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2012江苏省数学竞赛《提优教程》第47讲角度与距离题目


第7讲
求点到平面距离和异面直线之间的距离.

角度与距离

本节内容主要是关于空间中各种角与距离的定义与求法以及向量在相关计算中的应 用.向量方法一般用于求角度,如线线所成角,线面所成角,面面所成角,有时也可以用来

A 类例题 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则直线 A1C1 与直线 BD

1 的距离 是_______
(2001 年全国高中数学联赛)
C1 B1 D1

A1

C B A

D

分析:求异面直线的距离有很多种思路,可以从定义出发找出公垂线段,求出其长度, 也可以过一条直线作另一条直线的平行线,求出线面距离,即为异面直线的距离,等等. 解: 连接 B1D1, 交 A1C1 于 O ,易证 A1C1⊥平面 BB1D1, 过 O 作 BD1 的垂线,垂足为 H, 则 OH 为直线 A1C1 与直线 BD1 的公垂线段.把 Rt△BB1D1 的平面图画出来,
B1 O D1

H

B

易得 OH=

6 . 6

A,B,C,D 四点不共面,且两两间的距离均为 1,点 P 与点 Q 分别在 线段 AB 与 CD 上运动,则 P 与 Q 间的最小距离为__________.
(2001 年第 12 届希望杯)

解 A,B,C,D 构成正四面体,求 P 与 Q 间的最小距离即求 AB 与 CD 间的距离,如 图.
A

E

B F C

D

取 AB,CD 的中点 E,F,则 AF⊥CD,BF⊥CD,∴CD⊥平面 ABF.∴EF⊥CD.又 EF⊥AB,∴EF 为 AB,CD 间的距离. 3 ∵AE=BE= 2 ,AF=1,∴EF=
2 2 ? 3? -?1? = 2. ? 2 ? ? 2? 2

△ABC 的顶点 B 在平面 α 内,A、C 在 α 的同一侧,AB、BC 与 α 所成 的角分别是 30° 和 45° ,若 AB=3,BC=4 2,AC=5,则 AC 与 α 所成的角为( )

A. 60°

B.45°

C.30°

D.15°

(2005 年高考·吉林、黑龙江、广西卷) 分析:利用三角形表达出 AC 与 α 所成的角.

C A F α D B E

作 AD⊥α 于 D,CE⊥α 于 E,则 AD∥CE,作 AF⊥CE 于 F.

3 由∠ABD=30°,∠CB E=45°,AB=3,CB=4 2,易知 AD= ,CE=4. 2 3 5 1 由 CE⊥DE 得 AF∥DE.故 CF=4-2=2,故 sin∠CAF=2. 故 AC 与 α 所成的角为 30°. 答案:C

情景再现

已知平面 α⊥β,α∩β=l,P 是空间一点,且 P 到 α、β 的距离分别是 1、2,则点 P 到 为
(2004 年高考·浙江·文)

l

的距离



如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD
C1 =1,E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1D 的中点,则异面 1 A1

直线 A1E 与 GF 所成的角是
A.arccos 15 5

E D

B1

G C

10 C.arccos 5 (2005 年高考·福建)

? 4 ? D. 2
B.

A

F

B

如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 是 A1B1 的中点,则 E 到平面 AB C1D1 的距离为( )
3 A. 2 1 C.2 2 B. 2 3 D. 3

(2005 年高考·湖南·文)

B 类例题

如图,A1B1C1-ABC 是直三棱柱,∠BCA=900,点 D1,F1 分别是 A1B1, A1C1 的中点.若 BC=CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是 (
30 10



[来源:学+科 +网 ]

(A)

1 30 (B) (C) 2 15

(D)

15 10 B1

(1995 年高考·全国) 分析:求异面直线所成的角一般可以通过平移的方法把两条异 面直线所成的角构造出来,然后通过解三角形求出角度. 解:设 BC=2,把 BD1 平移到 AD2. 在△AD2F1 中,AF1= 5,BD2= 6, D2F1= 2 12+( 2)2+2·1· 2· 2 = 5,

