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2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(二试)(word版)

时间:2017-05-02


2016 年全国高中数学联合竞赛
加试
2 2 一、 (本题满分 40 分) 设实数 a1 , a2 , … , a 2016 满足 9ai ? 11ai2 求 (a1 ? a2 )。 )(a2 ? a3 )… ,2, … ,2015 ?1 (i ? 1 2 (a2015 ? a2016 )(a2016 ? a12 ) 的最大值。 2 2 2 解:令 P ?

(a1 ? a2 )(a2 ? a3 ) … (a2015 ? a2016 )(a2016 ? a12 ) ,

由已知得,对 i ? 1,2, …,2015,均有 ai ? ai ?1 ?
2

11 2 ai ?1 ? ai2?1 ? 0 。 9

2 若 a2016 ? a1 ? 0 ,则 P ? 0 。……………10 分 2 以下考虑 a2016 ? a1 ? 0 的情况。约定 a2017 ? a1 。由平均不等式得
1 2016 2016 1 2016 1 2016 2 ( a ? a ) ? ( a ? ai2?1 ) ? i i?1 2016 ? ? i 2016 i ?1 i ?1 i ?1

P

?

?

2016 1 2016 1 2016 ( ? ai ? ? ai2 ) ? ? ai (1 ? ai ) ………………20 分 2016 i ?1 2016 i ?1 i ?1

?

1 2016 ai ? (1 ? ai ) 2 1 1 1 [ ] ? ? 2016? ? ? 2016 i ?1 2 2016 4 4
1 4
2016

所以 P ?

。………………30 分

当 a1 ? a2 ? … ? a 2016 ?

1 ) ,此时 时 , 上 述 不 等 式 等 号 成 立 , 且 有 9ai ? 11ai2 ,2, … ,2015 ?1 (i ? 1 2

P?

1 4
2016



综上所述,所求最大值为

1 4
2016

。………………40 分

二、 (本题满分 40 分)如图所示,在 ?ABC 中,X,Y 是直线 BC 上两点(X,B,C,Y 顺次排列) ,使得 BX ? AC ? CY ? AB 。 设 ?ACX , ?ABY 的外心分别为 O1 , O2 ,直线 O1O2 与 AB,AC 分别交于点 U,V。 证明: ?AUV 是等腰三角形。

证法一:作 ?BAC 的内角平分线交 BC 于点 P,设三角形 ACX 和 ABY 的外接圆分别为 ?1 和 ? 2 。由内角平

BP AB BX AB ? ? 。由条件可得 。从而 CY AC CP AC PX BX ? BP AB BP ? ? ? PY CY ? CP AC CP 即 CP ? PX ? BP ? PY 。…………20 分
分线的性质知, 故 P 对圆 ?1 和 ? 2 的幂相等,所以 P 在 ?1 和 ? 2 的根轴上。…………30 分 于是 AP ? O1O2 ,这表明点 U,V 关于直线 AP 对称,从而三角形 AUV 是等腰三角形。…………40 分

证法二:设 ?ABC 的外心为 O,连接 OO1 , OO2 。过点 O, O1 , O2 ,分别作直线 BC 的垂线,垂足分别为

D, D1 , D2 ,作于点 K。
我们证明。在直角三角形 OKO1 中,

OO1 ?

O1 K sin ?O1OK

由外心性质, OO1 ? AC 。又 OD ? BC ,故 ?O1OK ? ?ACB 。 而 D, D1 分别是 BC,CX 的中点,所以 DD1 ? CD1 ? CD ? 因此

1 1 1 CX ? BC ? BX 。 2 2 2

1 BX O1 K DD1 BX OO1 ? ? ? 2 ?R AB sin ?O1OK sin ?ACB AB 2R CY 这里 R 是 ?ABC 的外接圆半径。同理 OO 2 ? R 。…………10 分 AC BX CY ? 由已知条件可得 ,故 OO1 ? OO2 。…………20 分 AB AC

由于 O1O2 ? AC ,所以 ?AVU ? 90° ? ?OO1O2 。同理 ?AUV ? 90° ? ?OO2 O1 。…………30 分

又因为 OO1 ? OO2 ,故 ?OO1O2 ? ?OO2 O1 ,从而 ?AUV ? ?AVU 。这样 AU ? AV ,即 ?AUV 是 等腰三角形。………………40 分 三、 (本题满分 50 分)给定空间中 10 个点,其中任意四点不在一个平面上,将某些点之间用线段相连, 若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形,试确定所连线段数目的最大值。 解:以这 10 个点为顶点,所连线段为边。得到一个 10 阶简单图 G。我们证明 G 的边数不超过 15. 设 G 的顶点为 v1 , v2 , … , v10 ,共有 k 条边,用 deg(vi ) 表示顶点 v i 的度。若 deg(vi ) ? 3 对 i ? 1,2, …,10 都成立,则

k?

