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数列高考题汇编大题


高考数学经典试题分类汇编——数列
1.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知点(1, )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项 和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n ?1 = Sn + Sn

?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1 3

1000 1 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? 2009 bn bn?1
x

.

1 ?1? 【解析】 (1) Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?

2 1 ? c , a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? , ? ? ? ? 9 3 2 a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? . ? ? ? ? 27 4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27

a1 ? f ?1? ? c ?

a 1 2?1? 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?
Q Sn ? Sn?1 ?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N*



?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1? ? n ?1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?
1? ?? 3? 1 1 ?1 ?1 1 ? 1 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?K ? ? 2 3 ?5 ?2 5 ? 7 n 1 ? ? 2 ?2 n?
1

1? ? ?1 ? 2?

?1 ? 2 1 ?

1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009

2.(2009 全国卷Ⅰ理) (本小题满分 12 分) ............. (注意:在试题卷上作答无效) 在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? (I)设 bn ?

1 n

n ?1 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式 n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn 分析: (I)由已知有

an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 1 * (n? N ) n ?1 2

利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn ? 2 ? (II)由(I)知 an ? 2n ?

n , 2n ?1

? Sn = ? (2k ?
k ?1 n

n

n n k k ) ? ? (2k ) ? ? k ?1 k ?1 2 k ?1 k ?1 2 n



? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ?
k ?1

k 是一个典型的错位相减法模型, k ?1 k ?1 2

易得

?2
k ?1

n

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? Sn = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 n ?1 2 2

评析:09 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求 前 n 项和, 一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。 具有让考生和 一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人 在有意识降低难度和求变的良苦用心。 3.(2009 浙江文) (本题满分 14 分)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n , n ? N ,
*

其中 k 是常数. (I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N , am , a2m , a4m 成等比数列,求 k 的值.
*

解析: (Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? S1 ? k ? 1 ,

n ? 2, an ? S n ? S n?1 ? kn2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1( ? )
经验, n ? 1, ( ? )式成立,

? an ? 2kn ? k ? 1
2

(Ⅱ)? am , a2m , a4m 成等比数列,? a2m ? am .a4m ,
2

即 (4km ? k ? 1) 2 ? (2km ? k ? 1)(8km ? k ? 1) ,整理得: m k(k ? 1) ? 0 , 对任意的 m ? N ? 成立,

? k ? 0或k ? 1

4.(2009 北京文) (本小题共 13 分) 设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q( n ? N? , P ? 0) . 数列 {bn } 定义如下:对于正整 数 m, bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p ?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围; 如果不存在,请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. (Ⅰ)由题意,得 an ? ∴

20 1 1 1 1 n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? . 3 2 3 2 3

.

1 1 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 . 2 3

(Ⅱ)由题意,得 an ? 2n ? 1, 对于正整数,由 an ? m ,得 n ?

m ?1 . 2

根据 bm 的定义可知
* * 当 m ? 2k ? 1 时,bm ? k k ? N ;当 m ? 2 k 时,bm ? k ? 1 k ? N .

?

?

?

?

∴ b1 ? b2 ??? b2m ? ?b1 ? b3 ? ?? b2m?1 ? ? ?b2 ? b4 ? ?? b2m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1? ? ? ?

?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m 2 ? 2m . 2 2
m?q . p

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?
?

∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3

3m ? 1 ?

m?q 即 ? 3m ? 2 , ?2 p? q? ? p? 1 m?? p q 3 ? ? p

对任意的正整数 m 都成立.

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

p?q 2p ? q (或 m ? ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? ? q ,解得 ? ? q ? ? . 3 3 3 3 3

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ; p 和 q 的取值范围分别是 p ? 5.(2009 北京理) (本小题共 13 分) 已知数集 A ? ?a1 , a2 ,?an ??1 ? a1 ? a2 ? ?an , n ? 2? 具有性质 P ;对任意的

1 2 1 ,? ? q ? ? . 3 3 3

.

i, j ?1 ? i ? j ? n? , ai a j 与

aj ai

两数中至少有一个属于 A .

(Ⅰ)分别判断数集 ?1,3, 4? 与 ?1, 2,3,6? 是否具有性质 P ,并说明理由; (Ⅱ)证明: a1 ? 1 ,且

a1 ? a2 ? ? ? an ? an ; ? ? a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1

(Ⅲ)证明:当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题. (Ⅰ)由于 3 ? 4 与

4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. 3 6 6 1 2 3 6 由于 1? 2,1 ? 3,1 ? 6, 2 ? 3, , , , , , 都属于数集 ?1, 2,3,6? , 2 3 1 2 3 6

∴该数集具有性质 P. (Ⅱ)∵ A ? ?a1 , a2 ,?an ? 具有性质 P,∴ an an 与

an 中至少有一个属于 A, an
.

由于 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,∴ an an ? an ,故 an an ? A . 从而 1 ?

an ? A ,∴ a1 ? 1 . an

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an , ∴ ak an ? an ,故 ak an ? A? k ? 2,3,?, n? .

4

由 A 具有性质 P 可知

an ? A ? k ? 1, 2,3,?, n ? . ak

又∵

an a a a ? n ??? n ? n , an an ?1 a2 a1



an a a a ? 1, n ? a2 ,? n ? an?1 , n ? an , an an?1 a2 a1 an a a a ? n ? ? ? n ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an , an an?1 a2 a1

从而



a1 ? a2 ? ? ? an ? an . ? ? a1?1 ? a2 1 ? ? ? an 1

.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有

a5 a 2 ? a2 , 5 ? a3 ,即 a5 ? a2a4 ? a3 , a4 a3

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ,∴ a3a4 ? a2 a4 ? a5 ,∴ a3a4 ? A , 由 A 具有性质 P 可知

a4 ? A. a3

2 a2 a4 ? a3 ,得

a3 a4 a a a ? ? A ,且 1 ? 3 ? a2 ,∴ 4 ? 3 ? a2 , a2 a3 a2 a3 a2



a5 a4 a3 a2 ? ? ? ? a2 ,即 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是首项为 1,公比为 a 2 成等比数 a4 a3 a2 a1

列. 6.(2009 江苏卷) (本小题满分 14 分)
.k.s.5.

设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和,满足 a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)试求所有的正整数 m ,使得

am am ?1 为数列 ?an ? 中的项。 am ? 2

【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满 分 14 分。 (1)设公差为 d ,则 a2 为d
2 2 2 2 ? a5 ? a4 ? a3 ,由性质得 ?3d (a4 ? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,因

? 0 ,所以 a4 ? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5d ? 0 ,又由 S7 ? 7 得 7a1 ?
5

7?6 d ?7, 2

解得 a1 (2)

? ?5 ,d ? 2 ,
am am ?1 (2m ? 7)(2m ? 5) = ,设 2m ? 3 ? t , 2m ? 3 am ? 2
所以 t 为 8 的约数

(方法一) 则

am am ?1 (t ? 4)(t ? 2) 8 ? t ? ? 6, = t t am ? 2

(方法二)因为

am am?1 (am? 2 ? 4)(am? 2 ? 2) 8 为数列 ?an ? 中的项, ? ? am? 2 ? 6 ? am? 2 am? 2 am? 2



8 a m+2

为整数,又由(1)知: am?2 为奇数,所以 am?2 ? 2m ? 3 ? ?1,即m ? 1, 2

经检验,符合题意的正整数只有 m ? 2 。 7.(2009 江苏卷) (本题满分 10 分)

.

对于正整数 n ≥2,用 Tn 表示关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实数根的有序数组
2

( a, b) 的组数, 其中 a, b ??1,2,?, n?( a 和 b 可以相等) 对于随机选取的 a, b ??1,2,?, n? ;
( a 和 b 可以相等) ,记 Pn 为关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实数根的概率。
2

(1)求 Tn2 和 Pn2 ; (2)求证:对任意正整数 n ≥2,有 Pn ? 1 ?

1 . n

【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理, 考查探究能力。 满分 10 分。

6

.

8.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N
?