D1 F1 C1

A1

B C

A

5+6-5 30 ∴cosα= = 10 . 2· 5· 6 答案:A

四面体 S—ABC 中,∠ASB=2,∠ASC=α,∠BSC=β(0<α,β<2).以 SC 为 棱 的 二 面 角 的 平 面 角 为 θ , 求 证 : θ=π - arccos(cotα· cotβ).(1962 年北京市数学竞赛)
证明:在 SC 上取一点 D,使 SD=1,分别在面 SBC、SCA 内作 DE、DF 与 SC 垂直.分 别交 SB、SA 于 E、F,连 EF,则∠EDF=θ. 则 DE=tanβ,SE=secβ,DF=tanα, SF=secα. ∴ EF2=tan2α+tan2β-2tanα· tanβ· cosθ=sec2α+sec2β. ∴ tanα· tanβ· cosθ=-1.?cosθ=-cotα· cotβ. ∴ θ=π-arc cos(cotα· cotβ).

?

?

S F A B E
?

D C

过正四面体的高作一个平面与四面体的三个侧面交于三条直线,这三 条直线与四面体的底面所成角分别为 α、β、γ,证明: tan2α+tan2β+tan2γ=12.(1960 年波兰数学竞赛)
证明: 设正四面体的边长=1, 高为 AH, 过 AH 的平面交正四面体的三个侧面于 AM、 AN、 AP(如图).则∠AMH、∠ANH、∠APH 即为 AM、AN、AP 与底面所成的角,∠AMH=α,∠ ANH=β,∠APH=γ. 2 ∴ AH2=3. AH2 AH2 AH2 2 1 1 1 ∴ tan2α+tan2β+tan2γ= + + = ( + + ). HM2 HN2 HP2 3 HM2 HN2 HP2 1 1 1 为求HM2+HN2+HP2,可利用解析几何: 以 BD 中点 O 为原点,OB 为 x 轴正方向建立直角坐标系,则点 H(0, 方程为: 6 ).直线 HM 的 3

? x=tcos? ? ? 3 (?为参数) ? ?y= 6 +tsinθ
1 CD 方程为 y= 3(x+ ),以 HM 的参数方程代入得, 2 3 1 +tsinθ= 3(tsinθ+ ), 6 2 ∴ 1 t1= 3(sin?- 3cos?).
D P
O

y

C H

N B M
x

1 BC 方程为 y=- 3(x-2),以 HM 的参数方程代入得, 3 1 +tsinθ=- 3(tsinθ- ), 6 2 ∴ 1 = 3(sin?+ 3cos?). t2
3
[来源:学。科。网]

1 令 y=0,得t =-2 3sin?. 1 1 1 1 1 1 ∴ HM2+HN2+HP2=t 2+t 2+t 2=18.于是 tan2α+tan2β+tan2γ=12. 1 2 3

情景再现

如图, 正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成 60°的二面角,则异面直线 AD 与 BF 所成角的余弦值 是_______(1996 年高考?全国?理)
D A F E C

B

已知三棱锥 D-ABC 的三个侧面与底面全等, 且 AB=AC = 3,BC=2,则以 BC 为棱,以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的大小是(
A.arccos 3 3 1 B.arccos 3


π C. 2 2π D. 3

(1997 年·全国·理)

C 类例题 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 中点,F 为 CC1 中点,异面直线 EF 与 AC1 所成角的余弦值是(
2 A. 3 2 2 B. 3


3 C. 4 3 D. 6

[来源:学科网]

(2004 年第 15 届希望杯二试) 分析:本题以正方体为框架,E 和 F 点都是中点,考虑用向量法会比较方便. 解: 设正方体棱长为 1, 以 D1A1 为 x 轴, D1C1 为 y 轴, D1D 为 z 轴建立空间直角坐标系, 1 1 则 E(1,2,1) ,F(0,1,2),A(1,0,1) ,C1(0,1,0) 1 1 → → EF=(-1,2,2) ,AC1=(-1,1,-1) ,∴cosθ= → → EF ·AC1 2 2 = 3 → → |EF|· |AC1|

∴选 B. 说明:本题也可以如上题一样用平移的方法解决,但考虑到正方体的背景,还是用向量 法解决.同学们也可以不用向量法解此题,看看计算难度如何.

