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函数单调性讲课


函数的单调性
授课人;刘安强

学习目标
(1)从形与数两方面理解单调性的概念 (2)初步学会利用函数图象和单调性定义判 断、证明函数单调性的方法

六、教学过程设计
问题1:分别作出函数y=2x,y=-2x和y=x2+1的图 象,并且观察函数变化规律?
y
2 1 -2 -1 O 1

2

y=2x y= -2x
x
-2 -1

y
2 1 O 1 2

y

y=x2+1

1

x

O

1

-1 -2

-1 -2

x

增函数、减函数 问题2 ? ?

单调性是局部性质

?例1:下图是定义在[-5,5]上的函数y=f(x)的图象, 根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区 间上, y=f(x)是增函数还是减函数.

y
3 -2 -5 -4 -3 -1

2 1
O1 -1 -2 2 3 4 5

x

函数的单调性
y
1

y=x2+1
1

O

x

问题三: 以y=x2+1在 (0,+∞)上单调性为 例,如何用精确的数 学语言来描述函数的 单调性?

1 能否说f(x)= 在它的定义域上是减函数? x

y

o

O

x

函数在定义域内的两个区间 A,B上都是增(减)函数, 那么函数在A∪B上也是增 (减)函数 吗

例1:证明函数 f ( x) ? x ? 1 在(0,+∞ )上是增函数
2

证明:任取 x1 , x 2 ? (0,??) 且 x1 ? x 2

△x ? x2 ? x1 ? 0 2 2 △y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)

? x2 ? x ? ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 )
2 2 1

? x2 ? x1 ?△x ? 0,x1 ? x2 ? 0 ? y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 △
∴函数

f ( x) ? x 2 ? 1

在(0,+ ∞)上是增函数

1 例2:判断函数 f ( x ) ? x ? x 在(0,+∞)上的单调性

思考 如果把(0,+∞)条件去掉,如何解这道题? (作业)

作业 1、证明:函数 f ( x) ? x 在区间[0,+∞) 上是增函数。
1 2、求函数 f ( x ) ? x ? 的单调区间 x


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