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§8.4.3两条直线的位置关系


§8.4.2两条直线的位置关系 垂直的条件

?对直线一般式 方程组 A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0

前提 是什么?

A1 B1 (1) 当 ? 时,方程组有唯一解,两条直线相交. A2 B2 A1 B1 C1 (2) 当 = ? 时,方程组无解, 两条直线平行.

A2 B2 C2 A1 B1 C1 (3) 当 = = 时,方程组有无数解,两条直线重合. A2 B2 C2

?对直线斜截式 如果 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则 l1 与 l2 相交
1 1 2 2 1 1 2

? k ≠k l 与 l 平行 ? k =k 且 b ≠b l 与 l 重合 ? k =k 且 b =b
2

1

2

1

2

1

2

?特殊情形

如果 l1与l2的斜率都不存在, 则l1与l2 平行或重合.

y
l1 已知两条直线 l1:y=k1 x+b1;l2:y=k2 x+b2. l2 C 若 l1 ⊥ l2 , 90°+α α β 直线 l1 的倾斜角为α, x A O B 直线 l2 的倾斜角为90°+α, AC BC 则 k1 ? tan ? ? , , k2 ? tan(90? ? ? ) ? ? tan? ? ? BC AC ?k1 ? k2 ? ?1.

l1? l2?k1 k2= –1. (k1 k2都存在) l1? l2?k1 、k2一个不存在且另一个为 0.

l1? l2?k1 k2= –1. (k1 k2都存在)

l1? l2?k1 、k2一个不存在且另一个为 0.
已知两条直线 l1:A1 x+B1 y+C1=0, l2:A2 x+B2 y+C2=0.

A1 A2 当k1 k2都存在时, k1 ? ? , k2 ? ? , B1 B2 A1 A2 由k1 k2= –1得, ? ) ? (? ) ? ?1, A1 A2 ? B1B2 ? 0. ( B1 B2 不难知道 A1 A2 ? B1B2 ? 0. 当k1 k2有一个不存在时,

l1? l2?A1 A2+ B1 B2=0.

?对直线斜截式 l1:y=k1 x+b1;l2:y=k2 x+b2. l1? l2?k1 k2= –1. (k1 k2都存在) ?特殊情形

你有几种 方法判断 两直线垂 直?

l1? l2?k1 、k2一个不存在且另一个为 0. ?对直线一般式 l1:A1 x+B1 y+C1=0;l2:A2 x+B2 y+C2=0. l1? l2?A1 A2+ B1 B2=0.

判断下列各对直线是否垂直: 1 (1)l1:y=–2x+1,l2:y= x–1; 2 1 (2)l1:y=3x+1,l2:y= x–4. 3 1 解: (1)∵ k1= –2, k2= , 则k1·2= –1,∴ l1? l2 . k 2 1 (2)∵ k1=3, k2= , 则k1·2=1≠–1, ∴l1 与 l2 不垂直. k 3

已知A(3, 1),B(?11) C (3 5) D (5 9) ? ,, ,, ,,试判断 直线AB与CD的位置关系.

已知l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0, l2 :8x ? 6 y ? 7, 判断l1、l2的位置关系.
解: ? A1 ? 3, B1 ? 4, A2 ? 8, B2 ? ?6,

A1 A2 ? B1B 2 ? 3? 8 ? 4 ? (?6) ? 0,
? AB ? CD.

已知l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0, l2 : 2 x ? y ? 7 ? 0, 判断l1、l2的位置关系.

已知直线(a ? 2) x ? (1 ? a) y ? 3 ? 0与(a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,求a的值.

解:? A1 ? a ? 2, B1 ? 1 ? a, A2 ? a ?1, B2 ? 2a ? 3,

又,两直线互相垂直

? A1 A2 ? B1B 2 ? (a ? 2)(a ?1) ? (1 ? a) ? (2a ? 3) ? 0
解之, a ? ?1.

已知直线(a ? 2) x ? (a ? 3) y ? 3 ? 0与6 x ? (2a ? 1) y ? 5 ? 0 互相垂直,求a的值

求过点A? 2, ?3? 且与直线3x ? 2 y ?1 ? 0垂直的直线的方程.
3 解:?已知直线3x ? 2 y ? 1 ? 0的斜率k1 ? , 2 2 1 ?所求直线的斜率k2 ? ? ? ? , 3 k1 2 由点斜式得 y ? 3 ? ? ( x ? 2), 即2 x ? 3 y ? 13 ? 0. 3

求过两直线x ? 2 y ? 4 ? 0和x ? y ? 2 ? 0的交点,且和直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0垂直的直线方程.

三角形的一个顶点是A ? 2,3?,AC边上的高所在的直线 方程为x ? 2 y ? 3 ? 0,求边AC所在的直线方程. 1 解:?高所在的直线x ? 2 y ? 3 ? 0的斜率k1 ? , 2 1 ? 边AC所在直线的斜率k2 ? ? ? ?2, k1

由点斜式得 y ? 3 ? ?2( x ? 2), 即2 x ? y ? 7 ? 0.

点M (1, 2)在直线l上的射影是P(?1, 4),求直线l的方程.

?对直线斜截式 l1:y=k1 x+b1;l2:y=k2 x+b2. l1? l2?k1 k2= –1. (k1 k2都存在) ?特殊情形 l1? l2?k1 、k2一个不存在且另一个为 0. ?对直线一般式 l1:A1 x+B1 y+C1=0;l2:A2 x+B2 y+C2=0. l1? l2?A1 A2+ B1 B2=0.

?今天你学了哪些知识?
?哪些你认为值得注意?


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两条直线的位置关系 4

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