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《高考数学第一轮复习课件》第67讲 相似三角形的判定与性质

时间:2010-08-19


新课标高中一轮总复习

理数

第十单元 几何证明选讲

知识体系

考纲解读
1.了解平行线截割定理, 会证明并应用 了解平行线截割定理, 了解平行线截割定理 直角三角形射影定理. 直角三角形射影定理 2.会证明并应用圆周角定理、 圆的切线 会证明并应用圆周角定理、 会证明并应用圆周角定理 判定定理及性质定理. 判定定理及性质定理 3.会证明并应用相交弦定理、 圆内接四 会证明并应用相交弦定理、 会证明并应用相交弦定理 边形的性质定理与判定定理、切割线定理. 边形的性质定理与判定定理、切割线定理 4.了解平行投影的含义, 通过圆柱与平 了解平行投影的含义, 了解平行投影的含义 面的位置关系,了解平行投影; 面的位置关系,了解平行投影;会证平面与 圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆) 圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).

5.了解下面的定理: 了解下面的定理: 了解下面的定理 定理:在空间中,取直线l为轴 直线l′与 为轴, 定理 在空间中,取直线 为轴,直线 与 在空间中 l相交于点 , 其夹角为 , l′围绕 旋转得到 相交于点O, 其夹角为α, 围绕 围绕l旋转得到 相交于点 为顶点, 为母线的圆锥面 任取平面π, 为母线的圆锥面, 以O为顶点,l′为母线的圆锥面,任取平面 , 为顶点 若它与轴l的交角为 的交角为β(当 与 平行时 平行时, 若它与轴 的交角为 当π与l平行时,记β=0), , 则: (1)β>α,平面 与圆锥的交线为椭圆; 平面π与圆锥的交线为椭圆 平面 与圆锥的交线为椭圆; (2)β=α,平面 与圆锥的交线为抛物线 平面π与圆锥的交线为抛物线 平面 与圆锥的交线为抛物线; (3)β<α,平面 与圆锥的交线为双曲线 平面π与圆锥的交线为双曲线 平面 与圆锥的交线为双曲线.

6.会利用丹迪林 会利用丹迪林(Dandelin)双球 ( 这两 双球( 会利用丹迪林 双球 个球位于圆锥的内部,一个位于平面π的上 个球位于圆锥的内部,一个位于平面 的上 一个位于平面的下方,并且与平面π及 方,一个位于平面的下方,并且与平面 及 圆锥均相切)证明上述定理( )情况. 圆锥均相切)证明上述定理(1)情况 7.会证明以下结论: 会证明以下结论: 会证明以下结论 (1)在 6.中 , 一个丹迪林球与圆锥面的 在 中 交线为一个圆, 并与圆锥的底面平行, 交线为一个圆 , 并与圆锥的底面平行 , 记 这个圆所在平面为π′; 这个圆所在平面为 ;

与平面π′的交线为 (2)如果平面 与平面 的交线为 )如果平面π与平面 m,在5.(1)中椭圆上任取一点 ,该丹迪 中椭圆上任取一点A, 在 中椭圆上任取一点 林球与平面π的切点为 的切点为F,则点A到点 到点F 林球与平面 的切点为 ,则点 到点 的距离与点A到直线 到直线m的距离比是小于 的距离与点 到直线 的距离比是小于 1的常数 称点 为这个椭圆的焦点 , 的常数e(称点 为这个椭圆的焦点, 的常数 称点F为这个椭圆的焦点 直线m为椭圆的准线 常数e为离心率 为椭圆的准线, 为离心率). 直线 为椭圆的准线,常数 为离心率 8.了解定理 了解定理5.(3)中的证明,了解当 中的证明, 了解定理 中的证明 β无限接近 时,平面 的极限结果 无限接近α时 平面π的极限结果 的极限结果. 无限接近

第67讲 67讲
相似三角形的判定与性质

1.理解相似三角形的定义,掌握相 理解相似三角形的定义, 理解相似三角形的定义 似三角形的三个判定定理的证明方法. 似三角形的三个判定定理的证明方法 2.了解平行线分线段成比例定理 了解平行线分线段成比例定理. 了解平行线分线段成比例定理 3.理解并掌握直角三角形射影定理 理解并掌握直角三角形射影定理. 理解并掌握直角三角形射影定理

1. 如 图 , 在 △ ABC 中 , MN∥DE∥BC, 若 AE∶EC=7∶3, ∥ ∥ ∶ ∶ 则DB∶AB的值为 3:10 . ∶ 的值为
AD 因为 DB AB 7+3 = DB 3 AE = EC = 10 3

= ,

7 3

,

所以

所以DB∶ 所以 ∶AB=3∶10. ∶

2.两个相似三角形的周长分别是 和9,则 两个相似三角形的周长分别是4和 , 两个相似三角形的周长分别是 ∶ 两个三角形的面积比是 16∶81 .
a b c a+b+c 4 = , 因为 = = = a1 b1 c1 a1 + b1 + c1 9 S a 2 16 . 所以 =( ) = S1 a1 81

3.如图 , CD是直角三角形 如图, 是直角三角形ABC斜 如图 是直角三角形 斜 边上的高, 边上的高,则图中相似的三角形 有 3 对.

