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福建省三明市2014-2015学年高二下学期期末质量检测数学(文)试题

时间:2016-07-23


三明市 2014-2015 学年第二学期普通高中阶段性考试

高二文科数学试题
(考试时间:2015 年 7 月 参考公式或数值: 1.独立性检验参考数据及公式: 日上午 8:30-10:30 满分:150 分)

P ? k 2 ? k ? 0.50
k
2

0.40 0.708

/>2

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

0.455

n ? ad ? bc ? k ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ? a ? c ?? b ? d ?? a ? b ?? c ? d ?

?? ? ?a ? ? bx ? ,b 2.回归直线方程: y

? x y ? nx ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

? ? ? y ? bx ,a

2

i

? nx 2

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项符合题目要求,请把答案填在答题卷相应的位置上. 1.已知集合 A ? ? x | 0 ? x ? 3? , B ? x ?1 ? x ? 3 ,则 A ? B ? A. {x | ?1 ? x ? 3} B. {x | 0 ? x ? 3} C. {x | x ? ?1} D. {x | x ? 3}

?

?

2.在直角坐标系 xOy 中,点 M 的坐标是 (1, ? 3) ,若以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为 极轴建立极坐 标系则点 M 的极坐标可以为 A. (2 , )

π 3

B. (2 ,

2π ) 3

C. (2 , ? )

π 3

D. (2 , 2kπ ? ) (k ? Z)

π 3

3.用三段论推理命题: “指数函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1) 是增函数(大前提) ,而 y ? ( ) 是
x

1 3

指数函数(小前提) ,所以 y ? ( ) 是增函数(结论) . ”你认为这个推理过程是
x

1 3

A.大前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误 4. “ x ? x ”是“ x ? 1 ”的 B
2

B.小前提错误导致结论错误 D.大前提和小前提都错误导致结论错误

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知函数 f ( x ) 的图象是连续不断的,现给出 x, f ( x) 的部分对应值如下表:

x
f ( x)

?2

?1 ?2

1 1

2 2

]

3
4

?3

]

则函数 f ( x ) 一定有零点的区间是 A. (1, 2) B. (2,3) C. (?2, ?1) D. (?1,1)

6.随着移动互联网的深入普及,用手机上网的人数日益增多,某教育部门成立了调查小组, 调查“常上 网与高度近视的关系” ,对某校高中二年级 800 名学生进行检查,得到如下 2 ? 2 列联表: 不常上网 不高度近视 高度近视 总计 70 130 200
2

常上网 150 450 600

总计 220 580 800

根据列联表的数据,计算得到 K ? 7.524 ,则 A.有 99.5% 的把握认为常上网与高度近视有关 高度近视无关 C.有 99% 的把握认为常上网与高度近视有关 度近视无关 B.有 99.5% 的把握认为常上网与 D.有 99% 的把握认为常上网与高

7.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 27,则输入的数是 A. ?3 或 ?3 3 C. ? 3 或 3 3 B. 3 或 ?3 3 D. 3 或 3 3
2

8.用反证法证明命题: “若整数系数的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有 理根,则 a, b, c 中至少有一个是偶数”时,反设正确的是 A.假设 a, b, c 都不是偶数 B.假设 a, b, c 都是偶数 C. 假设

a, b, c
至多有 一个是偶数 D.假设 a, b, c 至多有两个是偶数 9.函数

第 7 题图

y??

x ln x x

的图象大致是

10.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且 f (1) ? 0 ,当 x ? 0 时,有 xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 恒成立, 则不等式

xf ( x) ? 0 的解集为
A. (?1,1) D. (??, ?1) ? (1, ??) 11. 一个边长为 6 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形,然后做成一 个无盖方盒.当无盖方盒的容积 V 最大时, x 的值应为 A.6 B.3 C.1 D. B. (?1,0) ? (1, ??) C. (??, ?1) ? (0,1)

1 6

12.对于任意两个自然数 m, n ,定义某种 ? 运算如下: 当 m, n 都为奇数或偶数时, m ? n ? m ? n ;当 m, n 中一个为偶数,另一个为奇数时,

m ? n ? mn .
则在此定义下,集合 M ? (a, b) a ? b ? 18, a ? N, b ? N 中的元素个数为 A. 26 B. 25 C. 24 D. 23

?