如图三棱柱 OAB—O1A1B1, 平面 OBB1O1⊥平面 OAB, ∠O1OB=60°, ∠AOB=90°,且 OB=OO1=2,OA= 3 .求:

(1)二面角 O1—AB—O 的大小; (2)异面直线 A1B 与 AO1 所成角的大小. (上述结果用反三角函数值表示) (2002 年上海春季高考) 分析:第(1)问可以构造二面角的平面角求解,第(2) 问可以考虑用向量法解. 解: (1)取 OB 的中点 D,连结 O1D,则 O1D⊥OB. ∵平面 OBB1O1⊥ 平面 OAB,∴O1D⊥平面 OAB. 过 D 作 AB 的垂线,垂足为 E,连结 O1E. 则 O1E⊥AB,∴∠DEO1 为二面角 O1—AB—O 的平面角. 由题设得 O1D= 3,sin∠OBA= 21 ∴DE=DBsinOBA= 7 ∵在 Rt△O1DE 中,tanDEO1= 7,∴∠DEO1=arctan 7, 即二面角 O1—AB—O 的大小为 arctan 7. 另外本题也可以用向量法来解. 以 O 点为原点,分别以 OA、OB 所在直线为 x、y 轴,过 O 点且与平面 AOB 垂直的直 线为 z 轴,建立空间直角坐标系,则
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

OA 21 2 2= 7 , OA +OB

O(0,0,0) ,O1(0,1, 3) ,A( 3,0,0) ,A1( 3,1, 3) ,B(0,2,0) .

→ → → AB =(- 3,2,0) ,O1B=(0,1,- 3) .设平面 OAB 法向量为 m =(0,0,1) ,设 → → → → → 平面 O1AB 法向量为 n =(x,y,z) ,则由 AB ⊥ n 和O1B⊥ n 得:

?x= 3y ?- 3x+2y=0 ? ? ,故? 1 ,令 y= ? y- 3z=0 ? z= y ? 3
2 1 2 cosθ= = . 1× 22+3+1 4

→ 3,则 n =(2, 3,1)

[来源:学科网 ZXXK]

(2)设异面直线 A1B 与 AO1 所成的角为 α, → → → → → → 则A1B=OB-OA1=(- 3,1,- 3) ,O1A=OA-OO1=( 3,-1, 3) 1 1 ∴cosα= .∴异面直线 A1B 与 AO1 所成角的大小为 arccos . 7 7 说明:用向量法求二面角的大小,可以考虑转为求平面法向量的夹角.而求平面的法向 量方法如下:先求出平面内不共线的两个向量,然后设法向量坐标,利用平面内向量与平面 的法向量内积为 0 建立方程组,求出法向量.

G

ABCD 是边长为 4 的正方形,E,F 分 别 为 AB , AD 中 点 , GC ⊥ 平 面 ABCD, GC=2, 求 点 B 到平面 EFG 的距离.
A F

D C

E

B

解:以 CD,CB,CG 为坐标轴建立平面直角坐标系.则 E(2,4,0) ,F(4,2,0) ,B(0, 4,0) ,G(0,0,2) . → → → 故 EF =(2,-2,0) ,EG=(-2,-4,2) , EB =(-2,0,0) . → 设平面 EFG 法向量为 n =(x,y,z) ,则
? ? x=y 2x-2y=0 → ? ,故? ,设 y=1,则 n =(1,1,3) ?-2x-4y+2z=0 ?z=3y

故点 B 到平面 EFG 距离 d=

→ → |EB · n | 2 2 11 = = 11 . → 11 |n|

说明:求点到平面距离可以先求出平面的法向量,然后求出该点指向平面上一点向量,这个 向量投影在平面的单位法向量上就是点到平面的距离.计算时可以如本题求法.另外这个方 法也可以用来求异面直线之间的距离,只要构造出通过异面直线中的一条且与另一条直线平 行的平面就可以把异面直线之间的距离转为点面的距离.

