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高二文科数学上学期期末模拟题


高二文科数学期末模拟试题
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.若 ? ? 0 ,则下列结论正确的是 A. a ? b B. ab ? b C. ? ? ?2
a b b a 1 a 1 b

D. a 2 ? b 2

2.在 ABC 中,已知 a ? 8, ?B ? 60 , ?C

? 75 ,则 b ? A. 4 3 B. 4 5 C. 4 6 D.
22 3

3.已知等差数列 {an } 的公差为 ?2 ,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 ? A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

4. “ x ? 3 ”是“不等式 x 2 ? 2 x ? 0 ”的 A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.非充分必要条件

5. 椭圆 x 2 ? my 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值为 A.
1 4

B.

1 2

C.2

D.4

6. 抛物线 y ? A. x ? ?1

1 2 x 的准线方程是 4

B. y ? ?1

C. x ? ?

1 16

D. y ? ?

1 16

7. 已知双曲线 mx 2 ? ny 2 ? 1(m ? 0, n ? 0) 的离心率为 2,则椭圆 mx 2 ? ny 2 ? 1 的离心率为 A. B. C. D.

?S ? 8. 等差数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ? 1, 其前 n 项和为 Sn ,则数列 ? n ? 前 10 项的和为 ?n?

A. 75

B. 70

C. 120

D. 100

1 9. 若不等式 x 2 ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? (0, ] 恒成立,则 a 的最小值是 2 5 A.0 B.-2 C. ? D.-3 2

10 设 P 是双曲线

5 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的点, F1 , F2 是焦点,双曲线的离心率是 ,且 2 4 a b

?F1 PF2 ? 90? , ?F1 PF2 面积是 9,则 a ? b ?
-1-

A .4

B.5

C.6

D.7

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11. 命题“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 1 ”的否命题 为 ... .
3 x ,则双曲 7

12. 双曲线的中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 16,一条渐近线方程为 y ? 线方程为 .

13. 过抛物线 y 2 ? ax 的焦点作直线交抛物线于 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点, 如果 x1 ? x2 ? 8 且
| AB |? 10 ,则 a ?

14. 已知数列 {an} 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ?

? 3n ?1 an ?

n ,则 an ? 2

.

?x ? 1 ? 15. 已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 ,则 a ? ? y ? a ( x ? 3) ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 16.(本小题 12 分)
2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 设命题 p : 实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q : 实数 x 满足 ? 2 . ? x ? 2 x ? 8 ? 0 ? a ? 1 p ? q (1)若 ,且 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 x 的取值范围.

17.(本小题 12 分)等差数列 {an} 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 Sn . 等比数列 {bn} 的各项均为正 数, b1 ? 1,且 b2 ? S 2 ? 12 , a3 ? b3 .

?1? (1)求数列 ?an ?与 ?bn ?的通项公式; (2)求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? Sn ?

-2-

18. (本小题 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, 3c sin B ? b cosC ? 2c ? a (1)求 B ; [来源 (2)若 a ? c ? 2 6, b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积

19.(本小题 12 分)某单位决定投资 3200 元建一仓库(长方体状) ,高度恒定,它的后墙利 用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,顶部每平 方米造价 20 元。 (1)设铁栅长为 x 米,一堵砖墙长为 y 米,求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)为使仓库总面积 S 达到最大,正面铁栅应设计为多长?

20. (本小题满分 13 分)
? 3? 已知椭圆 C 的中心在坐标原点焦点在 x 轴上,左、 右焦点分别为 F1、 F2,且 F1 F2 ? 2, 点P ?1, ? 在 ? 2?

椭圆 C 上. (I)求椭圆 C 的方程; (II)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 ?AF2 B 的面积为
-3-

12 2 ,求直线 l 的方程. 7

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (ax 2 ? x ? 1)e x ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R . (1)若 a ? 1 ,求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (3)若 a ? ?1 ,函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) ?
1 3 1 2 x ? x ? m 的图象有 3 个不同的交点,求实数 3 2

m 的取值范围.

参考答案
一、ACBAD,BCACD 二、 若x ? 1 ,则x2 ? 1 ;
1 y 2 x2 ? ?1; 4 ; ; 2 ? 3n?1 36 28

1 2
2分

16.解: (1)当 a =1 时, p 为真时: 1 ? x ? 3

………………………

q 为真时: 2 ? x ? 3 ……… 4 分

-4-

?2 ? x ? 3 ∵ p ? q 为真∴ x 满足 ? ,即 2 ? x ? 3 ?1 ? x ? 3

……………………… 6 分

(2)由 ?p 是 ?q 的充分不必要条件知, q 是 p 的充分不必要条件……………………… 7 分 由 p 知,即 A= ?x | a ? x ? 3a, a ? 0? 由 q 知,B= ?x | 2 ? x ? 3? ∴B ? A 所以, a ? 2 且 3 ? 3a 即实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 …………………9 分

………………… 11 分 ……………………… 12 分

方法 2: ?p : x ? a 或 x ? 3a , ?q : x ? 2 或 x ? 3 ,由 ? p 是 ? q 的充分不必要条件, 有 ?0 ? a ? 2 ,得 1 ? a ? 2 . ? ?3a ? 3 17. 解: (1)设 ?an ?公差为d,数列 {bn} 的公比为 q ,由已知可得

?q ? 3 ? 3 ? d ? 12 ?d ? 3 , 又 q ? 0 ?? . ………… 4分 ? 2 q ? 3 q ? 3 ? 2 d ? ?
所以 an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n , bn ? 3n?1 .………… 6分 (2)由(1)知数列 ?an ?中, a1 ? 3 , an ? 3n ,? Sn ?
? 1 2 2 1 1 ? ? ( ? ), S n n(3 ? 3n) 3 n n ? 1 1 1 ? ? S1 S2 +
n(3 ? 3n) , ……………… 2

7分

………… 9分
1 1 ?( ? ) ] ………………10分 n n ?1

?Tn ?