,点 (n , Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记 证明:对任意的 n ? N

bn ? 2 ( l o2g n ? a
?

1) ( N ? n?

)
.

,不等式

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · ·· n ·· ·· ? n ? 1 成立 b1 b2 bn
x

解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) , 均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数的图像 上 . 所 以 得

?

Sn ?

n

b ?

,r 当

n ?1



,

a1 ? S1 ? b ? r

,



n?2

时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 ,又因为{ an }为等比数列,所以

r ? ?1 ,公比为 b , an ? (b ?1)bn?1
(2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 则

bn ? 2(log2 an ?1) ? 2(log2 2n?1 ?1) ? 2n

bn ? 1 2n ? 1 b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b ? 1 b2 ? 1 ? · ·· n ·· ·· ? ? ? ? ,所以 1 bn 2n b1 b2 bn 2 4 6 2n

.

下面用数学归纳法证明不等式

b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 · ·· n ·· ·· ? ? ? ? ? n ? 1 成立. b1 b2 bn 2 4 6 2n

① 当 n ? 1 时,左边=

3 3 ,右边= 2 ,因为 ? 2 ,所以不等式成立. 2 2
7

② 假设当 n ? k 时不等式成立,即

b ? 1 3 5 7 2k ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 · ·· k ·· ·· ? ? ? ? ? k ? 1 成立. b1 b2 bk 2 4 6 2k

则当 n ? k ? 1 时,左边=

b ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 2k ? 1 2k ? 3 · ·· k ·· ·· ? ? ? ? ?? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6 2k 2k ? 2
4(k ? 1) 2 ? 4( k ? 1) ? 1 1 ? (k ? 1) ? 1 ? ? ( k ? 1) ? 1 4(k ? 1) 4(k ? 1)
.

? k ?1 ?

2k ? 3 (2k ? 3) 2 ? ? 2k ? 2 4(k ? 1)

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.

【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并运 用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 9.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N
?

,点 (n , Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

bn ?
?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 T n
x

解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图 像上.所以得 Sn ? bn ? r , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 , 又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ?1)b 则 Tn ?
n?1

所以 an ? (b ?1)b n?1

? 2n?1 ,

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2

8

1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 n ?1 1 23 n ?1 3 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并运 用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前 n 项和 T n . 10.(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 10 分)
.

已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项和 s n .

.

解析:本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力,利用方程的思想可求解。 解:设 ?an ? 的公差为 d ,则
.

?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0 ?
即?

?a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 ?a1 ? ?4d
?a1 ? ?8, ?a1 ? 8 或? ?d ? 2, ?d ? ?2

解得 ?

因此 Sn ? ?8n ? n ? n ?1? ? n ? n ? 9?,或Sn ? 8n ? n ? n ?1? ? ?n ? n ? 9? 11.( 2009 广 东 卷 理 ) (本小题满分 14 分)
.

已 知 曲 线 Cn : x2 ? 2nx ? y 2 ? 0(n ? 1, 2,?) . 从 点 P(? 1, 0 ) 曲 线 Cn 引 斜 率 为 向

kn (kn ? 0 )的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) .
(1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?? ? x2 n ?1 ? 解 :( 1 ) 设 直 线

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn

ln : y ? k n ( x ? 1) , 联 立 x 2 ? 2nx ? y 2 ? 0 得

2 2 2 2 2 2 (1 ? k n ) x 2 ? (2k n ? 2n) x ? k n ? 0 , 则 ? ? (2k n ? 2n) 2 ? 4(1 ? k n )k n ? 0 , ∴

9

kn ?

n 2n ? 1

(?

n 2n ? 1

舍去)

.

2 xn ?

2 kn n n 2n ? 1 n2 , 即 xn ? , ∴ y n ? k n ( xn ? 1) ? ? 2 2 n ?1 n ?1 1 ? k n (n ? 1)

n 1 ? xn n ?1 ? ? ( 2) 证 明 : ∵ n 1 ? xn 1? n ?1 1?

1 2n ? 1

.

x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2 n?1 ?

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 1 ? ????? ? ? ????? ? 2 4 2n 3 5 2n ? 1 2n ? 1

∴ x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2 n ?1 ?

1 ? xn 1 ? xn

由于

xn ? yn

1 ? xn 1 ,可令函数 f ( x) ? x ? 2 sin x ,则 f ' ( x) ? 1 ? 2 cos x , ? 2n ? 1 1 ? xn

' 令 f ( x) ? 0 , cos x ? 得

? ? 2 ' , 给定区间 (0, ) , 则有 f ( x) ? 0 , 则函数 f (x ) 在 (0, ) 上 4 4 2

单 调 递 减 , ∴ f ( x) ? f (0) ? 0 , 即 x ?

? 2 s i x 在 (0, ) 恒 成 立 , 又 n 4

0?

1 1 ? ? ? , 2n ? 1 3 4

则有

1 ? xn x 1 1 ,即 ? 2 sin ? 2 sin n . 2n ? 1 2n ? 1 1 ? xn yn
1 2 (an ? 3), n ? N ? . 4

.

12.(2009 安徽卷理) (本小题满分 13 分) 首项为正数的数列 ?an ? 满足 an ?1 ?

(I)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n ? 2, an 都是奇数; (II)若对一切 n ? N ? 都有 an?1 ? an ,求 a1 的取值范围. 解:本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运 算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分 13 分。 解: (I)已知 a1 是奇数,假设 ak ? 2m ? 1是奇数,其中 m 为正整数,

10

则由递推关系得 ak ?1 ?

ak 2 ? 3 ? m(m ? 1) ? 1 是奇数。 4

根据数学归纳法,对任何 n ? N ? , an 都是奇数。 (II) (方法一)由 an ?1 ? an ?

1 (an ? 1)(an ? 3) 知, an?1 ? an 当且仅当 an ? 1 或 an ? 3 。 4
1? 3 32 ? 3 ? 1 ;若 ak ? 3 ,则 ak ?1 ? ? 3. 4 4

另一方面,若 0 ? ak ? 1, 则 0 ? ak ?1 ?

根据数学归纳法, 0 ? a1 ? 1, ? 0 ? an ? 1, ?n ? N? ; a1 ? 3 ? an ? 3, ?n ? N? . 综合所述,对一切 n ? N ? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。 (方法二)由 a2 ?

a12 ? 3 ? a1 , 得 a12 ? 4a1 ? 3 ? 0, 于是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。 4

an?1 ? an ?

an 2 ? 3 an ?12 ? 3 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) ? ? , 4 4 4
an 2 ? 3 , 所以所有的 an 均大于 0,因此 an?1 ? an 与 an ? an?1 同号。 4

因为 a1 ? 0, an ?1 ?

根据数学归纳法, ?n ? N? , an?1 ? an 与 a2 ? a1 同号。 因此,对一切 n ? N ? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。 13.(2009 安徽卷文)(本小题满分 12 分) 已知数列{ } 的前 n 项和 }与{ }的通项公式; < ,数列{ }的前 n 项和

(Ⅰ)求数列{ (Ⅱ)设

,证明:当且仅当 n≥3 时,

.

( n ? 1) ? a1 【思路】由 a ? ? ? sn ? sn ?1 ( n ? 2)

可求出 an 和bn ,这是数列中求通项的常用方法之一,在

求出 an 和bn 后,进而得到 c n ,接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法。 【解析】(1)由于 a1 ? s1 ? 4 当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? (2n2 ? 2n) ? [2(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 4n ? am ? 4n(n ? N )
*

又当 x ? n 时 bn ? Tn ? Tn?1 ? (2 ? 6m ) ? (2 ? bm?1 ) ?2bn ? bn?1
11

1 1 ? 数列 ?bn ? 项与等比数列,其首项为 1,公比为 ? bn ? ( ) n ?1 2 2 1 16(n ? 1) 2 ? ( )( n ?1)?1 1 n ?1 Cn ?1 (n ? 1) 2 2 2 2 (2)由(1)知 C1 ? a1 ? bn ? 16n ? ( ) ? ? ? 1 2 Cn 2n 2 16n 2 ? ( ) n ?1 2
.

