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2013-2014学年高中数学 第一章 1.1习题课正弦定理和余弦定理基础过关训练


习题课
一、基础过关

正弦定理和余弦定理

1.在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=44°,则此三角形解的情况为 ( ) B.两解 D.解的个数不确定 π ,当△ABC 的面积等于 3时,sin C 等于 3 13 13 C. 2 39 3 D. 2 13 13 ( )

A.无解 C.一解 2.在△

ABC 中,BC=1,B= 2 39 A. 13

B.

3.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= 2,b= 6,B=120°,则 a 等于 ( A. 6 B.2 C. 3 D. 2 )

4.若△ABC 的内角 A、B、C 满足 6sin A=4sin B=3sin C,则 cos B 等于 ( A. 15 4 ) 3 B. 4 C. 3 15 16 D. 11 16

5.在△ABC 中,AB=2,AC= 6,BC=1+ 3,AD 为边 BC 上的高,则 AD 的长是________. 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sin B+cos B= 2, 则角 A 的大小为________. 7.在△ABC 中,求证:

a2-b2 sin? A-B? = . c2 sin C

8.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin

C.
(1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. 二、能力提升 9.在△ABC 中,若 a =bc,则角 A 是 A.锐角
4 2

( C.直角
2 2 2

)

B.钝角
4 4

D.60° ( )

10.在△ABC 中,已知 a +b +c =2c (a +b ),则角 C 为 A.30° B.60° C.45°或 135°

D. 120°

11.已知△ABC 的面积为 2 3,BC=5,A=60°,则△ABC 的周长是________. 12.已知△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 m=(sin C,sin Bcos A),n
1

=(b,2c),且 m·n=0. (1)求 A 的大小; (2)若 a=2 3,c=2,求△ABC 的面积 S 的大小.

三、探究与拓展

b a tan C tan C 13.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 + =6cos C,求 + a b tan A tan B
的值.

2

答案 1.B 2.A 3.D 4.D 5. 3 π 6. 6

sin Acos B-cos Asin B 7.证明 右边= sin C sin A sin B = ·cos B- ·cos A sin C sin C = · =

a a2+c2-b2 b b2+c2-a2 - · c 2ac c 2bc a2-b2 =左边. c2 a2-b2 sin? A-B? = . c2 sin C

所以

8.解 (1)由已知,根据正弦定理得 2a =(2b+c)b+(2c+b)c, 由余弦定理得 a =b +c -2bccos A, 1 所以 cos A=- ,故 A=120°. 2 (2)由①得 sin A=sin B+sin C+sin Bsin C, 1 又 sin B+sin C=1,故 sin B=sin C= . 2 因为 0°<B<90°,0°<C<90°,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 9.A 10.C 11.12 12.解 (1)∵m·n=0, ∴bsin C+2csin Bcos A=0. ∵ = ,∴bc+2bccos A=0. sin B sin C ∵b≠0,c≠0,∴1+2cos A=0. 1 2π ∴cos A=- .∵0<A<π ,∴A= . 2 3 (2)在△ABC 中,∵a =b +c -2bccos A, ∴12=b +4-4bcos
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



b

c

2π 2 .∴b +2b-8=0. 3

∴b=-4(舍)或 b=2. 1 ∴△ABC 的面积 S= bcsin A= 3. 2

3

13.解 由 + =6cos C 得 b +a =6abcos C. tan C tan C sin C cos A cos B 2 2 2 化简整理得 2(a +b )=3c ,将 + 切化弦,得 ·( + ) tan A tan B cos C sin A sin B sin C sin C = · cos C sin Asin B sin C = . cos Csin Asin B 根据正、余弦定理得 sin C 2c = =4. cos Csin Asin B 3 2 2 c -c 2 tan C tan C 故 + =4. tan A tan B
2 2 2

b a a b

2

2

4


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