在点 P 处切线 ? 4?

的斜率范围为 ?0, 1? ,又 y ? ? 2 x ? 2 ,设点 P 的横坐标为 x0 ,则 0 ? 2x0 ? 2 ? 1 ,解得
1 ? 1 ? x 0 ? ? ,故选 A . 2 5. 利用导数求函数的极值与最值

例 7(2009 天津卷理)已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a2 ? 3a)e x ( x ? R), 其中 a ? R (1) 当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (2) 当 a ?
2 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值。 3

(I)解: 当a ? 0时,f ( x) ? x 2 e x ,f ' ( x) ? ( x 2 ? 2x)e x,故f ' (1) ? 3e.

所以曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为 3e.
(II) 解:f ' ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 2a 2 ? 4a e x .
令f ' ( x) ? 0,解得 x ? ?2a,或 x ? a ? 2.由a ? 2 知, ? 2a ? a ? 2. 3

?

?

以下分两种情况讨论。 2 (1) 若a > ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3

x

?? ?, ? 2a ?

? 2a

?? 2a,a ? 2?

a?2

?a ? 2, ? ??

-6-

+ ↗

0



0 极小值

+ ↗

极大值 ↘

所以f ( x)在(??, ? 2a), (a ? 2, ? ?)内是增函数,在 (?2a,a ? 2)内是减函数 .

函数f ( x)在x ? ?2a处取得极大值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a . 函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极小值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 .
(2) 若a <
2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
a?2

x

?? ?,a ? 2?
+ ↗

?a ? 2, ? 2a ?
— ↘

? 2a

?? 2a, ? ??
+ ↗

0 极大值

0 极小值

所以f ( x)在(??,a ? 2), (?2a, ? ?)内是增函数,在 (a ? 2, ? 2a)内是减函数。

函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极大值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 . 函数f ( x)在x ? ?2a处取得极小值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a .
点评: 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调 性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 例8 (2008 年天津高考) 已知函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2x2 ? b ( x? R) , 其中 a, b ? R . 若 函数 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围. 解: f ?( x) ? x(4 x2 ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根. 为使 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x2 ? 3ax ? 4 ? 0 成立,即有 ? ? 9a2 ? 64 ? 0 .
8 8 解不等式,得 ? ? a ? .这时, f (0) ? b 是唯一极值.因此满足条件的 a 的取值 3 3 8 8 范围是 [? , ] . 3 3 6.利用导数解决实际问题 例 9 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比 为 2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 解 : 设 长 方 体 的 宽 为 x ( m ) , 则 长 为 2 x (m) , 高 为
h? 18 ? 12x 3? ? ? 4.5 ? 3x( m ) ? 0<x< ? . 4 2? ?

故长方体的体积为 V ?x ? ? 2 x 2 ?4.5 ? 3x ? ? 9 x 2 ? 6 x 3 m 3

? ?

? ?0 ? x ? ?

3? ? 2?

-7-

从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V ' ?x? ? 0 , 解得 x ? 0 (舍去) 或 x ? 1, 因此 x ? 1 . 当 0 ? x ? 1 时,V ' ?x? ? 0 ; 当1 ? x ?
3 时,V ' ?x? ? 0 ,故在 x ? 1 处 V ?x ? 取得极大值, 2

并且这个极大值就是 V ?x ? 的最大值,从而最大体积 V ? V ' ?x? ? 9 ?12 ? 6 ?13 m3 , 此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m 例 10(2009 年湖南高考)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余 下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2 ? x ) x 万元。假设桥墩等 距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, (n ? 1) x ? m,即n= 所以
m ?1 x m m y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( -1)+ (2 ? x ) x x x 256 m ? m x ? 2m ? 256 . = x

? ?

(Ⅱ)

由(Ⅰ)知 f ??x ? ? ?
3 2

256m 1 ? 2 ? mx , 2 x2

1

令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 512 ,所以 x =64 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 0< x <64 时 f '( x) <0,
f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x) 在 x =64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 7.定积分与微积分基本定理 典例精析 题型一 求常见函数的定积分
m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64

【例 1】 计算下列定积分的值.

-8-

(1) ?1 (x-1)5dx;

2

(2)

?

π 2

0

(x+sin x)dx.
2

1 【解析】 (1)因为[ (x-1)6]′=(x-1)5, 所以 ?1 6 x2 (2)因为( -cos x)′=x+sin x,所以 ?0 2 π2 +1. 8
π 2

1 ( x ? 1)6 6 (x-1)5dx=
(

2 1

1 = . 6
?
2

x2 ? cos x ) (x+sin x)dx= 2

1



【点拨】(1)一般情况下,只要能找到被积函数的原函数,就能求出定积分的值; (2)当被积函数是分段函数时,应对每个区间分段积分,再求和; (3)对于含有绝对值符号的被积函数,应先去掉绝对值符号后积分; (4)当被积函数具有奇偶性时,可用以下结论: ①若 f(x)是偶函数 时,则 ? ②若 f(x)是奇函数时,则 ?
5
a ?a a

f(x)dx=2 ? f(x)dx=0.

a

0

f(x)dx;

?a

【变式训练 1】求 ??5 (3x3+4sin x)dx. 【解析】 ??5 (3x3+4sin x)dx 表示直线 x=-5,x=5,y=0 和曲线 y=3x3 +4sin x 所围成的曲边梯形面积的代数和,且在 x 轴上方 的面积取正号,在 x 轴 下方的面积取负号. 又 f(-x)=3(-x)3+4sin(-x) =-(3x3+4sin x)=-f(x). 所以 f(x)=3x3+4sin x 在[-5,5]上是奇函数,
5

? 所以 ? 5 (3x3+4sin ? 所以
5 ? 5 (3x3+4sin

0

? x)dx=- 0 (3x3+4sin
x)dx=

5

x)dx,

??5

0

(3x3+4sin

? x)dx+ 0 (3x3+4sin

5

x)dx=0.