Cn?1 (n ? 1)2 由 ? 1得 ? 1即 n2 ? 2n ? 1 ? 0 ? n ? 1 ? 2 即 n ? 3 Cn 2n
又n ? 3时

(n ? 1)2 C ? 1 成立,即 n ?1 ? 1 由于 Cn ? 0 恒成立. 2 2n Cn

.

因此,当且仅当 n ? 3 时, Cn ?1 ? Cn 14.(2009 江西卷文) (本小题满分 12 分) 数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn . 3 3

(1) 求 Sn ;

S3n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n n? 2n? 2 n? ? sin 2 ? cos 解: (1) 由于 cos ,故 3 3 3
(2) bn ?

S3k ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? ? (a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ) ? (?
?

12 ? 22 4 2 ? 52 (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? ? ? (? ? (3k ) 2 )) 2 2 2

13 31 18k ? 5 k (9k ? 4) ? ?? ? ? , 2 2 2 2 k (4 ? 9k ) S3k ?1 ? S3k ? a3k ? , 2

S3k ?2 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ?

k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 ? ? ?k ? ? ? , 2 2 2 3 6



n 1 ? n? 3 ? 2 k ? ? 3 ? 6, ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) Sn ? ? , n ? 3k ? 1 6 ? ? n(3n ? 4) , n ? 3k ? 6 ?
S3 n 9n ? 4 ? , n n?4 2 ? 4n

(k ?N )
*

(2) bn ?

12

1 13 22 9n ? 4 Tn ? [ ? 2 ? ? ? ], 2 4 4 4n 1 22 9n ? 4 4Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ], 2 4 4
两式相减得

9 9 ? 1 9 9 9n ? 4 1 4 4 n ? 9n ? 4 ] ? 8 ? 1 ? 9n , 3Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ? n ] ? [13 ? 1 2 4 4 4 2 4n 22 n ?3 22 n ?1 1? 4 8 1 3n Tn ? ? ? . 故 3 3 ? 22 n ?3 22 n ?1
15.(2009 江西卷理) (本小题满分 14 分) 各项均为正数的数列 {an} ,a1 ? a, a2 ? b , 且对满足 m ? n ? p ? q 的正整数 m, n, p , q 都有

a p ? aq am ? an ? . (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )
(1)当 a ?

1 4 , b ? 时,求通项 an ; 2 5

.

(2)证明:对任意 a ,存在与 a 有关的常数 ? ,使得对于每个正整数 n ,都有 解: (1)由

1

?

? an ? ?.

a p ? aq am ? an 得 ? (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )

1 4 a1 ? an a2 ? an?1 ? . 将 a1 ? , a2 ? 代入化简得 2 5 (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a2 )(1 ? an?1 )

.

an ?

2an ?1 ? 1 . an ?1 ? 2

所以

1 ? an 1 1 ? an ?1 ? ? , 1 ? an 3 1 ? an ?1

.

故数列 {

1 ? an } 为等比数列,从而 1 ? an

1 ? an 1 3n ? 1 ? n , 即 an ? n . 3 ?1 1 ? an 3
3n ? 1 可验证, an ? n 满足题设条件. 3 ?1

13

(2)

由 题 设

am ? an 的 值 仅 与 m ? n 有 关 , 记 为 bm?n , 则 (1 ? am )(1 ? an )

bn?1 ?

a1 ? an a ? an ? . (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a)(1 ? an )

.

考察函数 f ( x) ?

a?x ( x ? 0) ,则在定义域上有 (1 ? a)(1 ? x)

.

? 1 a ?1 ?1 ? a , ? ? 1 f ( x) ? g (a) ? ? , a ?1 ? 2 ? a ?1 ? a , 0 ? a ? 1 ?
故对 n ? N , bn ?1 ? g (a) 恒成立.
*
.

又 b2 n ?

2an ? g (a ) , (1 ? an )2
1 ,解上式得 2

注意到 0 ? g ( a ) ?

1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a) 1 ? g ( a) ? 1 ? 2 g ( a) g (a) ? ? an ? , g (a) g (a) 1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a)
取? ?

1 ? g (a) ? 1 ? 2 g (a) ,即有 g (a)

1

?

? an ? ?. .

.

16.(2009 天津卷文) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0,设 S n ? a1 ? a2 q ? ? ? an q n?1

Tn ? a1 ? a2 q ? ? ? (?1) n?1 an q n?1 , q ? 0, n ? N *
(Ⅰ)若 q ? 1, a1 ? 1, S 3 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a1 ? d , 且S1 , S 2 , S3 成等比数列,求 q 的值。 (Ⅲ)若 q ? ?1, 证明( ? q)S 2 n ? (1 ? q)T2 n ? 1 【答案】 (1) an ? 4n ? 3 (2) q ? ?2 (3)略 【解析】 (1)解:由题设, S3 ? a1 ? (a1 ? d )q ? (a1 ? 2d )q 2 , 将q ? 1, a1 ? 1, S3 ? 15
14

2dq(1 ? q 2n ) ,n? N* 2 1? q

代入解得 d ? 4 ,所以 an ? 4n ? 3 n ? N * (2)解:当 a1 ? d , S1 ? d , S 2 ? d ? 2dq, S3 ? d ? 2dq ? 3dq2 ,? S1 , S 2 , S3 成等比数列,
2 所以 S 2 ? S1 S 3 ,即 d ? 2dq) ? d(d ? 2dq ? 3dq2 ) ,注意到 d ? 0 ,整理得 q ? ?2 (

2

(3)证明:由题设,可得 bn ? q n?1 ,则

S 2n ? a1 ? a2 q ? a3 q 2 ? ?a2n q 2n?1 T2n ? a1 ? a2 q ? a3 q 2 ? ? ? a2n q 2n?1
①-②得,

① ②

S 2n ? T2n ? 2(a2 q ? a4 q 3 ? ? ? a2n q 2n?1 )
①+②得,

S 2n ? T2n ? 2(a1q ? a3 q 2 ? ? ? a2n?1q 2n?2 ) ③
③式两边同乘以 q,得 q(S 2n ? T2n ) ? 2(a1q ? a3 q 2 ? ? ? a2n?1q 2n?2 ) 所以 (1 ? q) S 2 n ? (1 ? q)T2 n ? 2d (q ? q 3 ? ? ? q 2 n?1 ) ?

2dq(1 ? q 2n ) 1? q2

(3)证明: c1 ? c 2 ? (a k1 ? al1 )b1 ? (a k 21 ? al2 )b2 ? ( a k n ? aln )bn = (k1 ? l1 )db ? (k 2 ? l2 )db q ? ? ? (k n ? ln )db q n?1 1 1 1 因为 d ? 0, b1 ? 0 ,所以

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n?1 db1
若 k n ? l n ,取 i=n, 若 k n ? l n ,取 i 满足 ki ? li ,且 k j ? l j , i ?1 ? j ? n 由(1) (2)及题设知, 1 ? i ? n ,且

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n?1 db1

.

① 当 ki ? li 时, k i ? li ? ?1,由 q ? n , ki ? li ? q ? 1, i ? 1,2?, i ? 1
i ?2 i ?2 即 k1 ? l1 ? q ? 1 , (k 2 ? l 2 )q ? q(q ? 1),? (ki ?1 ? li ?1 )q ? q(q ? 1)

15





c1 ? c2 1 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? ? ? (q ? 1)q i ?2 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? q i ?1 ? ?1 db1 1? q
因此 c1 ? c2 ? 0 ② 当 ki ? li 时,同理可得 综上, c1 ? c2 【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式,等比数列通项公式与前 n 项和 等基本知识,考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。 17.(2009 湖北卷理)(本小题满分 13 分) (注意:在试题卷上作答无效) .........
n ?1 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 (n 为正整数) 。

c1 ? c 2 ? ?1, 因此 c1 ? c2 ? 0 db1

.