4.如图 , 已知点 、 D在直线 如图, 已知点A、 在直线 如图 BC上的射影分别为 、 C, 上的射影分别为B、 , 上的射影分别为 点 E 为 线 段 AD 的 中 点 , 则 BE=CE BE 与 CE 的 大 小 关 系 . 为 过点E作 ⊥ 于 , 过点 作EF⊥BC于F, 则AB∥EF∥CD. ∥ ∥ 因为E为 的中点 所以F为 的中点 的中点, 的中点, 因为 为AD的中点,所以 为BC的中点 所以EF是 的中垂线 的中垂线, 所以 是BC的中垂线,则BE=CE.

5.在矩形 在矩形ABCD中 , AB=a, BC=b, 过 C作 在矩形 中 , , 作 CE⊥BD于E,则BE= ⊥ 于 ,
b2 a 2 + b2

.

由直角三角形射影定理可知BC 由直角三角形射影定理可知 2=BEBD,
BC 2 所以BE= 所以 BD

=

b2 a +b
2 2

.

6.如图,已知DE∥BC,且BF∶EF=4∶3, 如图,已知 ∥ 如图 且 ∶ ∶ , ∶ 则AC∶AE= 4∶3 . ∶

因为DE∥ ,所以DEF∽△CBF, 因为 ∥BC,所以 ∽ , 所以BF∶ 所以 ∶EF=BC∶DE=4∶3. ∶ ∶ 又因为DE∥ ,所以△ 又因为 ∥BC,所以△ADE∽△ABC, ∽ , 所以AC∶ 所以 ∶AE=BC∶DE=4∶3. ∶ ∶

1.平行线等分线段定理 平行线等分线段定理 (1)定理:如果一组平行线在一条直 定理: 定理 线上截得的线段相等, 线上截得的线段相等,那么在其他直线 上截得的线段也① 上截得的线段也① 相等 . (2)推论 :x经过三角形一边的中点 推论1: 经过三角形一边的中点 推论 第三边. 与另一边平行的直线必② 与另一边平行的直线必② 平分第三边 (3)经过梯形一腰的中点,且与底边 经过梯形一腰的中点, 经过梯形一腰的中点 平行的直线③ 另一腰. 平行的直线③ 平分 另一腰

2.平行线分线段成比例定理及推论 平行线分线段成比例定理及推论 三条平行线截任意两条直线, 三条平行线截任意两条直线 , 所截出的 成比例. ④ 对应线段 成比例 推论: 推论 : 平行于三角形一边的直线截其他 两边(或两边的延长线 所得的⑤ 或两边的延长线),所得的 两边 或两边的延长线 所得的⑤ 对应线段 成 比例. 比例 3.相似三角形的定义 相似三角形的定义 对应角⑥ 对应边⑦ 对应角⑥ 相等 ,对应边⑦ 成比例 的两个 对应边 三角形叫做两个相似三角形. 三角形叫做两个相似三角形

4.相似三角形的判定 相似三角形的判定 判定定理1:两角对应⑧ 判定定理 两角对应⑧ 相等 的两个三角 两角对应 形相似. 形相似 判定定理2:两边对应 两边对应⑨ 并且夹 判定定理 两边对应⑨ 成比例 ,并且夹 的两个三角形相似. 角⑩ 相等 的两个三角形相似 判定定理3:三边对应 判定定理 三边对应 11 成比例 的两个 三角形相似. 三角形相似 5.相似三角形的性质 相似三角形的性质 (1)相似三角形对应边上的高、中线和对 相似三角形对应边上的高、 相似三角形对应边上的高 应角平分线的比都等于12 相似比 .

(2)相似三角形周长的比等于13 相似比 . 相似三角形周长的比等于 (3)相似三角形的面积比等于 14 相似比的平方. 相似三角形的面积比等于 6.直角三角形射影定理 直角三角形射影定理 直角三角形中,每一条直角边是这条直角边 直角三角形中, 在斜边上的射影和斜边的 15 比例中项 ;斜边上的 斜边上的 高是两条直角边在斜边上的射影的 16 比例中项 .