1 1 1 1 2 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3 Sn 3

2 1 2n ? (1 ? )? …………………… 3 n ?1 3 (n ? 1)

12分

18. 解: (1) 3c sin B ? b cosC ? 2c ? a 由正弦定理得

3sin C sin B ? sin B cos C ? 2sin C ? sin A ? 2sin C ? sin( B ? C) …………………2分
所以 3 sin C sin B ? 2sin C ? sin C cos B ……………………………3分
在 ?ABC 中, 0 ? C ? ? , sin C ? 0

所以 3 sin B ? cos B ? 2 …………………………………………4分

-5-

2sin( B ? ) ? 2 即 sin( B ? ) ? 1 ………………………………5分 6 6 ? ? 2? B ? ? ,所以 B ? , …………………………6分 6 2 3 2? , 由余弦定理得 (2) a ? c ? 2 6, b ? 2 3 , B ? 3 2? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ? a 2 ? c 2 ? ac ? (a ? c)2 ? ac ………………………8 分 3

?

?

ac ? (a ? c)2 ? b2 ? 24 ?12 ? 12 ………………………10 分
S? 1 ac sin B ? 3 3 ………………………12 分 2

19.解(1)因铁栅长为 x 米,一堵砖墙长为 y 米,则顶部面积为 S ? xy 依题设, 40x ? 2 ? 45y ? 20xy ? 3200,………………………3 分 则y?
320 ? 4 x 320 ? 4 x (0 ? x ? 80) ………………………6 分 (0 ? x ? 80) ,故 f ( x) ? 2x ? 9 2x ? 9

(2) S ? xy ?

320 x ? 4 x 2 (0 ? x ? 80) ……………………7 分 2x ? 9
1 (t ? 9), t ? 9 2

令 t ? 2 x ? 9 ,则 x ? 则S ?

160(t ? 9) ? (t ? 9)2 169 ? 9 ? 178 ? (t ? ) ? 178 ? 2 169 ? 9 ? 100 ……………10 分 t t

当且仅当 t ? 39 ,即 x ? 15 时,等号成立………………………11 分 所以当铁栅的长是 15 米时,仓库总面积 S 达到最大,最大值是 100m2 …………12 分

20:

-6-

21.解:(1)因为 f ( x) ? ( x 2 ? x ? 1)e x ,
-7-

所以 f ?( x) ? (2 x ? 1)e x ? ( x 2 ? x ? 1)e x ? ( x 2 ? 3 x)e x , ………………2 分 所以曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 k ? f ?(1) ? 4e 所以所求切线方程为 y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 4ex ? y ? 3e ? 0
x 2 x 2 x (2) f ?( x) ? (2ax ? 1)e ? (ax ? x ? 1)e ? [ax ? (2a ? 1) x]e ,

又因为 f (1) ? e , ………………3 分 ………………4 分

1 2a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; ? a ? 0 ,当 x ? 0 或 x ? ? 2 a 2a ? 1 当0 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . ………………………………5 分 a 2a ? 1 2a ? 1 所以 f ( x) 的单调递减区间为 (??,0] , [? ,??) ; 单调递增区间为 [0,? ] …………6 分 a a 1 1 ②若 a ? ? , f ?( x) ? ? x 2 e x ? 0 ,所以 f ( x) 的单调递减区间为 (??,??) . …………7 分 2 2 2a ? 1 1 ③若 a ? ? ,当 x ? ? 或 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; 2 a 2a ? 1 当? ……………………8 分 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . a 2a ? 1 2a ? 1 所以 f ( x) 的单调递减区间为 (??,? ] , [0,??) ; 单调递增区间为 [? ,0] …………9 分 a a

①若 ?

(3)由(2)知, f ( x) ? (? x 2 ? x ? 1)e x 在 (??,?1] 上单调递减, 在 [?1,0] 单调递增, 在 [0,??) 上单调递减,
3 所以 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值 f (?1) ? ? ,在 x ? 0 处取得极大值 f (0) ? ?1 . …………10 分 e 1 1 由 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? m ,得 g ?( x) ? x 2 ? x . 3 2

当 x ? ?1 或 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ;当 ? 1 ? x ? 0 时, g ?( x) ? 0 . …………11 分 所以 g ( x) 在 (??,?1] 上单调递增,在 [?1,0] 单调递减,在 [0,??) 上单调递增. 故 g ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值 g (?1) ?
1 ? m ,在 x ? 0 处取得极小值 g (0) ? m . 6

…………12 分

因为函数 f ( x) 与函数 g ( x) 的图象有 3 个不同的交点,
? 3 1 ? f (?1) ? g (?1) 3 1 ?? ? ? m 所以 ? ,即 ? e 6 . 所以 ? ? ? m ? ?1 e 6 ? f (0) ? g (0) ? ?? 1 ? m

…………14 分

-8-


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