1 2

(Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ? 明。 19.解析: (I)在 S n ? ? an ? ( )

n ?1 5n an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn 试比较 Tn 与 的大小,并予以证 2n ? 1 n 1 2
n ?1

? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ?1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ?
n?2

1 2

当 n ? 2 时, S n ?1 ? ? an ?1 ? ( )

1 2

1 ? 2, an ? S n ? S n ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 , ? 2

1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 . 2

?bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 .
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?
n

.

?

n . 2n

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? K ? ( n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? 4 ? ( ) 4 ? K ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? K ? ( ) ? ( n ? 1)( ) 2 2 2 2 2
(II)由(I)得 cn ?

16

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2

5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ? 1) Tn ? ? 3? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1)
于是确定 Tn与

5n n 的大小关系等价于比较 2 与2n ? 1 的大小 2n ? 1

由 2 ? 2 ?1 ? 1;22 ? 2 ? 2 ? 1;23 ? 2 ? 3 ? 1;24 ? 2 ? 4 ? 1;25 ? 2 ? 5;K

2 可猜想当 n ? 3时, ? 2n ? 1. 证明如下:
n

证法 1: (1)当 n=3 时,由上验算显示成立。 (2) 假设 n ? k ? 1 时 2k ?1 ? 2g k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ? (2k ?1) ? 2(k ? 1) ? 1 2 所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立 综合(1) (2)可知 ,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 ? 2n ? 1.
n

证法 2:当 n ? 3 时
0 1 2 n n 0 1 n n 2n ? (1 ?1)n ? Cn ? Cn ? Cn ? K ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ?1

综上所述,当 n ? 1, 2时 Tn ?

5n 5n ,当 n ? 3 时 Tn ? 2n ? 1 2n ? 1

18.(2009 四川卷文) (本小题满分 14 分) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 an ? 5Sn ? 1 成 立 , 记

bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找 出一个正整数 k ;若不存在,请说明理由; (III) cn ? b2n ? b n1 (n ? N * ) , 记 设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 求证: 对任意正整数 n 都 2 ? 有 Tn ?

3 ; 2

【解析】 (I)当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又? an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1
17

1 4

? an?1 ? an ? 5an?1 ,即

an?1 1 ?? an 4

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4 1 4 ? (? ) n 1 n 4 (n ? N * ) ∴ an ? ( ? ) , bn ? …………………………………3 分 1 4 1 ? (? ) n 4
∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? (II)不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。

1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? 证明:由(I)知 bn ? 1 (?4) n ?1 1 ? (? ) n 4

? b2k ?1 ? b2 k ? 8 ?

5 5 20 15 ?16k ? 40 ? 8? k ? k ? 8? k ? 8. (?4)2 k ?1 ? 1 (?4)2 k ? 1 16 ? 1 16 ? 4 (16 ?1)(16k ? 4) 5 ?
?

∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?1 ? b2m ) ? 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 ? 8(m ?1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ∴对于一切的正整数 n,都有 Rn ? 4k ∴不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。 (III)由 bn ? 4 ? …………………………………8 分
?

5 得 (?4) n ? 1

cn ? b2 n?1 ? b2 n ?
又 b1 ? 3, b2 ?

5 5 15 ?16n 15 ?16n 15 ?16n 15 ? 2n?1 ? ? ? ? 42n ? 1 4 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4) (16n ) 2 ? 3 ?16n ? 4 (16n ) 2 16n

13 4 ,? c2 ? , 3 3 3 当 n ? 1 时, T1 ? , 2 当 n ? 2 时,

18

1 1 [1 ? ( ) n ? 2 ] 2 4 1 1 1 4 16 Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 25 ? 16 1 3 16 16 16 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? 1 48 2 3 1? 16
…………………………………14 分 19.(2009 全国卷Ⅱ理) (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 解: I) a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 , a1 ? 2 ? a1 ? 2 ( 由 有 a 4 , 由 Sn?1 ? 4an ? 2 ,. ..①

a2 ? 31 ? 2? 5? b1 a? 2a1 3 a , ? 2 ?

则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 ...② ..

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又?bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

an 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 2 4 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1 ) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 2 2 4 4 4

? 数列 {

评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找 bn与bn?1的关系即可 . 第(II)问中由(I)易得 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,这个递推式明显是一个构造新数列的模 型: an?1 ? pan ? q ( p, q为常数),主要的处理手段是两边除以 q
n
n ?1



总体来说,09 年高考理科数学全国 I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新 数列(全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法) ,一改往年的将数列结合不等式 放缩法问题作为押轴题的命题模式。 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、 基本方法 基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 20.(2009 湖南卷文) (本小题满分 13 分) 对于数列 {un } ,若存在常数 M>0,对任意的 n ? N ,恒有
*

19

un?1 ? un ? un ? un?1 ? ?? u2 ? u1 ? M ,
则称数列 {un } 为 B ? 数列. (Ⅰ)首项为 1,公比为 ?

1 的等比数列是否为 B-数列?请说明理由; 2

(Ⅱ)设 Sn 是数列 {xn } 的前 n 项和.给出下列两组判断: A 组:①数列 {xn } 是 B-数列, B 组:③数列 {Sn } 是 B-数列, ②数列 {xn } 不是 B-数列; ④数列 {Sn } 不是 B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假,并证明你的结论;
2 (Ⅲ)若数列 {an } 是 B-数列,证明:数列 {an } 也是 B-数列。

解: (Ⅰ)设满足题设的等比数列为 {an } ,则 an ? ( ? )

1 2

n ?1

.于是

1 1 3 1 an ? an?1 ? (? )n?1 ? (? )n?2 ? ? ( ) n?2 , n ? 2. 2 2 2 2

| an?1 ? an | ? | an ? an?1 | ??? | a2 ? a1 |
=

1 ? 3 ? 1 1 2 1 ? ? ( n ? ?1 ? ? ) ? ? ? )-1 ? = 3 ? ?1 ? )? ? 3. ( ( n 2 ? 2 ? 2 2 2 ? ?
1 的等比数列是 B-数列 2
.

所以首项为 1,公比为 ?

(Ⅱ)命题 1:若数列 {xn } 是 B-数列,则数列 {Sn } 是 B-数列.此命题为假命题. 事实上设 x n =1, n ? N ,易知数列 {xn } 是 B-数列,但 Sn =n,
*

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ??? | S2 ? S1 |? n .
由 n 的任意性知,数列 {Sn } 不是 B-数列。 命题 2:若数列 {Sn } 是 B-数列,则数列 {xn } 不是 B-数列。此命题为真命题。 事实上,因为数列 {Sn } 是 B-数列,所以存在正数 M,对任意的 n ? N ,有
*

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ??? | S2 ? S1 |? M ,
即 | xn?1 | ? | xn | ??? | x2 |? M .于是 xn?1 ? xn ? xn ? xn?1 ??? x2 ? x1
20

? xn?1 ? 2 xn ? 2 xn?1 ??? 2 x2 ? x1 ? 2M ? x1 ,
所以数列 {xn } 是 B-数列。 (注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法) (Ⅲ)若数列 ?an ? 是 B-数列,则存在正数 M,对任意的 n ? N ? , 有

an?1 ? an ? an? an1 ??? ?

a ? 2

1

a ?

.M

因为 an ? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ? ?? a2 ? a1 ? a1

? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ??? a2 ? a1 ? a1 ? M ? a1 .
2 2 记 K ? M ? a1 ,则有 an ?1 ? an ? (an ?1 ? an )(an ?1 ? an )

? ( an?1 ? an ) an?1 ? an ? 2K an?1 ? an .
2 2 2 2 2 2 因此 an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? ... ? a2 ? a1 ? 2 KM .
2 故数列 an 是 B-数列.

? ?

