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郑州市2013年高三二测理科数学试卷


河南省郑州市 2013 年高中毕业年级第二次质量预测(理数)
本试卷分第 I 卷(选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分.考试时间 120 分钟, 满分 150 分. 考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上 作答无效.

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,

只有一个符合 题目要求.
1. 复数 z1=3+i,z2 =1-I 则 z=

z1 的共轭复数在复平面内的对应点位于( z2



A.第一象限 B.第二象限 C.第 三象限 D.第四象限 2. 若 cos

?
2

?

3 ? 4 -, sin ? ? ,则角θ 的终边所在的直线为( 5 2 5
B. 7x-24y=0 D.24x-7y=0



A. 7x+24y=0 C. 24x+7y=0

3_在数列{an}中,an+1=can(c;为非零常数),前 n 项和为 Sn= 3n+k,则实数 k 为( A.-1 B.0 C.1 D.2



4. 设 a,β 分别为两个不同的平面,直线 l A .充分不必要条件 C.充要条件 5. 若 x ? (e ,1), a ? linx , b ? ( ) A. c>b>a
?1

a,则“l 丄β ”是“a 丄β 成立的( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



1 2

ln x

, c ? c ln x ,则 a,b,c 的大小关系为(
C. a>b>c D. b>a>c


[来源:Z&xx&k.Com]

B. b>c>a

6. 已知函数 f(x)的导函数为 f ?( x) ,且满足 f ( x) ? 2 xf ?(e) ? ln x ,则 f ?(e) =( A. 1 B. —1 e-1 C. – D. —e



7. 一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是

8. 在二项式 ( x ?

1 s x
4

) n 的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的


项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为( A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

5 12

9. 如图所示,F1 F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

(a>0,b>0)的两个焦点,以坐标原点 O 为圆心,|OF1|为半径的 圆与该双曲线左支 的两个交点分别为 A,B,且 Δ F2AB 是等边 三角形,则双曲线的 离心率为( A. )

2 ?1
2 ?1 2

B.

3 ?1
3 ?1 2

C.

D.

10. 函数 f(x)=axm(1-x)2 在区间[0, 1]上的图象 如图 所示,则 m 的值可能是( A. 1 C. 3 ) B. 2 D.4

11. 设 f(x)是定义在 R 上的增函数,且对于任意的工 都有 f(2—x)+f(x)=0 恒成立.如果实数 m、n 满足不等式组

? f (m 2 ? 6m ? 23) ? f (n 2 ? 8n) ? 0 ’则 m2+n2 的取值范围是 ? m ? 3 ?
A. (3,7) 12. 已知函数 f ( x) ? A. 0 B. B. (9,25) C. (13,49) D. (9,49) )

? 4

1 ? x ? cos x ,则方程 f ( x) ? 所有根的和为( 2 4 3? ? C . D. 2 2

第 II 卷
本卷包括必考題和选考題两部分.第 13 题?第 21 題为必考题, 第22 题?24 题为选考 題. 考生根据要求作答. 二、填空題:本大题共 4 小题,每小题5 分.
[来源:学科网 ZXXK]

13.等差数列{an}的前 7 项和等于前 2 项 和 , 若a1=1,ak+a4=0, 则k=______.

?x ? 1 ? 14. 已 知O 为 坐 标 原 点 , 点M(3,2),若 N(x,y)满足不等式组 ? y ? 0 则 OM · ON 的最大值为 ?x ? y ? 4 ?
______. 15.已知不等式 xy ? ax2 ? 2 y 2 , 若 对 任 意x∈[l,2],且 y∈[2,3],该不等式恒成立,则 实 数 a 的取值范围是______. 16.过点 M(2,-2p)作抛物线 x2=2py(p>0)的 两 条 切 线 , 切 点 分 别 为A,B,若线段 AB 的中 点纵 坐标为 6,则 p 的值是______. 三、解答题:解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图所 示,一辆汽车从 O 点出发沿一条直线公路以 50 公里/小时的速度勻速行驶(图中 的箭头方向为汽车行驶方 向),汽车开动的同时,在 距汽车出发点 O 点的距离为 5 公 里,距离公路线的垂 直距离为 3 公里的 M 点的地方有一个 人骑摩托车出发 想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车 的人至少以 多大的速度勻速行驶才能实现他的愿望,此时 他驾驶 摩托车行驶了多少公里?

