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“阿波罗尼斯圆的应用及探究”教学实录及点评

时间:2013-07-27


21 0 3年第 4期 

中学数 学 月刊 

? 3 ?   5  

“ 波 骂 尼斯 圆 硇 应 用 及 搽 究 ’ 学 实 录 及 点 评  阿 ’ 教
董 荣森
1 基 本 情 况   

( 苏省怀 仁 中学 江

24 9 ) 1 1 6 

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“ 



 

( > 0且  ≠ 1 ”呢 ?   )  

本课 是 2 1 年 1 01 2月 2 7日在无 锡市锡 山区第  二届 “ 呼唤名 师”推 介会 上 的一 节 示 范课 , 授课 班  级 是江 苏省 天一 中学 高三 ( ) . 8 班  教 学 目标 : 1 ( )回忆 求 轨迹 方 程 的 一般 步 骤 ,   能 根据 已知 条件 , 满足 条 件 动 点 的 轨 迹 方程 及  求 轨迹 ; 2 ( )能 够探 索 归 纳 得 出 阿 波 罗 尼 斯 轨 迹 定  理 、 够运用 此定 理来 解 决 一些 简 单 问题 ; 3 能 ( )在  已有 经 验 的基 础 上 , 阿波 罗 尼 斯 轨 迹定 理进 一  对 步探 究 得 出一些 特殊 结论 , 体会 探究 的经历 , 渗透  数形 结 合 、 纳类 比的数学 思想 . 归   教 学重 点和 难点 :感受 阿波 罗尼斯 轨 迹 定理  及 一些 结论 得 出 的基 本 过程 是 本 课 的重 点 , 点  难 是 有关 结论 探究 的思 维过 程 .   教 学 中主要 采用 启发 诱导 和 自主探 究相 结 合  的教学 方法 .  
2 教 学 实 录   

r    D

( 师运 用几 何 画板演 示 0<  < 1 教 和  > 1   的情 形 , 然后 由学 生 归纳 总结 .  ) 生 3 在 平 面 内给定 两点 A 和 B, P点在 同  : 设



^ 

平面上且满足嚣 一 , >0  ≠1 P    当 且 时, 点
』 上j 

的轨 迹 是 个 圆 .  

师 : 个 结论 是 公 元 前 两百 多 年 的一 位 大 数  这 学 家阿波 罗 尼斯 发 现 的 , 以这 个 圆我 们 称 之 为  所 “ 阿波罗 尼斯 圆” 这个 结论 称作 “ 波罗 尼斯轨 迹  , 阿 定 理” 教 师介 绍 阿波 罗尼斯 的生平 ) ( .   师: 如何 求 △A BP 面积 的最 大值 ?   生 4 因 为 AB 的长 度 已经 固定 , 求 △A   : 要 BP 面积 的最 大值 即求 点 P到 AB 距 离 的最 大 值 , 易  得 点 P到AB距 离 的最 大值 为R一4 所 以 △A   , BP 面积 的最 大值为 1 . 2   练习 ( 0 8年 江苏 高 考题 )在 △AB 中 , 20 C   已知 A 一2 C 一, B, △A C 面积 的最 大  B ,A / gC 则 B
值 是  .   生 5建 系 , : 以线 段 A 的 中 点 为 坐 标 原 点 , B  

片段 1 问题 情境    师: 我们 知 道 : 面 内到两 定点 的距 离之 和 为  平 定值( 大于两 定 点 的距 离 )的点 的轨 迹 是椭 圆 ; 到  两定点 的距 离之 差 的绝 对 值 为 定值 ( 于 两 定 点  小 的距离 )的 点的轨 迹是 双 曲线 . 么 , 那 同学 们 有 没  有 思考 或研 究过 : 到两定 点 的距 离 之 比( )为 定  商 值 的 点 的轨 迹是 什 么呢 ?   片段 2 学 生活动    师 : 同学 们解 决下 面 的  请 问题  在 同一 平 面 内 , 已知 两 定 点 A( 2  一 ,

A 所 在 的直线 为 z轴 , B 线段 AB的 中垂线 为 y轴  建 立直 角 坐标 系 , 为 A 一 2 所 以 A( 1 ) 因 B , 一 ,0 ,  

B( ,) 设 C(  ) 由 C : 2 B可 以算 出点 C 1O , x, , A=√   = C   的 轨迹方 程 为 ( 3 。   , z一 ) +Y =8 容易 求得 △AB   C

面积 的最 大值 为 2 g  g.
生 6 以 A 为坐 标 原 点 , B 所 在 的直线 为 z : A   轴 建 立直 角坐标 系 , 求得 点 C的轨 迹 方程 为 ( z一 

o,(, , 点P满 嚣 一专, ) 4) B o 若动 足 则点P的   轨
迹方 程是  , 轨迹 为  其 .  