21.(2009 辽宁卷文) (本小题满分 10 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 s n 解: (Ⅰ)依题意有

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 )
由于 a1 ? 0 ,故

2q 2 ? q ? 0
1 2 1 2 ( (Ⅱ)由已知可得 a1 ? a1 ? ) ? 3 2
又 q ? 0 ,从而 q ? - 故 a1 ? 4 5分

21

1 n (? ? ) 41( ) 8 1 n 2 从而 S n ? ? (? ? ) 1( ) 1 3 2 1? ? ) ( 2
22.(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分)

10 分

1a 已知数列 ?an } 满足, a1= ’ 2 ? 2, an+2=

an ? an ?1 ,n? N*. 2

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列;
(Ⅱ)求 ?an } 的通项公式。 (1)证 b1 ? a2 ? a1 ? 1, 当 n ? 2 时, bn ? an ?1 ? an ? 所以 ?bn ? 是以 1 为首项, ?

an ?1 ? an 1 1 ? an ? ? (an ? an ?1 ) ? ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 (2)解由(1)知 bn ? an ?1 ? an ? (? ) , 2
当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 1 ? (? ) ? ? ? (? )

1 2

1 2

n? 2

1 1 ? (? ) n?1 2 1 5 2 1 2 ? 1 ? [1 ? (? ) n? 2 ] ? ? (? ) n?1 , ? 1? 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 当 n ? 1 时, ? (? ) ? 1 ? a1 。 3 3 2 5 2 1 n ?1 * 所以 an ? ? ( ? ) ( n ? N ) 。 3 3 2
23.(2009 陕西卷理)(本小题满分 12 分) 已知数列 ?xn } 满足, x1=

1 1 xn+1= , n ? N*. 2’ 1 ? xn

? ? ? 猜想数列 {xn } 的单调性,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明: | xn ?1 -xn|≤ ( )

1 2 6 5

n ?1



22

证(1)由 x1 ?

1 1 2 5 13 及xn+1 ? 得x2 ? ? x4 ? ,x4 ? 2 1 ? xn 3 8 21

由 x2 ? x4 ? x6 猜想:数列 ? x2n ? 是递减数列 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,已证命题成立 易知 x2 k ? 0 ,那么 x2 k ? 2 ? x2 k ? 4 ? (2)假设当 n=k 时命题成立,即 x2 k ? x2 k ?2

x2 k ?3 ? x2 k ?1 1 1 ? ? 1 ? x2 k ?1 1 ? x2 k ?3 (1 ? x2 k ?1 )(1 ? x2 k ?3 )

=

x2 k ? x2 k ? 2 ?0 (1 ? x2 k )(1 ? x2 k ?1 )(1 ? x2 k ?2 )(1 ? x2 k ?3 )

即 x2( k ?1) ? x2( k ?1)?2 也就是说,当 n=k+1 时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立 (2)当 n=1 时, xn ?1 ? xn ? x2 ? x1 ?

1 ,结论成立 6

当 n ? 2 时,易知 0 ? xn ?1 ? 1,?1 ? xn ?1 ? 2, xn ?

1 1 ? 1 ? xn?1 2

? (1 ? xn )(1 ? xn?1 ) ? (1 ?

1 5 )(1 ? xn?1 ) ? 2 ? xn?1 ? 1 ? xn?1 2

? xn ?1 ? xn ?

xn ? xn ?1 1 1 ? ? 1 ? xn 1 ? xn ?1 (1 ? xn )(1 ? xn ?1 )

?

2 2 2 xn ? xn ?1 ? ) xn ? 1? xn ? 2 ? ? ? ) - 1 ? x ( 2 ( n x 2 5 5 5 1 2 n ? ( )- 1 6 5

1

24.(2009 四川卷文) (本小题满分 14 分) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 an ? 5Sn ? 1 成 立 , 记

bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找

23

出一个正整数 k ;若不存在,请说明理由; (III) cn ? b2n ? b n1 (n ? N * ) , 记 设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 求证: 对任意正整数 n 都 2 ? 有 Tn ?

3 ; 2

【解析】 (I)当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又? an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1

1 4

? an?1 ? an ? 5an?1 ,即

an?1 1 ?? an 4

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4 1 4 ? (? ) n 1 n 4 (n ? N * ) ∴ an ? ( ? ) , bn ? …………………………………3 分 1 4 1 ? (? ) n 4
∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? (II)不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。

1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? 证明:由(I)知 bn ? 1 (?4) n ?1 1 ? (? ) n 4

? b2k ?1 ? b2 k ? 8 ?

5 5 20 15 ?16k ? 40 ? 8? k ? k ? 8? k ? 8. (?4)2 k ?1 ? 1 (?4)2 k ? 1 16 ? 1 16 ? 4 (16 ?1)(16k ? 4) 5 ?
?

∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?1 ? b2m ) ? 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 ? 8(m ?1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ∴对于一切的正整数 n,都有 Rn ? 4k ∴不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。 (III)由 bn ? 4 ? …………………………………8 分
?

5 得 (?4) n ? 1

cn ? b2 n?1 ? b2 n ?

5 5 15 ?16n 15 ?16n 15 ?16n 15 ? 2n?1 ? ? ? ? 42n ? 1 4 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4) (16n ) 2 ? 3 ?16n ? 4 (16n ) 2 16n
24

13 4 ,? c2 ? , 3 3 3 当 n ? 1 时, T1 ? , 2 当 n ? 2 时,
又 b1 ? 3, b2 ?

1 1 [1 ? ( ) n ? 2 ] 2 4 1 1 1 4 16 Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 25 ? 16 1 3 16 16 16 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? 1 48 2 3 1? 16
…………………………………14 分 25.(2009 湖北卷文) (本小题满分 12 分) 已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式: (Ⅱ)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== 列{bn}的前 n 项和 Sn 解(1)解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2+a7=16.得 2a1 ? 7d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55 ① ②
2

a2+a7=16.

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) ,求数 2 2 2 2n

由①得 2a1 ? 16 ? 7d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 。即 256 ? 9d ? 220

? d 2 ? 4, 又d ? 0,? d ? 2, 代入①得a1 ? 1 ? an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1
(2)令 cn ? 两

bn , 则有an ? c1 ? c2 ? ? ? cn , an ?1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?1 2n
式 相
?1


1


n 1 n

an ?1 ? ? cn ?1 2

,由 得 ? an , (

( 时,

cn ( 2

1

? 1

?

) a

?
1

1a 2 ?

n

? ) b 1

,

? 即当 , cn

1 ? 2n ?n又当n=1时, ? (

n )

?2 n ? ? bn ? ? n ?1 ?2 n ?

)

于是 Sn ? b1 ? b2 ? b3 ?? bn ? 2 ? 23 ? 24 ? ?? 2n?1

25

= 2 ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2
2 3 4

n?1

-4=

2(2n?1 ? 1) ? 4 ? 2n? 2 ? 6, 即Sn ? 2n? 2 ? 6 2 ?1

26.(2009 湖南卷理)(本小题满分 13 分) 对于数列 ?un

? 若存在常数 M>0,对任意的 n ? N ? ,恒有

un?1 ? un ? un ? un?1 ? ... ? u2 ? u1 ? M
则称数列 ?un

? 为 B-数列

(1) 首项为 1,公比为 q( q ? 1) 的等比数列是否为 B-数列?请说明理由; 请以其中一组的一个论断条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假,并证明你的结论; (2) 设 Sn 是数列 ?xn ? 的前 n 项和,给出下列两组论断; A 组:①数列 ?xn ? 是 B-数列 B 组:③数列 ?Sn ? 是 B-数列 ②数列 ?xn ? 不是 B-数列 ④数列 ?Sn ? 不是 B-数列

请以其中一组中的一个论断为条件, 另一组中的一个论断为结论组成一个命题。 判断所给命题的真假,并证明你的结论; (3) 若数列 ?an ? ,?bn ? 都是 B ? 数列,证明:数列 ?anbn ? 也是 B ? 数列。 解(1)设满足题设的等比数列为 ?an ? ,则 an ? q n?1 ,于是

an ? an ?1 ? q n ?1 ? q n ?2 ? q

n?2

q ?1 , n ? 2
2 n ?1

因此| an ?1 - an |+| an - an ?1 |+…+| a 2 - a1 |= q ? 1 (1 ? q ? q ? ... ? q 因为 q ? 1, 所以 1 ? q ? q ? ... ? q
2 n ?1

).

