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一道竞赛题的探究


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l  8

中 等 数 学 



道 竞 赛 题 的 探 究 
赵 肖 东  
( 杭州外 国语学校 ,103  302 )

20 06年全 国初 中数学竞赛浙 江赛 区复  赛第 l 题是 : 6  

只青 蛙 在 平 面 直 角 坐 标 系 上 从 点  ( ,) 始 , 以按 照 如下 两种 方式 跳跃 : 11开 可  


以, 由方 式① 知 , 跃不 改变 前后 两数 的公 共  跳 奇约 数 .   由题 意知 , 果 口>b 如  口和 b的最 大 公  约数 等 于 口一b和 b的最 大公 约数 ; 果 口< 如  

①能 从 任 意 一点 ( , )跳 到 点 (a, ) 口b , 2 b 
或 ( ,b . 口 2 ) 

b 口和b的最大公约数等于b 和 口的最大  , 一口
公约数 . 以 , 所 由方 式 ② 知 , 跃 不 改 变前 后  跳 两 数 的最大 公约 数 .   从而 , 方 式 ① 、 跳 跃 , 不 改 变 坐标  按 ② 均 前 后两 数 的公共 奇 约数 .   由于 1 1的公 共 奇 约 数 为 11 和 ,2和 6  o 的公 共 奇 约数 为 3 20和 5的公 共 奇 约 数  ,0 为 5 因此 , ( , ) , 从 1 1 出发 不 可 能 到 达 给 定 点 
(2 6 ) (0 , )  1 ,o 和 2 o 5 .

②对 于 点 ( , ) 如 果 口> b 则 能 从  口 b, , ( b  到 ( 口, )b 口一 b b ; 口 口<b 贝 台 从  , )虫 果 , 0皂
( b b U 口 b一口 . 口, ) 至 ( , ) 

例 如 , 照 上述 跳跃 方式 , 只青蛙 能 够  按 这 到 达点 ( ,)跳 跃 的一 种路 径为 : 31,  
( ,) ( ,) ( ,) ( ,)  1 1一 2 1一 4 1 一 3 1 .

请你思考 : 这只青 蛙按照规定的两种方 
式 跳跃 , 到达 下列 各点 吗 ? 能  
( ) 3 5 ; ( )1 ,0 ; ( )2 0 5 ; 1 ( , )  2 (2 6 )   3 (0 , )  ()206 . 4 (0 , )  

文 [] 1中指出, 按规定的两种方式跳跃能  到达 点 ( b 的必要 条件 是 口和 b的公 共 奇  n, ) 约数仅为 1以此为依据判 断出点( ) () , 1、2 无  法跳跃到, () ( ) 以跳跃 到, 点 3 、4 可 并给 出了  
非 一般 性 的跳跃 方 式 .  

如果能, 请分别给出从点 ( 1出发到指  1 )   定点的路径 ; 如果不能 , 请说明理 由.   文 [] 1给出的参考答案为 :  
1能到 达点 ( ,) (0 ,) ) 35 和 20 6 .   从 (,) 11出发 到 ( ,) 35 的路 径为 :  
(,) ( , ) (, ) ( , ) ( , ) 1 1 一 2 1 一 4 1 一 3 1 一 3 2  一 ( , ) ( , ) ( ,)  34一 38一 35 .

笔者先证明这个 条件是充分 的, 再对满  足条件 的任意 ( , ) 口 b 构造 一般 的跳 跃方 式 .   下面首先证 明条件 的充分性 : 口和 b 若  
的公 共 奇 约 数 仅 为 1则 按 规 定 的两 种 方 式  , 能跳 跃到 ( , )  口b . 记 口=2口 ,  0 b=2b , 中 , n b 奇  s0 其 口 、 0是 数 ,、 是非 负 整数 . i 因为 口和 b的公 共 奇 约 
. 

从 (,) 11出发 到 (0 ,) 206 的路径 为 :  
(,) ( ,) ( , ) ( ,) ( , ) 1 1 一 1 2 一 1 4 一 1 3 一 1 6  一 ( , ) ( , ) ( , ) (6 6 一 ( 0 6  26一 4 6 一 86 一 1, ) 1, ) 一 (0 6 一 (0 6 一 ( 0 6 一 ( 6 , )   2,) 4, ) 8, ) 10 6 一

数 是 l所 以 ,。和 b , 口 。的最 大公 约数 是 1 由  . ( 。 b) ( 口 ,。一 前数 乘  次 2一 ( ) 后数 乘  次 2  )

(06 一 ( 面的数反复减 2 3 ,) 2 前 0次 6 一  )
(0 ,)  20 6 .