18. (本小题满分 12 分) 每年的三月十二日,是中国的植树节.林管部门在植树前,为 保证树苗的质量,都会在 植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两批 树苗中各抽测了 10 株树苗的高度,规定高于 128 厘米的为“良种 树苗”,测得高度如下(单位:厘米) 甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133 乙:110,13 0,147,127,146,114,126,110,144,146 (I)根据抽测结果,完成答题卷中的茎叶图,并根据你填写 的茎叶图,对甲、乙两批树 苗的高度作比较,写出对两种树苗高度 的统计结论; (II)设抽测的 10 株甲种树苗髙度平均值为 将这 10 株树 苗的高度依次输人按程序 框

图进行运算,(如图)问输出的 S 大小为多少?并说明 S 的统计学意义; (III)若小王在甲批树苗中随机领取了 5 株进行种植,用样本的频率分布估计总 体分 布, 求小王领取到的“良种树苗”株数 X 的分布列.

19. (本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,

CD ? ?CC1 (? ? R)
(I)当λ =

1 时,求证 AB1 丄平面 A1BD; 2

(II)当二面角 A—A1D—B 的大小为

? -时,求实数λ 的值. 3

20. (本小题满分 12 分)

x2 y2 已知椭圆 C: ? ? 1 的右焦点为 F,左顶点为A,点P 为曲线D 上的动点,以PF 为直径 4 3
的圆恒与 y 轴相切. (I)求曲线 D 的方程; (II)设 O 为坐标原点,是否存在同时满足下列两个条件的 Δ APM?①点 M 在椭圆 C 上;② 点 O 为Δ APM 的重心.若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.(若三角形 ABC 的三 点坐标为 A(x1, y1),B(x2,y2),C(x3, y3), 则其重心 G 的坐标为

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 , )) 3 3

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=lnx 与 g(x)=kx+b(k,b∈R)的图象交于 P,Q 两点,曲线 y=f(x)在 P,Q 两点处的切线交于点 A. (I)当 k = e,b=-3 时,求 f(x) — g(x)的最大值(e 为自然常数) (II)若 A(

e 1 , ) |,求实数 k,b 的值. e ?1 e ?1

请从 22、 23、 24 三个小题中任选一题作答, 选做题(本小题满分 10 分,

并用铅笔在对应 方框中涂黑)
22.选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 0 和 M 相交于 A、B 两点,AD 为 M 的直径,直 线BD 交 O 于点C,点G 为弧BD 中点, 连结 AG 分别交 0、 BD 于点E、 F,连结CE. (I)求证:AG·EF=CE·GD; (II)求证:

GF EF 2 ? AG CE 2

2 3. 选修 4 一 4:坐标系与参数方程 已知直线 C1: ? (I)当 a=

? x ? 1 ? t cos a ? x ? cos? ’(t 为参数 ),曲线C2: ? (θ 为参数). ? y ? t sin a ? y ? sin ?

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

(II)过坐标原点 0 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当a 变化时,求P 点轨迹的参数方 程,并指出它是什么曲线. 24. 选修 4 一 5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x—a| (I)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (II)在(I)的条件下,若 f(x)+f(x + 5) m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

参考答案:数学(理科)

参考答案

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) DDAA BCCD BACC 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.6;14.12;15. a ? ?1 ;16.1 或 2. 三、解答题 17.解:作 MI 垂直公路所在直线于点 I ,则 MI ? 3 ,

? OM ? 5,? OI ? 4 ? cos ?MOI ?

4 ――――2 分 5 4 ――――6 分 5

设骑摩托车的人的速度为 v 公里/小时,追上汽车的时间为 t 小时 由余弦定理: ?vt ? ? 5 ? ?50t ? ? 2 ? 5 ? 50t ?
2 2 2

? v2 ?