1? q 1 ? ? ,即 1? q 1? q
n

an?1 ? an ? an ? an 1 ? ... ? a 2? a 1 ?

q ?1 1? q

故首项为 1,公比为 q ( q ? 1) 的等比数列是 B-数列。 (2)命题 1:若数列 ?xn ? 是 B-数列,则数列 ?Sn ? 是 B-数列 次命题为假命题。

26

事实上,设 xn ? 1, n ? N ? ,易知数列 ?xn ? 是 B-数列,但 Sn ? n

Sn?1 ? Sn ? Sn ? Sn?1 ? ... ? S2 ? S1 ? n
由 n 的任意性知,数列 ?Sn ? 是 B-数列此命题为。 命题 2:若数列 ?Sn ? 是 B-数列,则数列 ?xn ? 是 B-数列 此命题为真命题 事实上,因为数列 ?Sn ? 是 B-数列,所以存在正数 M,对任意的 n ? 1, 有

Sn?1 ? Sn ? Sn ? Sn?1 ? ... ? S2 ? S1 ? M
即 xn?1 ? xn ? ... ? x2 ? M 。于是

xn?1 ? xn ? xn ? xn?1 ? ... ? x2 ? x1 ? xn?1 ? 2 xn ? 2 xn?1 ? ... ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2M ? x1
所以数列 ?xn ? 是 B-数列。 (III)若数列 ?an ? { bn }是 B ? 数列,则存在正数 M1.M 2 ,对任意的 n ? N ? , 有

an?1 ? an ? an ? an? 1 ? .... ? a 2? a 1 M ? bn?1 ? bn ? bn ? an?1 ? .... ? b2 ? b1 ? M 2

1

注意到 an ? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ? ... ? a2 ? a1 ? a1

? an ? an?1 ? an? 1? an? 2? ... ? a ? a ? a ? M ? 1 a 2 1 1
同理: bn ? M 2 ? b1 记 K2 ? M 2 ? b2 ,则有 K2 ? M 2 ? b2

1

an ?1bn ?1 ? an bn ? an ?1bn ?1 ? anbn ?1 ? anbn ?1 ? anbn

? bn?1 an?1?an ? an bn?1 ? bn ? K1 an?1 ? an ? k1 bn?1 ? bn
因此

K1 ( b ? 1? b ? b? n n n

?n 1

b ? . . . . . .? a 2

a ) 1?

k ?M 2 1

1

k M 2

+ K1 ( bn ?1 ? bn ? bn ? bn ?1 ? ...... a2 ? a1 ) ? k 2 M 1 ? k1M 2

27

故数列 an bn 是 B ? 数列 27.(2009 天津卷理) (本小题满分 14 分) 已 知 等 差 数 列 { an } 的 公 差 为 d ( d ? 0 ) 等 比 数 列 { bn } 的 公 比 为 q ( q>1 ) 设 , 。

?

?

s n = a1b1 + a2b2 …..+ anbn , Tn = a1b1 - a2b2 +…..+(-1 ) n?1 anbn ,n ? N ?
(I) 若 a1 = b1 = 1,d=2,q=3,求 S3 的值; 若 b1 =1,证明(1-q) S 2n -(1+q) T2n =

(II)

2dq(1 ? q 2 n ) ? ,n ? N ; 2 1? q

(Ⅲ)

若正数 n 满足 2 ? n ? q,设 k1 , k2 ,..., kn和l1 , l2 ,..., ln是1 2,,n 的两个不同的排列, ,...

c1 ? ak1 b1 ? ak2 b2 ? ... ? akn bn , c2 ? al1 b1 ? al2 b2 ? ... ? aln bn 证明

c1 ? c2



本小题主要考查等差数列的通项公式、 等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识, 考 查运算能力,推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力,满分 14 分。 (Ⅰ)解:由题设,可得 an ? 2n ?1, bn ? 3n?1, n ? N * 所以, S3 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 1?1 ? 3? 3 ? 5 ? 9 ? 55 (Ⅱ)证明:由题设可得 bn ? q n?1 则

S2n ? a1 ? a2q ? a3q2 ? ..... ? a2nq2n?1,
T2 n ? a1 ? a2 q ? a3q 2 ? a4 q 3 ? ..... ? a2 n q 2 n ?1 , S 2 n ? T2 n ? 2(a2 q ? a4 q 3 ? ... ? a2 n q 2 n ?1 )
① 式减去②式,得 ① 式加上②式,得





S2n ? T2n ?2 ( a1 ? a32q ?. . . .? a ? n 2
② 式两边同乘 q,得

2? 2 n 1

q

)



q(S2n ? T2n ) ? 2(a1q ? a3q3 ? .... ? a2n?1q2n?1 )
所以,

( 1? q ) 2n ? ( 1 q T ? Sn ? T ) q (S ? 2T ) S ? 2n ) ( ? 2n 2 2n n

? 2d (q ? q3 ? K ? q 2 n?1 ) 2dq(1 ? q 2 n ) ? , n ? N* 2 1? q
28

(Ⅲ)证明: c1 ? c2 ? (ak1 ? al1 )b1 ? (ak2 ? al2 )b2 ? K ? (akn ? aln )bn

? (k1 ? l1 )db1 ? (k2 ? l2 )db1q ? K ? (kn ? ln )db1qn?1
因为 d ? 0, b1 ? 0, 所以

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K ? (kn ? ln )q n?1 db1
(1) 若 kn ? ln ,取 i=n (2) 若 kn ? ln ,取 i 满足 ki ? li 且 k j ? l j , i ? 1 ? j ? n 由(1),(2)及题设知, 1 ? i ? n 且

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K (ki ?1 ? li ?1 )qi ?2 ? (ki ? li )qi ?1 db1
① 当 ki ? li 时,得 ki ? li ? ?1,由q ? n,得ki ? li ? q ? 1, i ? 1, 2,3.....i ? 1 即 k1 ? l1 ? q ? 1, (k2 ? l2 )q ? q(q ? 1) …, (ki ?1 ? li ?1 )qi ?2 ? qi ?2 (q ?1) 又 (ki ? li )qi ?1 ? ?qi ?1 , 所以

c1 ? c2 1 ? qi ?1 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? K (q ? 1)qi ?2 ? qi ?1 ? (q ? 1) db1 1? q
因此 c1 ? c2 ? 0,即c1 ? c2 ② 当 ki ? li 同理可得 综上, c1 ? c2

c1 ? c2 ? ?1 ,因此 c1 ? c2 db1

28.(2009 四川卷理) (本小题满分 14 分) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 an ? 5Sn ? 1 成 立 , 记

bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?bn ? 的通项公式;

29

(II)记 cn ? b2n ? b2n?1 (n ? N * ) ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n 都 有 Tn ?

3 ; 2

(III)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn 。已知正实数 ? 满足:对任意正整数 n, Rn ? ? n 恒成立, 求 ? 的最小值。 本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想,以及推理论证、 分析与解决问题的能力。 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 5a1 ? 1,? a1 ? ? 又 Q an ? 5an ? 1, an?1 ? 5an?1 ? 1

1 4

1 ? an ?1 ? an ? 5an ?1 , 即an ?1 ? ? an 4
1 1 ? 数列 ?an ? 成等比数列,其首项 a1 ? ? ,公比是 q ? ? 4 4 1 ? an ? (? ) n 4 1 4 ? (? ) n 4 ……………………………………..3 分 ? bn ? 1 n 1 ? (? ) 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

5 (?4) n ?1

.

5 5 25 ?16n ? cn ? b2n ? b2n?1 ? 2n ? ? 4 ? 1 42n?1 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4)
=

25 ?16n 25 ?16n 25 ? ? (16n )2 ? 3 ?16n ? 4) (16n ) 2 16n

13 4 ,? c1 ? 3 3 3 当 n ? 1时,T1 ? 2 4 1 1 1 当 n ? 2时,Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? K ? n ) 3 16 16 16
又 b1 ? 3, b2 ?

