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江苏省海门市2014届高三第一次诊断考试数学试题(含答案)

时间:2013-12-31


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2014 届高三第一次诊断考试 数学 I
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........ 1.设集合 A ? {x | log 2 x ? 2, x ? Z } ,则集合 A 共有 ▲ 个子集. 2.已知角 ? 的

终边过点 P(?4,3) ,则 sin ? ? 2 cos ? 的值是 ▲ . 3.已知 sin(? ?

?
12

)?

2 7? ,则 cos(? ? ) 的值等于 5 12

▲ .

4.已知集合 A ? {x | y ? lg(2 x ? x 2 )} , B ? { y | y ? 2 x , x ? 0} ,则 A ? B ? = ▲ .
1 5.已知函数 f ( x) 是定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的偶函数,在 (0, ??) 上单调递减,且 f ( ) ? 0 , 2 f (? 3) ? 0 ,则函数 f ( x) 的零点个数为 ▲ 个.

6.给出如下命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p, q 均为假命题; ②命题“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ? b, 则2a ? 2b ? 1 ”; ③命题“ ?x0 ? R, 2 x0 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 2 x ? 0 ”; ④ a ? 5 ” 是 “ ?x ? [1, 2], x 2 ? a ? 0 恒成立”的充要条件. “ 其中所有正确的命题的序号是 ▲ . 1 7.已知 sin ? ? ? ,则 cos(? ? 2? ) 的值等于 ▲ . 3 8.已知 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ,g ( x) ? kx ? 1 ,则“ k ? 2 ”是“ f ( x) ? g ( x) 在 R 上恒成立”的 ▲ 条件. (填“充分不必要、必要而不充分、充要、既不充分也不必要”之一) a 1 9.已知函数 f ( x) ? ln x ? , x ? (0, 4] ,若 y ? f ( x) 图像上任意一点的切线的斜率 k ? 恒成 x 2 立, 则实数 a 的取值范围是 ▲ . 10.设函数 f ( x) ?
ln x 在区间 (a, a ? 2) 上单调递增,则 a 的取值范围为 x

▲ .

3 3 11.已知函数 f ( x) ? x sin x, x ? [? , ] ,若 f (3a ? 1) ? f (2a ? 1) ,则 a 的取值范围为 ▲ . 2 2

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? 12.已知函数 f ( x) ? ?log ( x ? 1), x ? 0, 若 ?x ? R, f ( x) ? ax ? 2(a ? R) ,则 a 的最大值为 ▲ . ? 1 ? 2

13.已知 a, b, c ? R , 2a ? 3b ? 6c , 14.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

a?b ? (n, n ? 1), n ? Z ,则 n ? c 在区间? 0, 4? 上的最大值为

▲ .
7 ,则 a 的值为 10

x?a x ? 2a

▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)
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已知 ? , ? ? (0, ? ) ,且 sin(? ? 2 ? ) ? 7 sin ? . 5 2 (1)求证: tan(? ? ? ) ? 6 tan ? ; (2)若 tan ? ? 3tan ? ,求 ? 的值.

16. (本小题满分 14 分)

? 设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? a sin x cos x ? sin x ? cos x, x ? [0, ] 的最大值为 g(a). 2 ? (1)设 t ? sin x ? cos x, x ? [0, ] ,求 t 的取值范围,并把 f ( x) 表示为 t 的函数 m(t ) ; 2 (2)求 g(a).

17. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) 和 g ( x) 是定义在集合 D 上的函数,若 ?x ? D, f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) ,则称函数 f ( x) 和 g ( x) 在集合 D 上具有性质 P( D) . 1 (1)若函数 f ( x) ? 2 x 和 g ( x) ? cos x ? 在集合 D 上具有性质 P( D) ,求集合 D ; 2 x (2)若函数 f ( x) ? 2 ? m 和 g ( x) ? ? x ? 2 在集合 D 上具有性质 P( D) ,求 m 的取值范围.
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18. (本小题满分 16 分) 某地发生某种自然灾害,使当地的自来水受到了污染.某部门对水质检测后,决定往水中 投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为 m 个单位的药剂后,经过 x 天该药剂在水中
?log 2 ( x ? 4), 0 ? x ? 4 ? 释放的浓度 y (毫克/升)满足 y ? m f ? x ? ,其中 f ? x ? ? ? 6 ,当药剂在 ?x ? 2,x ? 4 ?