?

第Ⅱ卷(非选择题
13.已知幂函数 f ( x ) 的图象过点 (8, 2) ,则 f ( ? ) = 14.复数 z ?

共 90 分)


二、填空题:本大题共 4 小题中,每小题 5 分,共 20 分.请将答案写在答题卷相应位置上.

?1 ? 2 i ( i 是虚数单位)的实部为 . i 1 1 1 1 2 1 1 1 3 ? ;?, 15.观察 ? ; ? ? ; ? ? 2 2 2 6 3 2 6 12 4 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 由此推算 ? ? . 2 6 12 20 30 42 56 16.已知函数 f ( x ) 的定义域为 [?1,5] , f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 的图像如图
所示.若 f ( x ) 在区间 [m, m ? 1] 上是单调函数,则实数 m 的取值范 围是 .

1 8

第 16 题图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 设复数 z ? a ? i ( i 是虚数单位, a ? R , a ? 0 ) ,且 | z |? 10 . (Ⅰ)求复数 z ; (Ⅱ)在复平面内,若复数 z ? 求实数 m 取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 因为受市场经济的宏观调控,某商品每月的单价和销量均会上下波 动, 某商家对 2015 年的 1 月份到 4 月份的销售量 x 百件和利润 y 万 元进行统计分析,得到数据的散点图如图所示: (Ⅰ)根据散点图分别求 1 ~ 4 月份的销售量 x 和利润 y 的平均数 x , y ; (Ⅱ)为使统计更为准确,继续跟踪 5,6 月份的销售量和利润情况,得到 5 月份的销售 量为 14 百件、 利润为 6 万元,6 月份的销售量为 16 百件、利润为 8 万元.由 1 ~ 6 月份的数据,用最小 二乘法计算

m?i (m ? R) 对应的点在第四象限, 1? i

第 18 题散点图

?? ? ?a ? ? bx ? 中的 b 得到线性回归方程 y

4 ? 的值; ,求 a 7

(Ⅲ)试根据(Ⅱ)中的线性回归方程,预测当销售量为 18 百件时的利润.

19.(本小题满分 12 分) 定义:对于函数 f ( x ) ,若在定义域内存在实数 x0 ,满足 f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) ,则称 x0 为 函数 f ( x ) 的 “奇对称点” . (Ⅰ)求函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 4 的“奇对称点” ; (Ⅱ)若函数 f ( x) ? ln( x ? m) 在 [?1,1] 上存在“奇对称点” ,求实数 m 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分) 已知一元二次方程根与系数的关系如下: 设 x1 , x2 是关于 x 方程 x ? bx ? c ? 0 的根,则 x1 ? x2 ? ?b , x1 ? x2 ? c .
2

(Ⅰ)若 x1 , x2 , x3 是一元三次方程 ( x ? 1)(x ? 3x ? 4) ? 0的根,求 x1 ? x2 ? x3 和
2

x1 ? x2 ? x3 的值;
(Ⅱ)若 x1 , x2 , x3 是一元三次方程 x ? bx ? cx ? d ? 0 的根,类比一元二次方程根
3 2

与系数的关系, 猜想 x1 ? x2 ? x3 和 x1 ? x2 ? x3 与系数的关系,并加以证明.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 数. (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 0 处的切线与直线 x ? y ? 0 平行,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [?2 , ? ?) 上的最大值; (Ⅲ)若 a ? ?1 ,令 an ? f ?(n) , n ? N? ,证明: ?252 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2018 ?

x?a ( a ? R ,其中 e ? 2.71828? ) ,记 f ?( x ) 为函数 f ( x) 的导函 ex

1 . 2

22.(本小题满分 10 分) 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y中 , 点 M 的 坐 标 是 ( 0 ,

1 ), 直 线 l 的 参 数 方 程 是 2

? ? x?? ? ? ?y ? 1 ? ? ? 2

2 t, 2 ( t 为参 2 t    2

数) .以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程

? ? 2cos ? .
(Ⅰ)求点 M 与圆 C 的位置关系; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 的交点为 P,Q ,求 MP ? MQ 的值.