4 +y 一 8 同样 求 得 AAB 面 积 的 最 大值 为  )   , C
2   .  

师: 在解 决这 个 问题 之 前 , 我们来 回忆 一 下求  轨迹 方程 的一 般 步骤 : 系 一 设 点 ~ 列 式 一 代  建 人 ~ 化 简 一 检 验 , 下 来请 同学 们 按 照这 几 个  接 步骤 完成 本题 .   生 1 ( + 4。 :- z ) +  一 1 , 6 一个 圆.  
师: 变式 1 如 果 将 题 目中 “    


片 段 3 知 识 构 建   

一  1”改 为 

师 : 们 知道 命题 是 由题 设 和结 论 两 部 分 构  我 成 , 么 阿 波 罗尼 斯 轨 迹定 理 的题 设 是 什 么 ?结  那 论 又是什 么 呢?   生 7 题设 为 : 平 面 上给定 相 异两点 A,   : ① B;
n ^  

②在同 一平面上动点P 满足篇 一 (>o  ≠    且  
两 -1 呢 ? P A ’   ’
生 2 z一1 表 示 一 条直 线 ( : , 线段 
线) .  
』 D  

1; ) 结论 为 : 点 P 的轨 迹是 个 圆. ③   的 中垂  师 : 果 我 们 将 上 述 的 ①②③ 进 行 重 新 组  如

合 , 以构 成 多少个 命题 ? 可  
生 8六 个命 题. :  

师: 变式2 如果将题目中“ 一寺”       改为

师: 由于 本节课 的时间关 系 , 天 我们一 起 来  今

? 3      6?
探 讨其 中的两 个.  

中学 数学 月刊 

21 0 3年第 4期 

问题 1 如果将 定 理 中题设 “ 平 面 内给 定    ① 相 异两 点 A, , 结 论 “ B” 与 ③P 点 的轨 迹 是 个 圆 ”   互 换 , 题是 否成立 呢 ? 命   ( 让学生 大胆 猜想 , 并鼓 励 学生 就 教学 片 段 2   中的 问题 进 行编制 例题 .  ) 片段 4 例题 讲 解   
例 1 已 知 点 A( 2 0 , 是 圆 C:  + 4    一 ,) P ( )

+  一

8  

所 以 

一 

一 

一 x 6  P  即 2 三6 1 { 嚣一 ,“     4 B 2 一 . 1  + 一    … 。    
( 一次 让 学 生板 演 , 学 生 总结 得 出 结 论  又 由

2 充 分体现 了以学生 为主体 .  , ) 结论 2 在平 面上 给定 两点 A, 若 P点 是    B, 某个 圆上 的动点 , 必 有  则 为定 值 ( 中  是  其

+Y 一1 上任 意一点 ,   6 问在 平面 上是否 存在点 B,  

使 面 一 ? 存 ,出 B 坐 ;不   得A 丢 若 在求 点 的 标若 存 P
在 , 明理 由. 说  

大 于零且不 等 于 1的常数 ) .   片段 5 回顾 小结    在教 师 的指导 下 , 由学 生来 完 成. 学 知 识 : 数   个 定理及 两个 结论 ; 数学 方 法 : 形结 合 , 化  数 转 与 化归 , 归纳类 比, 析法 ; 解 数学 应用 : 探究解 决有 


解  假 设 存 在 点 B 满 足 要 求 . B( ,)  设 a6,

P ,,z  : 8由  得   ( )   z一X 嚣一 到 z 则 +  
4 A :PB P   4( 厂  + 2 。 y ]一 ( — a +  )+ 。   )

(  一 6 。 即 ( a一 8 x+ 2 y+ 1 一 a 一 b 一 0 ), 2 ) b 6 。   .  