一 ( , )知要证明充分性 , 口 b, 只要证明能跳跃 
到 ( 。 b) 可 . 口 =b 口 ,。 即 当 。 。时 , 然 成 立 . 显 当 
口 ≠b 0 0时 , r =m x 口 , 0 ,1 i { 0  记 0 a { 0 b ) r =m n 口 , ’

2 不能 到达 点 (2 6) (0 ,)  ) 1 ,o 和 2o5 . 因为 口和 b的公 共 奇 约数 等 于 口和 2  6

的公共奇约数等于 2 口和 b的公共奇约数 , 所 
收稿 日期 :O 7 1 5 2O —1 —1 

b} 由辗 转相 除法 知  。,
t  " 0 1   q1+  2,  2< ; 0<  1 

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2O O8年第 5 期 
r 1= r q 2 2+ r , 3 0< r 3< r   2;

1  9

跃到(m ,,  , r一 r一)再将后数乘  次 2   m 得到 
( m 2 r 一 ?  =( m 2 r 一) r一 ,, 12 ) r一 ,m 1 . m  

rn



2 :

r n



1 n 1+ r 0< r   一 q n, n< r 一   n 1;

(i当 r一 r 都是偶数 时, i)    m i 因为 


, n



1 一

,   n ? n  

r m



2=

rm



1 m一   q 1+ r   m,

由 0和 b 。 。的最大 公约数 是 1 g=1 得 n .   设 2 <r一≤2(EN+ . +   n1 ‘t )则  

所以,m 也是偶数 , r一   依此类推得到 口 。  b 都  是偶数 , 0 和 b 互质矛盾 . 与 。 。   因为题设规定 的两种方式对于前数和后  数的变换是相同的, 所以 , 类似得到从 ( , ) 11   能 跳跃 到 ( 一, ) 从 (m  r ) 跳 跃 到       , r一,m 能
(m 1 r一 ) r一 ,  2 .  

(,) ( 11一 后数乘 t 2 一 ( ,‘一 ( 次 ) 12) 后  数减 2 一r   1一 ( , 一)   , 一) ‘ n 次 ) 1 r   =(     . 一 n   接下来证 明对任意整数 m且 2 ≤m≤r  t , 从 (m r一) r,m  能跳跃到(m: r一) r一 ,   . m  
分 三种 情况 :  

( 当 r一 i ) m 是奇数时 ,   由欧拉定理得 
2 m1;lm d r一 )   r ’ ( o m 1 , 一

综上所述 , 若  和 b的公共奇约数仅为  1则 按规 定 的两 种 方 式 能 跳 跃 到 ( , )此  , 0b. 外, 对任意 ( , )一般的跳跃方式可以从上  0b,
面 的证 明过 程 中得 到 . 筒述 如下 :  

其 中 , ( 是 欧拉 函数 .    )   又 因为  一一r( o    , 以 ,   m m dr一)所  

1利用 辗转 相除法 求 出 0 , 。 r,  . 。 b,o r,  


, rn ?  

rm

2三   ‘ r 一1 r   m ’




( o m 1 , m d r 一) 

其 中, P是正 整数 , 满足 r一 p ‘- r   且 m <2’r - m.  m )
记 r 一 =2‘ r 1r   2 p ‘一’m—A m 1 ,其 中 ,  m r A是 


2 当 n是 奇数 且 0 >b 时 , . 。 。  
( ,1 —   一   )  ( 一 , 一 ) 1 )  (  , —        一  ( 一 , 一 ) …一 ( o r) ( , )    3    一 r ,  一 0 b .

正整数 . 则  ( ,  一 ( 数乘 P  (   次 2 一  r r一) 前 ? r一) )
(m  ‘ r ,  ) ( 数 减 A次 r一) r?   m r一 一 前 ‘— m  一 
(  2 r一 ) r 一 ,m 1 .  

当n 是奇数且 0 <b 时, 。 。  
( , )  ( , 一 )  ( 一 , 一 )一  1 1 —       —        。

(    一) …一 (】r) ( , )  一, 3一 r,0一 0 b .  

当n 是偶数且  >b 时, 。 。  
( , )  ( , 一 —   一 , 一 )   1 1 —      )  (      — (    一) …一 (o r) ( , )  一 , 3一 r ,  一 口 b .  

( ) r一是偶数 , i 当 m, i r  是奇数 时, r一 记 m 


2r   


 



其 中, 是正整数 , 一是奇数 .       因为 

r是 奇数时 , m 由欧拉定理得  ‘  (  m . r ;lt r) m md  

当 n是偶数且 0 <b 时 , 。 。  
( ,1 —   一 , )  ( 一 , 一 — 1 )  (    —       )   ( 一 , 一 ) …一 ( 1 r) ( , )    3 2一   r ,o 一 0 b .

取g 【 】 l 以  =   +’ , 所
r  

12‘‘  一 墨 ?  r       m
一 -

12‘‘   E "   r m  


Ⅱ ) lr   0 1( dm,

将 结论 推 广 , 可得 到 :  



r 一 :2 ‘ ’ r 一 一 m , 1   r 一 m1   m 

,  

其中 , 曰是 正整 数 . 于是 ,  

若 是质数 , 将题设中的方式 ①改成 能  从任意一点 ( , ) 0 b 跳到点 ( , ) ( ,6 ;   b或 0 |) j   } 方式②不变 , 则从 (,) 11开始能跳到点 ( , ) 0 b  的充要条件是 0 b除  外不含其他 的公 共  、 质 因子 .   证明方法与前面类似 , 不赘述 .  
参考文献 :  
[ ] 2O 年全 国初 中数 学竞赛浙 江赛 区复赛试题 [] 中  1 O6 J.
学教研 ( 数学版 )20 ( ) . 6 6 .  

(  r一) ( r ,m 一 后数乘 q (m 一 次 2    ? r)     )

一 (m r一?  r   一 ( r,  2‘ m ) 后数减 B次 r)   叭卜  一 
(m r一 ) r , ,  . m  

因为r— I 1 r一;r( o  一)故  , l r一, 2 m m dr 1 , m       
r 


2   m d r 一)  三r ( o , 1 . m

由第一种情况讨论得 到 (m r ) r ,  能跳 


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