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一元二次不等式与分式不等式的解法


第 5 讲 一元二次不等式与分式不等式的解 法
【知识要点】
1、一元二次不等式的概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数最高次数是 2 的不等式, 称为一元二次不式. 2、一元二次不等式的解法步骤 :
王新敞
奎屯 新疆

一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?

的解集: 设 相 应 的 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的 两 根 为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,
2

? ? b 2 ? 4ac ,则不等式的解的各种情况如下表:
??0
一元二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

b x1 ? x 2 ? ? 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

口诀:大于取两边,小于取中间 3、 解一元二次不等式的基本步骤: (1) 整理系数,使最高次项的系数为正数; (2) 尝试用“十字相乘法”分解因式; (3) 计算 ? ? b 2 ? 4ac

(4) 结合二次函数的图象特征写出解集。

4、对于分式不等式:

f ( x) ? 0 ,它等价于 f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) f ( x) ? 0 ,它等价于 f ( x) ? 0且g ( x) ? 0 g ( x) f ( x) ? 0 ,它等价于 f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x)

【典型例题】
例1、 求下列不等式的解集 (1) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

(2) ? x ? 2 x ? 3 ? 0
2

例 2、 已知 x ? 3x ? a ? 0 的解集是 {x x ? ?2或x ? ?1 求不等式 ax ? 10x ? 12 ? 0 },
2 2

的解集.

例 3、解不等式(1)

x?2 ?0 x?3

(2)

x?4 ?2 x?5

例 4、自变量 x 在什么取值范围时,下列函数的值等于 0 ?大于 0 ?小于 0 ? (1) y ? 3x ? 6x ? 2
2

(2) y ? 25 ? x

2

例 5、 函数 f ( x) ? ax 2 ? a 2 x ? 2b ? a 3 , 当 x ? (?2,6), f ( x) ? 0, 当x ? (??,?2) ? (6,??), f ( x) ? 0 , 求 f ( x) 的解析式;

例 6、集合 A ? {x

2x ? 2 ? 1} B ? {x x 2 ? 4x ? 5 ? 0} ,C ? {x m ? 1 ? x ? m ? 1, m ? R} x?2 (1)求 A ? B (2)若 A ? B ? C ,求 m 的取值范围.

例 7、求不等式 ( x 2 ? 2 x ? 1) (2 x ? 3x ? 5) ? 0 的解集
2

例 8、解关于 x 的一元二次不等式 x ? (3 ? a) x ? 3a ? 0
2

【经典练习】
1、如果 x 2 ? x ? 6 有意义,那么 x 的取值范围是
2

.

2、若 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集为 x ? 1 ? x ? 2 ,则 a =________, b =________. 3、解下列一元二次不等式 (1) ( x ? 1)(3 ? x) < 5 ? 2 x (3) (2) x( x ? 11) ≥ 3( x ? 1) 2 (4)

?

?

x ?1 ?0 x?3

5x ? 1 ?3 x ?1

2 2 4、已知关于 x 的不等式 ax ? 2 x ? c ? 0 的解集为 ( ? , ) ,求 ?cx ? 2 x ? a ? 0 的解集

1 1 3 2

2 2 5、不等式 ax ? 4 x ? a ? 1 ? 2 x 对一切 x ?R 恒成立,则实数 a 的取值范围

【课后作业】
1、若 0 ? a ? 1 ,那么不等式 ( x ? a )( x ? A. a ? x ?

1 ) ? 0 的解是 a
C. x ? a或x ?





1 a

B.

1 ?x?a a

1 a

D. x ?

1 或x ? a a

2、若关于 x 的方程 x 2 ? (m ? 1) x ? m ? 0 有两个不相等的实数根,那么 m 的取值范围 是 . 3、不等式 ( x ? x ? 2)(x ? 1) ? 0 的解集为___________________________
2 2

4、自变量 x 在什么取值范围时,下列函数的值等于 0 ?大于 0 ?小于 0 ? (1) y ? x ? 6 x ? 10
2

(2) y ? ?3x ? 12x ? 12
2

5、已知集合 A ? {x x 2 ? 16 ? 0} ,集合 B ? {x x 2 ? 4x ? 3 ? 0},求 A ? B

6、已知 A ? {x x 2 ? 5x ? 14 ? 0} ,求 B ? {x x ? y ? 2, y ? A} ,求 A ? B , A ? B .


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