因 为 P 是 圆 c 上 的 任 意 一 点 , 所 以 

{ 一 =, , . f 80 2 =      6 a = I 0 b  一 0  {  故 在 点B ,) ,   ? ’存 定 ( o 一 4 .   1 6一 a2一 一 


变式  已知点 P是 圆 C:z+ 4 +Y = 1  ( )  = 6 =

上任 意一 点 , 问在 z轴上 是否存 在两定 点A , 使  B,

得 丢 若 在求 两 点 , 坐 ; 嚣一 ? 存 ,出 定 A 的 标若 B  
不存 在 , 说 明理 由. 请   ( 由生 9 演 , 师 巡视 ; 1 板 教 生 0纠错 , 师板  教 书讲解.  ) 解  ( 答 过 程 略 )存 在 定 点 A( 6 )  解 一 ,0 , B( 1 ,)或 A( 2 0 , 4 0 . 一 2O 一 , ) B( , )   结论 1 设 P是某 圆上 的点 , 平 面 内一定    则

关 最值 、 定值 和定点 问题 .   3 点 评    ( 点评人 : 江苏省特级 教 师 单 志 民)董 荣森 老  师 在多 年 的工作 中逐 渐形 成 了“ 真实 、 扎实 、 厚实 ”   的教学 风格.   真实: 在课 堂 教学 中能 真正 地 把学 生 作 为学  习的 主体 , 当成研究 者. 本课从 学生 已有 的知识 出  发 , 过设置 问题驱 动导 入新 课 , 方面通 过类 比  通 一 的方法 引导学 生来 思 考 和研 究 “ 两定 点 的距 离  到 之 比( )为定值 的点 的轨迹 是什 么 ?” 商 激起 学 生  迫 切想 知道答 案 的欲 望 和探 究 热 情 ; 一 方 面通  另 过 该 问题 来 检验学 生 的 学 习情 况 . 随后 对 阿 波 罗  尼斯 圆定理 的题设 与结论 进行 交换探 究 出两个 结  论, 真正 把学 生 当作 探究 者 , 足 了学生 的心理 需  满 要, 让学 生 的学 习活动成 为探 究活 动 , 让学 生在 自   主探究 中感 受到两 个结 论 的来 历及 推导 过程与 方 
法.  

存在两 点AB使 定 ,, 得嚣 为 数 (>0  ≠ 常    且  
1 . ) 

扎 实 : 于 教 学 上 的 难 点 、 键 的 问 题 , 置  对 关 设

了 问题 解决 的“ 台阶” 帮助学 生拾 阶而 上 , , 采用 了  
“ 题 链 ”的形 式 分 解 问题 , 是 一 种 有 助 于 学 生  问 这

( 教师让 学 生 进 行猜 想 与归 纳 出结 论 ,引导  学生 继续深 入探究 .  )

克服 学 习上 的 困难 , 使课 堂 流程 自然 、 和谐 、 效  有
的好 方 法 .  

问题 2 如 果将 本 定 理 中 的题设 中 “   ②P 点  与 点A , B在 同一平 面 内 , 满 足 A — ( 且 P  > 0 且  ≠ 1 ” 与结论 “ ), ③P 点 的轨迹 是 个 圆”互 换 , 那  么命题 是否成 立 呢?   ( 鼓励学 生继 续 自己编题 )  
例 2 已 知 点 A( 2 O , 4 O ,   一 , ) B( , ) P是 圆 C:  

厚实 : 扬弃 了传统 的数 学课 堂教学 模式 , 做到  了将 数学文 化渗 透 到数 学 课 堂 之 中. 学 中使 用  教

了启 发式 和探究 式 , 重知识 的发生发 展 , 重解  注 注
题分 析 , 重 揭 示 数 学 思 想 方 法 , 重 教 学 的厚  注 注 实.   本节课 很 有 新意 , 围绕 阿波 罗尼 斯 圆定 理 与  问题 , 教师 引导 学生 由浅入 深 、 由特殊 到一般 地进  行大 胆地变 式 与提 出新 问题 , 给学 生 以探 究 与 体  验 的机会 , 经历 探究 与创新 的思 维历程 , 以此 为载  体让 学生 学会解 决 有关 定 点 问题 的方 法 , 由此  并 让学 生 总结 归 纳 出一般 性 结 论 , 利 地 培 养 了学  有 生 的探究 意识 、 探究 能力 和创新 精神.  

( z+4 + Y 一 1 上 任 意一点 , ) 。 6 问是否 存在 这样 

的常  使得 = ? 存在, 常   值; 数, 嚣  若 求出 数 的  
若 不 存在 , 明理 由. 说  
生 1 : P( 。 Y ) 则 P   z +2  1设 x , 。 , A 一( 。 ) +  ,  
P B 一 ( — 4  + Y . ( z0 )   又 zo+ 4 + Y )  一 1 , 6 即