三明市 2014-2015 学年第二学期普通高中阶段性考试

高二文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题: 1 A 2 C 3 A 14. ?2 4 B 5 D 6 C 7 B 8 A 9 D 10 B 11 C 12 B

二、填空题:

? 13.

1 2

15.

7 8

16. m m ? ?1或0 ? m ? 1或2 ? m ? 3或m ? 4

?

?

三、解答题: 17.解: (Ⅰ)∵ z ? a ? i , | z |? 10 , ∴ | z |?

a 2 ? 1 ? 10 ,

?????????2 分 ?????????4 分

a 2 ? 9 , a ? ?3 ,
又∵ a ? 0 , ∴ a ? 3, ∴ z ?3?i. (Ⅱ)∵ z ? 3 ? i ,则 z ? 3 ? i , m?i (m ? i)(1 ? i) m ? 5 (m ? 1)i ? 3?i ? ? ? ∴z? , 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 又∵复数 z ?

?????????5 分 ?????????6 分 ???????7 分 ???????8 分

m?i (m ? R) 对应的点在第四象限, 1? i
?m ? ?5, 得? ?m ? 1.
???????11

?m ? 5 ? 0, ? ? 2 ∴? ? m ? 1 ? 0, ? ? 2


∴ ? 5 ? m ?1. 18.解: (Ⅰ) x ?

???????12 分 ????????4 分

6 ? 8 ? 10 ? 12 2?3?5? 6 ?9, y ? ?4. 4 4 4 ? 9 ? 14 ? 16 ? 11, (Ⅱ) 1 ~ 6 月份的平均销售量 X ? 6 4? 4 ? 6 ? 8 1 ~ 6 月份的平均利润 Y ? ? 5, 6 ? X ? 5 ? 4 ?11 ? ? 9 . ? ?Y ?b a 7 7 4 9 ? ? x? , (Ⅲ)由(Ⅱ)知线性回归方程为 y 7 7 4 9 ? ? ? 18 ? ? 9 , ? 当销售量为 18 百件时, y 7 7

????????6 分 ????????8 分

????????11



? 当销售量为 18 百件时预测利润为 9 万元.


????????12

19.解: (Ⅰ)依题意有 f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) ,
2 即 (? x0 )2 ? 2(? x0 ) ? 4 ? ?( x0 ? 2x0 ? 4) , 2 化简得 x0 ? 4 ,? x0 ? ?2 ,

????????2 分

? f ( x) 的“奇对称点”为 ?2 .
(Ⅱ)依题意函数 f ( x) ? ln( x ? m) 的定义域为 x x ? ? m , 又因为函数 f ( x) ? ln( x ? m) 在 [?1,1] 上存在“奇对称点” ,

????????4 分

?

?

????????5 分

等价于关于 x 的方程 ln(? x ? m) ? ? ln( x ? m) 在 [?1,1] 上有解, ????????7 分 即 m ? x ? 1在 [?1,1] 上有解,
2 2

????????8 分 ????????10 分

又?1 ? x ? 1 ? 2 ,
2

??m ? ?1, ?? ?1 ? m ? 2 , 2 ?1 ? m ? 2,
实数 m 的取值范围为 1 ? m ?
2

2.