题型二

利用定积分计算曲边梯形的面积

【例 2】求抛物线 y2=2x 与直线 y=4-x 所围成的 平面图形的面积.

-9-

【解析】方法一:如图,
? y 2 ? 2 x, ? 由 ? y ? 4 ? x,

得交点 A(2,2),B(8,-4),

? 则 S= 0 [

2

2x-(-

? 2x)]dx+ 2 [4-x-(-


8

2x)]dx

2 8 4 2 3 x2 2 2 3 x2 (4 x ? ? x2 ) 0 2 2 3 = 3 +

16 38 + =18. 3 3
(4 y ? 1 2 1 3 2 y ? y ) ?4 2 6 =18.

方法二:S=

?

2 y2 ? 4 [(4-y)- ]dy

2



【点拨】根据图形的特征,选择不同的积分变量,可使计算简捷,在以 y 为 积分变量时,应注意将曲线方程变为 x=φ (y)的形式,同时,积分上、下限必须 对应 y 的取值. x 1 【变式训练 2】设 k 是一个正整数,(1+ )k 的展开式中 x3 的系数为 , k 16 则函数 y=x2 与 y=kx-3 的图象所围成的阴影部分(如图) 的面积为 .

x 1 【解析】 Tr+1=Cr k( )r, 令 r=3, 得 x3 的系数为 C3 k = k k3
? y ? x2 , ? 1 ,解得 k=4.由 ? y ? 4 x ? 3 得函数 y=x2 与 y=4x-3 的图象

16

的交点的横坐标分别为 1,3。所以阴影部分的面积为 S=
1 3 3 x ) 4 -3x- 3 1 = .

?1

3

(4x-3-x2)dx=(2x2

3

题型三

定积分在物理中的应用

【例 3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为 v (t)=1-t2, 初始位置为 x0=1, 求它在前 2 秒内所走过的路程及 2 秒末所在的位置; (2)一物体按规律 x=bt3 作直线运动,式中 x 为时间 t 内通过的距离,媒质 的阻力正比于速度的平方,试求物体由 x=0 运动到 x=a 时阻力所做的功.
- 10 -

【解析】(1)当 0≤t≤1 时,v(t)≥0,当 1≤t≤2 时,v(t)≤0,所以前 2 秒 内所走过的路程为

? ? s= 0 v(t)dt+ 1 (-v(t))dt
1

2

? ? = 0 (1-t2)dt+ 1 (t2-1)dt
2 1 1 1 (t ? t 3 ) ( t 3 ? t) 1 = 3 0+ 3 =2.

1

2

2 秒末所在的位置为 1 ? ? x1=x0+ 0 v(t)dt=1+ 0 (1-t2)dt= . 3 1 所以它在前 2 秒内所走过的路程为 2,2 秒末所在的位置为 x1= . 3 (2) 物体的速度为 v=(bt3)′=3bt2. 媒质阻力 F 阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4,其中 k 为比例常数,且 k>0. 当 x=0 时,t=0; a 1 当 x=a 时,t=t1=( ) 3 , b 又 ds=vdt,故阻力所做的功为
F W 阻= ?
t1


2

2

ds

? ? = 0 kv2·vdt=k 0 v3dt
7 = 27 3 k a7b2. 7
b b

t1

t1



27 ? k 0 (3bt 2)3dt= kb3t7 1

? ? 【点拨】 定积分在物理学中的应用应注意: v(t)= a a(t)dt, s(t)= a v(t)dt ? 和 W= a F(x)dx 这三个公式.
【变式训练 3】定义 F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函数 f(x)=F[1, log2(x2-4x+9)]的图象为曲线 C1,曲线 C1 与 y 轴交于点 A(0,m),过坐标原点 O 向曲线 C1 作切线,切点为 B(n,t)(n>0),设曲线 C1 在点 A,B 之间的曲线段 与线段 OA,OB 所围成图形的面积为 S,求 S 的值. 【解析】因为 F(x,y)=(1+x)y,所以 f(x)=F(1,
b

- 11 -

log2(x2-4x+9))= 2

log( x 2 ? 4 x ?9 )

=x2-4x+9,故 A(0,9),又过坐标原点 O 向曲线 C1

作切线,切点为 B(n,t)(n>0),f′(x)=2x-4.
?t ? n 2 ? 4n ? 9, ? ?t ? ? 2n ? 4, 所以 ? n 解得 B(3,6),

所以 S=

?0

3

3

(x2-4x+9-2x)dx=(

x3 -3x2+9x) 0 =9. 3

总结提高 1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.? 2.利用定积分求平面图形面积的步骤:? (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;? (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限;? (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;? (4)计算定积分,写出答案.

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