水中释放的浓度不低于 6(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于 6 .... (毫克/升)且不高于 18(毫克/升)时称为最佳净化. .... (1)如果投放的药剂质量为 m ? 4 ,试问自来水达到有效净化一共可持续几天? .... (2)如果投放的药剂质量为 m ,为了使在 7 天(从投放药剂算起包括第 7 天)之内的自来 水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量 m 的取值范围. ....

19. (本小题满分 16 分)
1 1 设 a ? R ,函数 f ( x) ? x3 ? (2a ? 1) x 2 ? (a 2 ? a) x . 3 2 ?( x) f (1)若函数 g ( x) ? ( x ? 0) 为奇函数,求 a 的值; x (2)若函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得极小值,求 a 的值; (3)若 a ? ?1 ,试求 x ? [0,1] 时,函数 f ( x) 的最大值.

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20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? 3x ? 3)e x , x ? [?2, a], a ? ?2 ,其中 e 是自然对数的底数. (1)若 a ? 1 ,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; 13 (2)求证: f (a) ? 2 ; e (3) 对于定义域为 D 的函数 y ? g ( x) , 如果存在区间 [m, n] ? D , 使得 x ? [m, n] 时,y ? g ( x) 的值域是 [m, n] ,则称 [m, n] 是该函数 y ? g ( x) 的“保值区间”. 设 h( x) ? f ( x) ? ( x ? 2)e x , x ? (1, ??) ,问函数 y ? h( x) 是否存在“保值区间”?若存在,请 求出一个“保值区间”; 若不存在,请说明理由.

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2014 届高三第一次诊断考试 数学 II(附加题)
请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ........ 21. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? lg(2 ? x) ? lg(2 ? x) . (1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)记函数 g ( x) ? 10 f ( x ) ? 3x ,求函数 g ( x) 的值域.

22. (本小题满分 10 分)
? 3 ? 设 ? 为锐角,若 cos(? ? ) ? ,求 cos(2? ? ) 的值. 4 5 6

23. (本小题满分 10 分) . 2 (1)求函数 g(x)的解析式,并写出当 a=1 时,不等式 g(x)<8 的解集; (2)若 f(x),g(x)同时满足下列两个条件:① ?t ? ?1, 4? ,使 f (?t 2 ? 3) ? f (4t ) ;
a?2

已知函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ax ? 1 , g (log 2 x) ? x 2 ?

x

② ?x ? (??, a], g ( x) ? 8 .求实数 a 的取值范围.

24. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , g ( x) ? e ax ? 3x ,其中 a ? R . (1)求 f ( x) 的极值; (2)若存在区间 I ,使 f ( x) 和 g ( x) 在区间 I 上具有相同的单调性,求 a 的取值范围.

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海门市 2014 届高三第一次调研考试 数学 I 参考答案与评分标准
2 7 1. 8;2. ?1 ;3. ? ;4. (1, 2) ;5. 2;6. ②③;7. ? ;8. 充分不必要;9. [4, ??) ; 5 9 1 1 10. [0, e ? 2] ;11. [? , 0) ;12. 2 2 ? 2 ;13. 4;14. . 4 2 15. (1)证明:? sin(? ? 2 ? ) ? 7 sin ? , 5 ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? 7 sin[(? ? ? ) ? ? ] , 5 ? sin(? ? ? )cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? 7 [sin(? ? ? )cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ] , 5 ………4 分 ? sin(? ? ? )cos ? ? 6cos(? ? ? )sin ? ① ? ? , ? ? (0, ? ),?? ? ? ? (0, ?) , 2 若 cos(? ? ? ) ? 0 ,则由① sin(? ? ? ) ? 0 与 ? ? ? ? (0, ?) 矛盾, ………5 分 ? cos(? ? ? ) ? 0 , ………7 分 ? ①两边同除以 cos(? ? ? ) cos ? 得: tan(? ? ? ) ? 6 tan ? ; tan ? ? tan ? ? 6 tan ? , (2)解:由(1)得 tan(? ? ? ) ? 6 tan ? , ………10分 1 ? tan ? tan ? 4 tan ? 1 ? 2 tan ? ? tan ? ? 3tan ? ,? tan ? ? tan ? ,? 3 1 3 1 ? tan 2 ? 3 ? ………14分 ? ? ? (0, ? ) ,? tan ? ? 1 ,从而 ? ? . 2 4 ? 16. 解: (1) t ? sin x ? cos x ? 2 sin(? ? ), 4 ? ? ? 3? ? x ? [0, ],? x ? ? [ , ] , 2 4 4 4 2 ? ? ? sin(? ? ) ? 1 ,?1 ? t ? 2 ,即 t 的取值范围为 [1, 2] , ………3 分 2 4 ? (另解: x ? [0, ] , t ? sin x ? cos x ? 1 ? sin 2 x , 2 x ? [0, ? ] 得 0 ? sin 2 x ? 1 , 1 ? t ? 2 ) 由 ? ? ? 2 t2 ?1 , ………5 分 ? t ? sin x ? cos x ,? sin x cos x ? 2 t2 ?1 1 1 ? m(t ) ? a ? ? t ? at 2 ? t ? a, t ? [1, 2] , a ? 0 ; ………7 分 2 2 2 (2)由二次函数的图象与性质得: 1 1? 2 1 ①当 ? ,即 a ? 2( 2 ? 1) 时, g (a) ? m( 2) ? a ? 2 ; ………10 分 a 2 2 1 1? 2 ②当 ? ,即 0 ? a ? 2( 2 ? 1) 时, g (a) ? m(1) ? ? 2 ………13 分 a 2 ?1 ? a ? 2, a ? 2( 2 ? 1), ? g (a) ? ? 2 ………14 分 ? ? 2,0 ? a ? 2( 2 ? 1). ?