????????12 分 ????????2 分 ????????3 分 ????????5 分 ????????7 分

20.解: (Ⅰ)? 方程 x ? 3x ? 4 ? 0 的两个根分别为 ?1和 4,

? 方程 ( x ?1)( x2 ? 3x ? 4) ? 0 的根分别为 ?1,1 和 4, ? x1 ? x2 ? x3 ? 4 , x1 ? x2 ? x3 ? ?4 .
(Ⅱ) x1 ? x2 ? x3 ? ?b , x1 ? x2 ? x3 ? ?d . 证明:? x1 , x2 , x3 是方程 x ? bx ? cx ? d ? 0 的根,
3 2

? x3 ? bx2 ? cx ? d ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ) ,
分 又? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ) 展开式中二次项为 ?( x1 ? x2 ? x3 ) x ,
2

????????9

???????10



常数项为 ? x1 ? x2 ? x3 , 分

????????11

? x1 ? x2 ? x3 ? ?b , x1 ? x2 ? x3 ? ?d .
分 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

????????12

e x ? (a ? x)e x 1 ? a ? x ? , (e x )2 ex

????????2 分

f ?(0) ? 1 ? a ? ?1 ? a ? 2 .
(Ⅱ)令 f ?( x) ? ?

????????3 分 ????????4 分

x ? a ?1 ? 0 ,得 x ? 1 ? a , ex ①当 a ? 3 时,在 x ? [?2, ??) 上, f ? ? x ? ? 0 , ∴ f ( x ) 在 [?2, ??) 上单调递减,
∴ f ? x?
max

? f (?2) ? e2 (a ? 2) ;

????????5 分

②当 a ? 3 时, 当 x ?[?2,1 ? a) 时, f ? ? x ? ? 0 , f ( x ) 在 [?2,1 ? a) 上单调递增; 当 x ? [1 ? a, ??) 时, f ? ? x ? ? 0 , f ( x ) 在 [1 ? a, ??) 上单调递减, ∴ f ? x?
max

? f (1 ? a) ? ea?1 ;

????????7 分

(Ⅲ)当 a ? ?1 时,令 g ? x ? ? f ? ? x ? ? ?

x?2 x?3 ,则 g ? ? x ? ? x , x e e

当 x ? 3 时, g? ? x ? ? 0 ,∴ g ? x ? 在 ? 3, ??? 上单调递增, 当 0 ? x ? 3 时, g? ? x ? ? 0 ,∴ g ? x ? 在 ? 0,3? 上单调递减, ∴ f ? ? x ?min ? f ? ? 3? ? ? ????????8 分

1 , e3

∵ x ? 3 时, g ? x ? ? f ? ? x ? ? ? 当 n ? 3 时, ?

x?2 ? 0, ex

????????9 分

1 ? f '( n) ? 0 , e3
????????10 分

??

2016 ? a3 ? a4 ? a5 ? ? ? a2018 ? 0 , e3 1 又 a1 ? f ? ?1? ? , a2 ? f ? ? 2 ? ? 0 , e 1 2016 1 ? ? 3 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2018 ? , e e e 1 2016 1 2016 1 1 1 又? ? 3 ? ? 3 ? ? 252 ? ?252 , ? , e e e 2 e e 2

??252 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2018 ?

1 ,即命题成立. 2

????????12 分

22.解: (Ⅰ)? 圆 C 的极坐标方程 ? ? 2cos ? 即 ? 2 ? 2? cos? , 圆 C 的普通方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 , 又? 点 M 的坐标是 (0, ) , ????????2 分

1 2

1 5 ? MC ? (0 ? 1)2 ? ( ? 0)2 ? ?1, 2 2

????????4 分 ????????5 分

? 点 M 在圆 C 外.
? ? x?? ? (Ⅱ)? 直线 l 的参数方程是 ? ?y ? 1 ? ? ? 2

2 t, 2 2 t ,    2 3 2 1 2 代入圆 C 的普通方程 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,得 t ? t ? ? 0 ,???????7 分 2 4 1 ? t1 ? t2 ? , ????????8 分 4 1 ? MP ? MQ ? t1 ? t2 ? . ????????10 分 4


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