典例精讲
题型一 平行线分线段成比例问题
如图,已知 已知AB∥ ∥ 例1如图 已知 ∥EF∥CD, 若AB=6 cm,CD=9 cm,则EF= 则
18 5

.

由于BC是 的公共边, 与 的公共边 分析 由于 是△ABC与△DBC的公共边, 且AB∥EF∥CD,利用平行线分三角形成相 ∥ ∥ , 似三角形可求EF. 似三角形可求

因为EF∥ 在△ABC中,因为 ∥AB,所以 EF = CF . 中 因为 所以
EF 因为EF∥ 在△DBC中,因为 ∥CD,所以 中 因为 所以 CD BF EF CF EF 两式相加,得 = + =1, 两式相加 得 + AB CB BC CD 所以 EF + EF =1,故EF= 18 cm. 故 6 9 5

=

AB BF BC

CB

.

由证明过程我们发现, 点评 由证明过程我们发现,本题可以
1 有以下一般结论: 有以下一般结论: AB 1 + CD 1 = EF

.

变式 如 右 图 , 平 行 四 边 形

ABCD的对角线交于点 ,OE 的对角线交于点O, 的对角线交于点 交 BC于 E, 交 AB的延长线于 于 , 的延长线于 F , 若 AB=a,BC=b,BF=c, 则 bc BE= . 本题所给出的已知线段AB、 、 分析本题所给出的已知线段 、BC、
a + 2c

BF位置分散,应设法利用平行四边形 位置分散, 位置分散 的等量关系, 的等量关系,通过作辅助线将长度已 知的线段“集中” 知的线段“集中”到一个可解的图形 中来.为此 为此,过 作 ∥ , 中来 为此 过O作OG∥BC,交AB于G, 于 , 构造△ 求解. 构造△BEF∽△GOF求解 ∽ 求解

过O作OG∥BC,交AB于G,显然 作 ∥ , 于 ,显然OG 的中位线, 是△ABC的中位线, 的中位线 所以OG= 所以 GB= 1 2
1 AB= 2 1 2

BC= a.

1 b, 2

GOF中,BE∥OG,所以 BEF∽ 所以△ 在△GOF中,BE∥OG,所以△BEF∽△GOF,
BF FB 所以 GO = FG , 即BE= FB GO= c b 1 2 FG c+ a 2
bc a + 2c

=

.

点评 解决平面几何问题时 当条件较分散时 解决平面几何问题时,当条件较分散时 当条件较分散时,

可适当添作辅助线,使得分散的条件适当集中 可适当添作辅助线 使得分散的条件适当集中. 使得分散的条件适当集中

题型二 直角三角形射影定理及应用
AD∥BC,AC⊥BD, 垂足为 ∠ABC=45° , ∥ ⊥ , 垂足为E,∠ ° 的垂线交AD于 过E作AD的垂线交 于F, 作 的垂线交 交BC于G,过E作AD的平 于 , 作 的平 行线交AB于 行线交 于H. 求证: 求证:FG2=AFDF+BGCG+AHBH.

例2 已 知 , 如 图 , 在 梯 形 ABCD 中 ,

由射影定理可知AFDF=EF2,BGCG=EG2, 由射影定理可知 分析 故考虑将FG=FE+EG,然后只需寻找 然后只需寻找EFEG与 故考虑将 然后只需寻找 与 AHBH的关系 的关系. 的关系 因为AC⊥ 因为 ⊥BD,故△AED、△BEC都 故 、 都 是直角三角形. 是直角三角形 又EF⊥AD,EG⊥BC,由射 ⊥ ⊥ 由射 影定理可知AFDF=EF2, 影定理可知 BGCG=EG2.

又FG2=(FE+EG)2=FE2+EG2+2FEEG =AFDF+BGCG+2FEEG, 因为∠ 分别过点A、 作直线与 因为 ∠ ABC=45°,分别过点 、 H作直线与 ° 分别过点 BC垂直,易知,AH=2FE,BH=2EG, 垂直, 垂直 易知, 故AHBH=2EFEG. 所以FG 所以 2=AFDF+BGCG+2FEEG =AFDF+BGCG+AHBH. 的结论与已知条件的关系,逐步消除差距 的结论与已知条件的关系,逐步消除差距.