30

1 1 [1 ? ( ) n?1 ] 2 4 16 ? ? 25 ? 16 1 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? ......................7分 1 48 2 3 1? 16
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

5 (?4) n ?1

一方面,已知 Rn ? ?n 恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时,设 n ? 2k ? 1(k ? N * ) 则 Rn ? b1 ? b2 ? K ? b2k ?1

1 1 1 1 ? 4n ? 5 ? ( ? 1 ?2 ?3 K? K ?2 1 ) k? 4 ? 1 4 ? 1 4? 1 4 ? 1 1 1 1 1 1 ? 4n ? 5? ? 1 [ ? ( 2 ? 3 ?)K K ? (k 2 ? k ?2 1 4 ?1 4? 1 4 1 ? 4 ? 1 4 ?
> 4n ? 1

)] 1

??n ? Rn ? 4n ?1,即(? ? 4)n ? ?1 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立
?? ? 4, 否则,(? ? 4)n ? ?1只对满足 n ?
1 的正奇数 n 成立,矛盾。 4??

另一方面,当 ? ? 4 时,对一切的正整数 n 都有 Rn ? 4n 事实上,对任意的正整数 k,有

b2 n ?1 ? b2 n ? 8 ?

5 (?4)
2 k ?1

5 ? 1 (?4) 2 k ? 1 ?

? 8?

5 20 ? k (16) ? 1 (16) k ? 4

? 8?

15 ?16k ? 40 ?8 (16k ? 1)(16k ? 4)

? 当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N * )
则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?1 ? b2m ) < 8m ? 4 n

31

当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N * ) 则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 < 8(m ? 1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n

.

? 对一切的正整数 n,都有 Rn ? 4n
综上所述,正实数 ? 的最小值为 4………………………….14 分 29.(2009 福建卷文)(本小题满分)2 分) 等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项, 若 试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 Sn 。 解: (I)设 {an } 的公比为 q 由已知得 16 ? 2q ,解得 q ? 2
3

(Ⅱ)由(I)得 a2 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b3 ? 8 , b5 ? 32 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ?

?b1 ? 2d ? 8 ?b1 ? ?16 解得 ? ?d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32

从而 bn ? ?16 ? 12(n ? 1) ? 12n ? 28 所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n ?

n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n 2 ? 22n 2

30.(2009 年上海卷理) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小 题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分。 已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。 (1) 若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由;
*

(2) 找出所有数列 ?an ? 和 ?bn ? ,使对一切 n ? N ,
*

an ?1 ? bn ,并说明理由; an

(3) 若 a1 ? 5, d ? 4, b1 ? q ? 3, 试确定所有的 p ,使数列 ?an ? 中存在某个连续 p 项的和

32

是数列 ?bn ? 中的一项,请证明。 [解法一](1)由 am ? am?1 ? ak ,得 6m ? 5 ? 3k ? 1 , 整理后,可得 k ? 2 m ? ... 分 ...2

4 ? ,? m 、 k ? N ,? k ? 2 m 为整数, 3
... 分 ...5 (*)

? 不存在 m 、 k ? N ? ,使等式成立。
(2)若

an ?1 a1 ? nd ? bn ,即 ? b1q n ?1 , a a1 ? (n ? 1)d

(ⅰ)若 d ? 0, 则 1 ? b1qn?1 ? bn 。 当{ an }为非零常数列,{ bn }为恒等于 1 的常数列,满足要求。 (ⅱ)若 d ? 0 , (*)式等号左边取极限得 lim ... 分 ...7

a1 ? nd ?1, (*)式等号右边的极限只 n ?? a ? ( n ? 1) d 1

有当 q ? 1 时,才能等于 1。此时等号左边是常数,? d ? 0 ,矛盾。 综上所述,只有当{ an }为非零常数列,{ bn }为恒等于 1 的常数列,满足要求。...10 分 ... 【解法二】设 an ? nd ? c, 若

an?1 ? bn , 且?bn ? 为等比数列 an



an? 2 an?1 / ? q, 对n ? N *都成立,即an an? 2 ? qa 2 n?1 an?1 an

?(dn ? c)(dn ? 2d ? c) ? q(dn ? d ? c)2 对n ? N *都成立, a2 ? qd 2 ....7分 ?
(i) (ii) 若 d=0,则 an ? c ? 0,?bn ? 1, n ? N * 若 d ? 0, 则q=1,?bn ? m (常数)即
*

dn ? d ? c ? m ,则 d=0,矛盾 dn ? c

综上所述,有 an ? c ? 0, bn ? 1, 使对一切n ? N , (3) an ? 4n ? 1, bn ? 3 , n ? N *
n

an?1 ? bn , an

10 分

设 am?1 ? am?2 ? ??? a m? p ? bk ? 3 , p、k ? N , m ? N .
k *

4(m ? 1) ? 1 ? 4(m ? p) ? 1 p ? 3k , 2

33

? 4m ? 2 p ? 3 ?

3k ,? p、k ? N *,? p ? 35 , s ? N . p

13 分

取 k ? 3s ? 2,4m ? 32 s?2 ? 2 ? 3s ? 3 ? (4 ? 1)2 s?2 ? 2 ? (4 ? 1) s ? 3 ? 0, 由二项展开式可得正整数 M1、M2,使得(4-1)2s+2=4M1+1,

15 分

2 ? (4 ? 1) s ? 8M 2 ? (?1) s 2, ?4m ? 4(M1 ? 2M 2 ) ? (?1) s ? 1 2,?存在整数m满足要求 .
故当且仅当 p=3s,s ? N 时,命题成立.
.

?

?

说明:第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分) 若 p 为偶数,则 am+1+am+2+……+am+p 为偶数,但 3k 为奇数 故此等式不成立,所以,p 一定为奇数。 当 p=1 时,则 am+1=bk,即 4m+5=3k, 而 3k=(4-1)k
0 1 k k = Ck ? 4k ? Ck ? 4k ?1 ? (?1) ? ??? Ck ?1 ? 4 ? (?1)k ?1 ? Ck ? (?1)k ? 4M ? (?1)k , M ? Z ,

当k为偶数时,存在m,使4m+5=3k 成立 当 p=3 时,则 am+1+am+2+am+3=bk,即 3am+2-bk, 也即 3(4m+9)=3k,所以 4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1 由已证可知,当 k-1 为偶数即 k 为奇数时,存在 m, 4m+9=3k 成立 当 p=5 时,则 am+1+am+2+……+am+5=bk,即 5am+3=bk

1分

2分

也即 5(4m+13)=3k,而 3k 不是 5 的倍数,所以,当 p=5 时,所要求的 m 不存在 故不是所有奇数都成立. 2分

31.(2009 上海卷文) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题 满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列 (1)若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m, n ? N ,有 am ? am?1 ? ak ?请说明理由;
*

(2)若 bn ? aq n (a、q 为常数,且 aq ? 0)对任意 m 存在 k,有 bm ? bm?1 ? bk ,试求 a、q 满足的充要条件; (3)若 an ? 2n ? 1, bn ? 3n 试确定所有的 p,使数列 ?bn ? 中存在某个连续 p 项的和式数列中
34

?an ? 的一项,请证明.
【解】 (1)由 am ? am?1 ? ak , 得 6m ? 6 ? 3k ? 1 ,

4 , 3 ? m 、 k ? N ,? k ? 2m 为整数
整理后,可得 k ? 2m ?