25 400 1 ? ? 2500 ? 25( ? 8) 2 ? 900 ? 900 -――――8 分 2 t t t 1 30 15 ? 公里――――11 分 ? 当 t ? 时, v 的最小值为 30 ,? 其行驶距离为 vt ? 8 8 4
故骑摩托车的人至少以 30 公里/时的速度行驶才能实现他的愿望, 他驾驶摩托车行驶



15 公里. ――――12 分 4
18.解: (Ⅰ)茎叶图略. ―――2 分
[来源:Zxxk.Com]

统计结论:①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度; ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐; ③甲种树苗的中位数为 127 ,乙种树苗的中位数为 128.5 ; ④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近, 乙种树苗的高度分布较为分散. ―――4 分 (每写出一个统计结论得 1 分) (Ⅱ) x ? 127, S ? 135. ――――6 分

S 表示 10 株甲树苗高度的方差,是描述树苗高度离散程度的量. S 值越小,表示 长得越整齐, S 值越大,表示长得越参差不齐.――――8 分
(Ⅲ)由题意,领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为

1 ,则 2

1 X ~ B ( 5 , ――― ) 10 分 2

所以随机变量 X 的 分布列为

X
p

0

1

2

3

4

5

1 32

5 32

5 16

5 16

5 32

1 32
――――12 分

19.解: (Ⅰ)取 BC 的中点为 O ,连结 AO 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中面 ABC ? 面 CB1 ,

?ABC 为正三角形,所以 AO ? BC ,
故 AO ? 平面 CB1 . 以 O 为坐标原点建立如图空间直角坐标系

O ? xyz ,――――2 分
则 A(0,0, 3) , B1 (1, 2, 0) , D(?1,1, 0) ,

A1 (0, 2, 3) , B(1, 0, 0) .
所 以 AB1 ? ( 1 , ? 2, , 3 DA ) 1 ? (1,1, 3) ,

DB ? (2, ?1,0) ,
因为 AB1 ? DA 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 0, AB 1 ? DB ? 2 ? 2 ? 0 , 所以 AB1 ? DA 1 , AB 1 ? DB ,又 DA 1 所以 AB1 ? 平面 A 1BD .

DB ? D ,

[来源: 学科网]

――――-6 分

( Ⅱ ) 由 ⑴ 得 D(?1, 2? , 0) , 所 以 DA ? ? 2 , 3, ) DB ? (2, ?2?,0) , 1 ? (1, 2

DA ? (1, ?2?, 3) ,
设平面 A 1BD 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) ,平面 AA 1 D 的法向量 n2 ? (s, t , u) , 由?

?n1 ? DA1 ? 0, ? ? ?n1 ? DB ? 0,

得平面 A 1BD 的一个法向量为 n1 ? (? ,1,

? ?2
3

),

同理可得平面 AA 1 D 的一个法向量 n2 ? ( 3,0, ?1) ,

由 cos ? n1 , n2 ??

1 n1 ? n2 1 ? ,解得 ? ? ,为所求.――――12 分 4 | n1 | ? | n2 | 2

20.解: (Ⅰ)设 P ( x, y ) ,由题知 F (1, 0) ,所以以 PF 为直径的圆的圆心 E (
科§网]

x ?1 , y) , 2

[来源:学§



| x ? 1| 1 1 ? | PF |? ( x ? 1) 2 ? y 2 , 2 2 2
――――4 分 ――――5 分

整理得 y 2 ? 4 x ,为所求. (Ⅱ)不存在,理由如下:

y12 , y1 )( y1 ? 0), M ( x2 , y2 ) ,由条件①知 若这样的三角形存在,由题可设 P( 4
x2 2 y2 2 ? ? 1, 4 3
由条件②得 OA ? OP ? OM ? 0 ,又因为点 A(?2, 0) ,

? y12 2 3 3 2 ? ? x2 ? 2 ? 0, y2 x2 ? x2 ? 2 ? 0 , ? x2 ? 2 ? 0 , 所以 ? 4 即 故 ? ―――― 4 16 4 ? y ? y ? 0, ? 1 2
9分 解之得 x2 ? 2 或 x2 ?

10 (舍) , 3

当 x2 ? 2 时,解得 P(0, 0) 不合题意, 所以同时满足两个条件的三角形不存在. ――――12 分

21、解: (Ⅰ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ex ? 3( x ? 0) , 则 h?( x) ?