点评 做平面几何证明题时要分析待证明

∠ BAC=90° , AD⊥BC于 D, ° ⊥ 于 , DF⊥AC 于 F , DE⊥AB 于 E , ⊥ ⊥ 求证:AD3=BCBECF. 求证: 问题题设中含有直角三角形和斜边 分析 上的高, 上的高,符合直角三角形射影定理的两个 条件中,故考虑应用射影定理求解. 条件中,故考虑应用射影定理求解

△ 变式 如 图 , 在 Rt△ABC 中 ,

在Rt△ABC中,因为 ⊥BC, △ 中 因为AD⊥ , 所以AD 所以 2=BDDC,且ADBC=ABAC. , 中和Rt△ 在Rt△ABD中和 △ADC中, △ 中和 中 因为DE⊥AB,DF⊥AC, 因为 ⊥ , ⊥ , 由射影定理, 由射影定理,BD2=BEBA,DC2=CFAC, , 所以BD 所以 2DC2=BEBACFAC =BECFADBC=AD4, 所以AD 所以 3=BCBECF.

题型三 相似三角形判定定理及性质 定理的应用
1 例3 如图,在矩形 如图,在矩形ABCD中,AB> 2 AD,E 中 ,

的中点, ⊥ , 为 AD的中点 , EF⊥EC, 且 EF交 AB于 F, 的中点 交 于 , △AEF、△ECF、 、 、
AB 连接FC.设 =k,是否存在实数 的值,使 的值, 连接 设 ,是否存在实数k的值 BC

△DCE与△BCF都相 与 都相 若存在,给出证明; 似?若存在,给出证明; 若不存在,请说明理由 若不存在,请说明理由.

要证明这四个三角形都相似, 分析 要证明这四个三角形都相似 , 可以 逐次证明其中的三角形相似, 逐次证明其中的三角形相似 , 由于这些三 角形都是直角三角形, 角形都是直角三角形 , 因此只要证明两个 三角形有一组锐角相等或两组对应边成比 例即可. 例即可 假设存在实数k的值,满足题设 假设存在实数 的值,满足题设. 的值 先证明△ ①先证明△AEF∽△DCE∽△ECF. ∽ ∽ 因为EF⊥ 所以∠ 因为 ⊥EC,所以∠AEF=90°-∠DEC=∠DCE. 所以 °∠ ∠ 而∠A=∠D=90°,故△AEF∽△DCE. ∠ ° ∽

CE DE CE AE = . 故得 EF = AF ,而DE=EA,所以 而 , EF AF

所以△ 又∠CEF=∠EAF=90°,所以△AEF∽△ECF. ∠ ° 所以 ∽ 再证明可以取到实数k的值 的值, ②再证明可以取到实数 的值, 使△AEF∽△BCF. ∽ 由于∠ 由于∠AFE+∠BFC≠90°, ∠ ° 故不可能有∠AFE=∠BCF, 故不可能有∠ ∠ 因此要使△ 因此要使△AEF∽△BCF, ∽ 应有∠ 应有∠AFE=∠BFC, ∠ ,

AE BC 1 此时, 此时,有 = ,但AE= BC, , AF BF 2 1 故得AF= BF= 1 AB. 故得 2 3 AE CD 由△AEF∽△DCE,可知 = . ∽ , AF DE 1 1

因此, 因此,( BC)2= AB2,
2

AB AB 3 3 求得k= BC = . 所以 2 = ,求得 BC 4对于存在性问题,先假设其存 点评 对于存在性问题, 2 3 可以验证,当k= 可以验证再求解推理时,这四个三角形都是 , 在,再求解推理,若其解符合题意, 2 , 若其解符合题意,

2

3

有一个锐角等于60°的直角三角形, 有一个锐角等于 °的直角三角形,故它 则存在,否则不存在. 则存在,否则不存在 们都相似. 们都相似

备选题
(1)如图甲,平行四边形ABCD中, 如图甲,平行四边形 如图甲 中 AE∶EB=1∶2,若△AEF的面积为 cm2, 面积为a ∶ ∶ , 2. cm9a 则△CDF的面积等于 的面积等于 (2)如图乙,在△ABC中,DE∥BC, 如图乙, 如图乙 中 ∥ EF∥CD,且AB=2,AD= 2 ,则AF= 1 . ∥ , 则

的面积为a,要求△ 的面积, △AEF的面积为 ,要求△DCF的面积 的面积为 的面积 运用相似三角形的性质即可; 运用相似三角形的性质即可 ; ( 2) 由 ) 于题目给出了两对平行线, 于题目给出了两对平行线,求截得的线 段长,用平行线分线段成比例定理可得. 段长,用平行线分线段成比例定理可得

∽ 分析 (1) 显 然 △ AEF∽△CDF. 因 为

(1)因为 ∥DC,所以△AEF∽△CDF, 因为AE∥ 所以△ 因为 所以 ∽
S△AEF AE 2 AE 2 1 2 1 S△CDF =( CD ) =( AB ) =( 3 ) = 9 , 所以S△ 所以 △CDF=9S△AEF=9a. △

(2)因为 ∥CD,所以△AEF∽△ACD, 因为EF∥ 所以△ 因为 所以 ∽
AE 故 AC

=

AF AD

.