? 不存在 n 、 k ? N ? ,使等式成立。
(2)当 m ? 1 时,则 b1 ? b2 ? bk ,?a2 ? q3 ? aqk

? a ? q k ?3 , 即 a ? qc ,其中 c 是大于等于 ?2 的整数
反之当 a ? q 时,其中 c 是大于等于 ?2 的整数,则 bn ? q n?c ,
c

显然 bm ? bm?1 ? qm?c ? qm?1?c ? q2m?1?2c ? bk ,其中 k ? 2m ? 1 ? c

? a 、 q 满足的充要条件是 a ? qc ,其中 c 是大于等于 ?2 的整数
(3)设 bm?1 ? bm?2 ? ?? bm? p ? ak 当 p 为偶数时, (*) 式左边为偶数,右边为奇数, 当 p 为偶数时, (*) 式不成立。

由 (*) 式得

3m ?1 (1 ? 3 p ) ? 2k ? 1,整理得 3m?1 (3 p ?1) ? 4k ? 2 1? 3

当 p ? 1 时,符合题意。 当 p ? 3 , p 为奇数时,

3 p ? 1 ? (1 ? 2) p ? 1
0 2 p ? C p ? C1 ? 21 ? C p ? 22 ? ? ? C p ? 2 p ? 1 p 2 p ? C1 ? 21 ? C p ? 22 ? ? ? C p ? 2 p p 2 p ? 2 ? C1 ? C p ? 2 ? ? ? C p ? 2 p ?1 ? p 2 2 p ? 2 ? 2 ? C p ? C p ? 22 ? ? ? C p ? 2 p ? 2 ? ? p ? ? ?

?

由3

m?1

(3 p ?1) ? 4k ? 2 ,得

2 2 p 3m?1 ? 2 ? C p ? C p ? 22 ? ? ? C p ? 2 p ?2 ? ? p ? ? 2k ? 1 ? ?

35

? 当 p 为奇数时,此时,一定有 m 和 k 使上式一定成立。 ? 当 p 为奇数时,命题都成立。
32.(2009 重庆卷理) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 设 m 个不全相等的正数 a1 , a2 ,?, am (m ? 7) 依次围成一个圆圈. ( Ⅰ ) 若 m ? 2009 , 且 a1 , a2? , a1 0 是 5公 差 为 d 的 等 差 数 列 , 而 , 0

a1 , a2 0 ,0 9 ?0 0 ,8a 是 公1比 0 6 q ? d 的 等 比 数 列 ; 数 列 a1 , a2 ,?, am 的 前 n 项 和 a 2, 0 为 Sn (n ? m) 满足: S3 ? 15, S2009 ? S2007 ? 12a1 ,求通项 an (n ? m) ;
( Ⅱ ) 若 每 个 数 an (n ? m) 是 其 左 右 相 邻 两 数 平 方 的 等 比 中 项 , 求 证 :
2 2 a1 ? ?? a6 ? a7 ? ?? am ? ma1a2am ;

(21) (本小题 12 分) 解:I) a1a02002 a001 , , a?? ( 因 ,08 , 6 ? 9 由 是公比为 d 的等比数列, 从而 a2000 ? a1d , a2008 ? a1d 2

S2 0 0 ? S 9

2008

?1 2 a 1a 得

? 0 0 8 ?1 20,故 2 a 20 a 9
.

1

解得 d ? 3 或 d ? ?4 (舍去) 。因此 d ? 3 又

S3 ? 3a1 ? 3d ? 15 。解得 a1 ? 2

从而当 n ? 1005 时,

an ? a ?( n ?1 ) d ? 2 ? 3 ( ? 1 )? n ? 1 n 3 1
当 1006 ? n ? 2009 时,由 a1 , a2009 , a2008 , ???, a1006 是公比为 d 的等比数列得

an ? a1d 2009?( n?1) ? a1d 2010?n (1006 ? n ? 2009)
因此 an ? ?

?3n ? 1, n ? 1005 ?2 ? 3
2009 ? n

,1006 ? n ? 2009

2 2 2 2 2 2 2 2 (II)由题意 an ? an?1an?1 (1 ? n ? m), am?am?1a1 , a1 ? ama2 得

  ?an ? an ?1an ?1 (1 ? n ? m),     ①  ? ?am ? am ?1a1         ② ?a ? a a           ③ m 2 ? 1
有①得 a3 ?

a2 a 1 1 , a4 ? , a5 ? , a6 ? 1 a3 a1 a2 a2
2



由①,②,③得 a1a2 ??? an ? (a1a2 ??? an ) ,
36

故 a1a2 ??? an ? 1 . 又 ar ?3 ?



ar ? 2 ar ?1 1 1 ? ? ? (1 ? r ? m ? 3) ,故有 ar ?1 ar ar ?1 ar

ar ?6 ?

1 ? ar (1 ? r ? m ? 6) .⑥ ar ?3

下面反证法证明: m ? 6 k 若不然,设 m ? 6k ? p, 其中 ? p ? 5 1 若取 p ? 1 即 m ? 6k ? 1 ,则由⑥得 am ? a6 k ?1 ? a1 ,而由③得 am ?

a1 a , 故a1 ? 1 , a2 a2

得 a2 ? 1, 由②得 am?1 ?

am , 从而a6 ? a6 k ? am?1 , 而 a1

a6 ?

a1 , 故a1 ? a2 ? 1,由 ④及⑥可推得 an ? 1( 1 ? n ? m )与题设矛盾 a2

同理若 P=2,3,4,5 均可得 an ? 1( 1 ? n ? m )与题设矛盾,因此 m ? 6 k 为 6 的倍数 由均值不等式得

a1 ? a2 ? a3 ? K ? a6 ? (a1 ?

a a 1 1 ) ? (a2 ? ) ? ( 2 ? 1 ) ? 6 a1 a2 a1 a2

由上面三组数内必有一组不相等(否则 a1 ? a2 ? a3 ? 1 ,从而 a4 ? a5 ? K ? am ? 1与题设 矛盾) ,故等号不成立,从而 a1 ? a2 ? a3 ? K ? a6 ? 6 又 m ? 6 k ,由④和⑥得
2 2 2 2 2 2 a7 ? K ? am ? (a7 ? K ? a12 ) ? K ? (a6 k ?5 ? K ? a6 k ) 2      =(k-1) 12 ? K ? a6 ) (a

     =(k-1) 12 ? (a
因此由⑤得

1 1 1 2 2 +a2 ? 2 +a3 ? 2 ) ?6(k-1) 2 a1 a2 a3

2 2 a1 ? a2 ? a3 ? K ? a6 ? a7 ? K ? am ? 6 ? 6(k ?1) ? 6k ? m ? ma1a2a3 K am

33.(2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 3 分, (Ⅱ)问 4 分, (Ⅲ)问 5 分)

37

已知 a1 ? 1, a2 ? 4, an? 2 ? 4an?1 ? an , bn ? (Ⅰ)求 b1 , b2 , b3 的值;

an?1 ,n? N? . an

.

(Ⅱ)设 cn ? bnbn ?1 , Sn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求证: Sn ? 17n ; (Ⅲ)求证: b2 n ? bn ?

1 1 ? n?2 . 64 17 17 72 , b3 ? 4 17

解: (Ⅰ)? a2 ? 4, a3 ? 17, a4 ? 72 ,所以 b1 ? 4.b2 ? (Ⅱ)由 an?2 ? 4an?1 ? an 得

an ? 2 a 1 ? 4 ? n 即 bn ?1 ? 4 ? an ?1 an ?1 bn

所以当 n ≥ 2 时, bn ? 4 于是 c1 ? b1 , b2 ? 17, cn ? bnbn?1 ? 4bn ? 1 ? 17 所以 Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 17n (Ⅲ)当 n ? 1 时,结论 b2 ? b1 ? 当 n ≥ 2 时,有 bn ?1 ? bn ?| 4 ?

(n ≥ 2)

1 17 ? 成立 4 64

b ?b 1 1 1 ?4? |?| n n?1 |≤ | bn ? bn ?1 | bn bn?1 bnbn?1 17
(n ≥ 2)



1 1 1 1 | bn ?1 ? bn ? 2 |≤ ? ≤ n ?1 | b2 ? b1 |? ? n ?2 2 17 17 64 17

所以

b2n ? bn ≤ bn 1 ? bn ? bn2 ? bn1 ? ? ? ? ?

? b n ? b n1 2 2?

1 1 ( )n ?1 (1 ? n ) 1 ? 1 n ?1 1 n 1 2 n ?2 ? 1 17 17 ? 1 ? 1 (n ? N * ) ( ) ? ( ) ??? ( ) ? ? ? 1 4 ? 17 17 17 64 17 n ?2 ? ? 4 1? 17

.

38


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