1 e 1 ? e ? ? (x ? ) , ――――1 分 x x e 1 当 0 ? x ? 时, h?( x) ? 0 ,此时函数 h( x) 为增函数; e 1 当 x ? 时, h?( x) ? 0 ,此时函数 h( x) 为减函数. e

所以 h( x) max ? h( ) ? ?1 ? 1 ? 3 ? 1 ,为所求.

1 e

――――4 分

(Ⅱ) 设过点 A 的直线 l 与函数 f ( x) ? ln x 切于点 ( x0 ,ln x0 ) , 则其斜率 k ?

1 , x0

故切线 l : y ? ln x0 ? 将点 A(

1 ( x ? x0 ) , x0

e 1 , ) 代入直线 l 方程得: e ?1 e ?1

e ?1 1 1 1 e ln x0 ? ? 1 ? 0 ,――――7 分 ? ln x0 ? ( ? x0 ) ,即 e x0 e ?1 x0 e ? 1
e ?1 1 e ?1 1 e ?1 e ln x ? ? 1( x ? 0) ,则 v?( x) ? ? 2 ? 2 (x ? ), e x ex x ex e ?1 e 当0 ? x ? 时, v?( x) ? 0 ,函数 v( x) 为增函数; e ?1 e 当x? 时, v?( x) ? 0 ,函数 v( x) 为减函数. e ?1
设 v( x) ? 故方程 v( x) ? 0 至多有两个实根, ――――10 分

又 v(1) ? v(e) ? 0 ,所以方程 v( x) ? 0 的两个实根为 1和 e , 故 P(1, 0), Q(e,1) ,所以 k ?

1 1 ,b ? 为所求.――――12 分 e ?1 1? e

22.证明: (Ⅰ)连结 AB、AC,∵AD 为⊙M 的直径, ∴∠ABD=90°,∴AC 为⊙O 的直径, ∴∠CEF=∠AGD=90°. ――――2 分

∵G 为弧 BD 中点,∴∠DAG=∠GAB=∠ECF. ――――4 分 ∴△CEF∽△AGD ∴

CE AG , ? EF GD

∴AG·EF = CE·GD

――――6 分

(Ⅱ)由⑴知∠DAG=∠GAB=∠FDG,∠G=∠G, ∴△DFG∽△AGD, 分 ∴DG =AG·GF.
2

――――8

由⑴知 23.解: (Ⅰ)当 a ?

GF EF 2 EF 2 GD2 ,∴ ? ? AG CE 2 CE 2 AG 2

――――10 分

?

3

时,C1 的普通方程为 y ? 3( x ?1) ,C2 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1,

联立方程组 ?

? ? y ? 3 ( x ? 1) , 解 得 C1 与 C2 的 交 点 坐 标 为 ( 1 , 0 ) , 2 2 ? x ? y ? 1 ?

1 3 ( ,? ) .――――5 分 2 2
( Ⅱ ) C1 的 普 通 方 程 为 x sin ? ? y cos? ? sin ? ? 0 , A 点 坐 标 为

(sin2 ? ,? sin ? cos? ) ,
1 ? x ? sin 2 ? , ? ? 2 故当 ? 变化时,P 点轨迹的参数方程为 ? ( ? 为参数) 1 ? y ? ? sin ? cos ? , ? ? 2
P 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ?
故 P 点轨迹是圆心为 ( ,0 ) ,半径为

1 4

1 . 16

1 4

1 的圆.――――10 4

24.解: (Ⅰ)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? x ? 3 . 又已知不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | ?1 ? x ? 5?,所以 ?

?a ? 3 ? ?1 ,解得 ?a ? 3 ? 5

a ? 2 .――――4 分
(Ⅱ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | ,设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5) , 于是

?? 2 x ? 1, x ? ?3, ? g ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |? ?5,?3 ? x ? 2, ?2 x ? 1, x ? 2. ?
所以当 x ? ?3 时, g ( x) ? 5 ;

――――6 分 当 ? 3 ? x ? 2 时, g ( x) ? 5 ; 当 x ? 2 时,

g ( x) ? 5 .

综上可得, g ( x) 的最小值为 5.――――9 分 从而若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m ,即 g ( x) ? m 对一切实数 x 恒成立, 则 m 的取值范围为(-∞,5].――――10 分


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