又因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC, ∥ 所以△ 又因为 平行线及其性质的运用,在解题、 所以 ∽ 点评平行线及其性质的运用,在解题、 AD AE AD AF ,应好好体会 证题中是比较灵活的, , = ,所以 = 所以证题中是比较灵活的 应好好体会. 所以
AB AC AD 2 =1. 即AF= AB AD AB

方法提炼
1.相似三角形的证法:①定义法:对 相似三角形的证法: 定义法: 相似三角形的证法 应边成比例, 对应角相等; ② 平行法; 应边成比例 , 对应角相等 ; 平行法 ; 判定定理法:用得最多的是判定定理1, ③判定定理法:用得最多的是判定定理 , 即两角对应相等的两个三角形相似; 即两角对应相等的两个三角形相似 ; ④ 对直角三角形除以上方法外, 对直角三角形除以上方法外 , 还有特殊 方法, 两直角边对应成比例, 方法 , 两直角边对应成比例 , 两直角三 角形相似; 角形相似 ; 一条直角边和斜边对应成比 两直角三角形相似; 例 , 两直角三角形相似 ; 斜边上的高分 成的两直角三角形与原三角形相似. 成的两直角三角形与原三角形相似

2.相似三角形的性质:①对应边成比例, 相似三角形的性质: 对应边成比例, 相似三角形的性质 对应角相等; 对应高的比、对应中线的比、 对应角相等;②对应高的比、对应中线的比、 对应角平分线的比、周长的比都等于相似比, 对应角平分线的比、周长的比都等于相似比, 而面积的比等于相似比的平方; 而面积的比等于相似比的平方;③相似三角 形外接圆的直径比、周长比等于相似比, 形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外 接圆的面积比等于相似比的平方.利用这些 接圆的面积比等于相似比的平方 利用这些 关系可以进行各种证明、求值. 关系可以进行各种证明、求值 3.在探究证明中 掌握从特殊到一般和化 在探究证明中,掌握从特殊到一般和化 在探究证明中 归的思想方法,学会解决问题的程序 模式. 学会解决问题的程序、 归的思想方法 学会解决问题的程序、模式

走进高考
学例1 (2009 江 苏 卷 ) 如 图 ,
在 四 边 形 ABCD 中 , △ ABC≌△BAD. 求 证 : ≌ AB∥CD. ∥ ABC≌△BAD, 由 △ ≌ 得 ∠ ACB=∠BDA, 故 A、 B、 C、 D四点 ∠ , 、 、 、 四点 共 圆 , 从 而 ∠ CAB=∠CDB. 再 由 ∠ △ABC≌△BAD,得∠CAB=∠DBA.因此 ≌ 得 ∠ 因此 ∠DBA=∠CDB,所以 ∥CD. ∠ ,所以AB∥

宁夏/海南卷 过圆O外一点 宁夏 海南卷)过圆 外一点M 学例2 (2008宁夏 海南卷 过圆 外一点 作它的一条切线, 切点为A,过 A点作直线 作它的一条切线 , 切点为 过 点作直线 AP垂直于直线 垂直于直线OM,垂足为 垂足为P. 垂直于直线 垂足为

(1)证明:OA2=OMOP; 证明: 证明 (2)N为线段 上一点 , 直线 垂直直线 为线段AP上一点 直线NB垂直直线 为线段 上一点, ON,且交圆 于 B点, 过 B点的切线交直线 且交圆O于 点 且交圆 点的切线交直线 ON于K,证明 ∠OKM=90°. 于 ,证明:∠ = °

(1)因为 因为MA是圆 的切线 所以 ⊥AM. 是圆O的切线 所以OA⊥ 因为 是圆 的切线,所以 又因为AP⊥ 又因为 ⊥OM,在Rt△OAM中, 在 △ 中 由射影定理知, 由射影定理知,OA2=OMOP. (2)因为 是圆 的切线,BN⊥OK, 因为BK是圆 的切线, ⊥ 因为 是圆O的切线 同(1),有OB2=ONOK.又OB=OA, ) 又 所以△ 又∠NOP=∠MOK,所以△ONP∽△OMK, ∠ 所以 ∽ 故∠OKM=∠OPN=90°. ∠ °
ON OM 所以OPOM=ONOK,即 = . 所以 即 OP OK

本节完,谢谢聆听
立足教育, 立足教育,开创未来


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