1 10 1 deg(vi ) ? ? 10 ? 3 ? 15 ? 2 i ?1 2

假设存在 v i 满足 deg(vi ) ? 4 。不妨设 deg(v1 ) ? n ? 4 ,且 v1 与 v 2 , … , vn?1 均相邻。于是 v 2 , … , vn?1 之间 没有边,否则就形成三角形,所以, v1 , v2 , … , vn?1 之间恰有 n 条边。…………10 分 对每个 j (n ? 2 ? j ? 10) , (否则设 v j 与 vs , vt (2 ? s ? t ? n ? 1) 相 v j 至多与 v 2 , … , vn?1 中的一个顶点相邻 邻,则 v1 , vs , v j , vt 就对应了一个空间四边形的四个顶点,这与题设条件矛盾。 )从而 v 2 , … , vn?1 与 v n ? 2 , …

, v10 之间的边数至多 10 ? (n ? 1) ? 9 ? n 条。…………20 分
在 v n ? 2 , … , v10 这 9 ? n 个顶点之间,由于没有三角形,由托兰定理,至多 [

(9 ? n) 2 ] 条边,因此 G 的边数 4

k ? n ? (9 ? n) ? [

(9 ? n) 2 (9 ? n) 2 25 ] ? 9 ?[ ] ? 9 ? [ ] ? 15 …………30 分 4 4 4

如图给出的图共有 15 条边,且满足要求。 综上所述,所求边数的最大值为 15.………50 分

四、 (本题满分 50 分) 设 p 与 p ? 2 均是素数, p ? 3 。 数列 {an } 的定义为 a1 ? 2 ,a n ? a n ?1 ? ?

? pan ?1 ? ?, ? n ?

n ? 2,3, ,…。这里 ?x ? 表示不小于实数 x 的最小整数。
证明:对 n ? 3,4, … , p ? 1 均有 n | pan?1 ? 1 成立。 证明:首先注意, {an } 是整数数列。

对 n 用数学归纳法。当 n ? 3 时,由条件知 a 2 ? 2 ? p ,故 pa2 ? 1 ? ( p ? 1) 2 。因 p 与 p ? 2 均是素数, 且 p ? 3 ,故必须 3 | p ? 1 。因此 3 | pa2 ? 1 ,即 n ? 3 时结论成立。 对 3 ? n ? p ? 1,设对 k ? 3, … , n ? 1 成立 k | pak ?1 ? 1 ,此时 ?

? pak ?1 ? pak ?1 ? 1 , ?? k ? k ?

故 pak ?1 ? 1 ? p(ak ?2 ? ? k ?2 ?) ? 1 ? p(ak ?2 ? ? k ?1 ?

? pa

?

pak ?2 ? 1 ) ?1 k ?1

?

( pak ?2 ? 1)( p ? k ? 1) …………10 分 k ?1

故对 3 ? n ? p ? 1,有

p ? n ?1 p ? n ?1 p ? n ? 2 ( pa n ? 2 ? 1) ? ? ( pa n ?3 ? 1) n ?1 n ?1 n?2 p ? n ?1 p ? n ? 2 p?3 ? ? …? ( pa 2 ? 1) …………20 分 =… ? n ?1 n?2 3 pa n ?1 ? 1 ?
因此 pan ?1 ? 1 ?

2n( p ? 1) n Cp ?n ( p ? n)( p ? 2)

n 由此知(注意 C p ? n 是整数) n | ( p ? n)( p ? 2)( pan?1 ? 1) ①…………40 分

因 n ? p , p 是素数,故 (n, n ? p) ? (n, p) ? 1 ,又 p ? 2 是大于 n 的素数,故 (n, p ? 2) ? 1 ,从而 n 与

( p ? n)( p ? 2) 互素,故由①知 n | pan?1 ? 1 ,则数学归纳法知,本题得证。………50 分


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