情景再现

如图,已知三棱柱 ABC—A1B1C1,在某个 → =(m,- 3,0) 空间直角坐标系中AB , 2 2 → =(m,0,0) → =(0,0,n) AC ,AA , 1 (其中 m、n>0) .
(1)证明:三棱柱 ABC—A1B1C1 是正三棱柱; (2)若 m= 2n,求直线 CA1 与平面 A1ABB1 所成角的大小. (2003 年上海春季高考)

如图, 正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 a, 侧棱长为 2a.
(1)建立适当的坐标系,并写出点 A、B、A1、C1 的坐标; (2)求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角. (2002 年天津)

正方体 AC1 的棱长为 1,求 DA1 与 AC 的距离.

习题七

A1B1C1-ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点 D1,F1 分 别是 A1B1,A1C1 的中点,若 BC=CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值为(
A. 30 10 1 B. 2 C. 30 15


D. 15 10

(1995 年·全国·理)

正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB= 2BB1,则 AB1 与 C1B 所成角的大小为(
(2001 年·全国· 理) A.60° B.90° C.105° D.75°



正六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 的底面边长为 1,侧 棱长为 2,则这个棱柱的侧面对角线 E1D 与 BC1 所成 的角是
A.90? B.60? C.45? D.30?

(2002 年天津)

在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 E、F 分别在 BB1、 DD1 上,且 AE⊥A1B,AF⊥A1D.

(1)求证:A1C⊥平面 AEF; (2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角) .则在 空间中有定理:若两条直线分别垂直于两个平面,则这两条直线所成的角与这两个平面所成 的角相等. 试根据上述定理,在 AB=4,AD=3,AA1=5 时,求平面 AEF 与平面 D1B1BD 所成角 的大小. (用反三角函数值表示) (2001 上海春)

如图在空间直角坐标系中 BC=2,原点 O 是 BC 的中点, 点 A 的坐标是( 3 1 , , 0) ,点 D 在平面 yOz 上,且 2 2

∠BDC=90°,∠DCB=30°.
→ (1)求向量OD的坐标;

→ → (2)设向量 AD 和 BC 的夹角为 θ,求 cosθ 的值. (1995 上海,21)

如图, 在三棱锥 S-ABC 中, SA⊥ 底面 ABC, AB⊥ BC. DE 垂直平分 SC,且分别交 AC、SC 于 D、E.又 SA= AB,SB=BC.求以 BD 为棱,以 BDE 与 BDC 为面 的二面角的度数. (1990 年?全国)

已知 ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC 垂直于 ABCD 所在的平面,且 GC=2.求 点 B 到平面 EFG 的距离. (1991 全国) 两条异面直线 a、b 所成的角为 θ,它们的公垂线段 AA1 的长度为 d.在直线 a、b 上分别取点 E、F,设 A1E= m,AF=n.求证:EF= d2+m2+n2±2mncosθ.
(1992 年理)

如图,已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.
(1)证明:C1C⊥BD; 3 (2)假定 CD=2,CC1=2,记面 C1BD 为 α,面 CBD 为 β,求二面角 α-BD-β 的平面角的余弦值; CD (3) 当 的值 为多少时, 能使 A1C⊥平面 C1BD? CC1 (2000 年全国·理)
C B D A C1 B1 D1 A1

D1

C1 B1

如图, 在棱长为 a 的正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,E,F 分别是

A1 M

棱 AB 与 BC 的中点.
(1)求二面角 B-FB1-E 的大小的正切值; (2)求点 D 到平面 B1EF 的距离;
A

D F E B

C

(3)在棱 DD1 上能否找到一点 M,使 BM⊥平面 EFB1?若能,试确定点 M 的位置;若 不能,请说明理由. (2004·湖南)

如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 底面是等腰直角三角形,∠ ACB =90°.侧棱 AA1=2,D,E 分 别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在 平面 ABD 上的射影是△ABD 的
A E G A1

C1 B1 D

C

B

重心 G.
(1)求 A1B 与平面 ABD 所成角的余弦值; (2)求点 A1 到面 AED 的距离. (2003·全国·理)

A1 B1

C1

A B

C

已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC 垂直, ∠ABC=900, BC=2, AC= 2 AA1=A1C.
(Ⅰ)求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小; (Ⅱ)求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小; (Ⅲ)求顶点 C 到侧面 A1ABB1 的距离. (1998 年全国)

且 3,

AA1⊥A1C,


2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第47讲角度与距离题目

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