17. 解: (1)? f ( x) ? 2 x , g ( x) ? cos x ?

1 , 2
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1 1 ? 由 f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 得: 2(cos x ? ) ? cos 2 x ? , 2 2 2 变形得: 4cos x ? 4cos x ? 3 ? 0 , 1 3 , ? cos x ? ? 或 cos x ? (啥去) 2 2 2? ? x ? 2k? ? ,k ?Z , 3 2? ? ? ? D ? ? x x ? 2k ? ? ,k ? Z ? ; 3 ? ?

………2 分

………5 分

………7 分

(2)? f ( x) ? 2 x ? m , g ( x) ? ? x ? 2 ,
? 由 f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 得: 2? x ? 2 ? m ? ?(2 x ? m) ? 2 , 4 变形得: 2 ? 2m ? 2 x ? x , 2 4 ? D ? ? ,且 2 x ? x ? 4 , 2 ? 2 ? 2m ? 4 ,? m ? ?1 ,即 m 的取值范围为 (??, ?1] .

………9 分

………14 分

(其它解法参照上述评分标准给分) 18. 解: (1)由题设:投放的药剂质量为 m ? 4 , 自来水达到有效净化 ? 4 f ( x) ? 6 ....
? f ( x) ?

………2 分

3 2 ?x ? 4 ?0 ? x ? 4 ? ? ………4 分 ?? 3 3 或? 6 ?log 2 ( x ? 4) ? 2 ? x ? 2 ? 2 ? ? ? 0 ? x ? 4 或 4 ? x ? 6 ,即: 0 ? x ? 6 , 亦即:如果投放的药剂质量为 m ? 4 , 自来水达到有效净化一共可持续 6 天; ………8 分 ....

(2)由题设: ?x ? (0,7],6 ? mf ( x) ? 18 , m ? 0 ,
?log 2 ( x ? 4),0 ? x ? 4 ? , ? f ? x? ? ? 6 ?x ? 2,x ? 4 ?
??x ? (0, 4], 6 ? m log 2 ( x ? 4) ? 18 ,且 ?x ? (4, 7], 6 ?

………10 分

6m ? 18 ,………12 分 x?2

?6 ? 2m ? 6 ? m?6 且 ?5 , ?? ?3m ? 18 ?3m ? 18 ? ?3 ? m ? 6 , ?5 ? m ? 6 , ?? ?5 ? m ? 6

………14 分

亦即:投放的药剂质量 m 的取值范围为 [5, 6] . 19. 解: (1) f ?( x) ? x ? (2a ? 1) x ? (a ? a) , f ?( x) a2 ? a g ( x) ? ? x? ? (2a ? 1), x ? 0 , x x f ?( x) ? g ( x) ? ( x ? 0) 为奇函数, x ??x ? 0, g (? x) ? g ( x) ? 0 ,即 2a ? 1 ? 0,
2 2

………16 分 ………1 分

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1 ?a ? ? ; 2 (2) f ?( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? (a 2 ? a) ? ( x ? a)[ x ? (a ? 1)] x (??, a)

………4 分

………5 分
(a, a ? 1)
?

(a ? 1, ??)
?

f ?( x)

?

? f ( x) 在 x ? a ? 1 处取得极小值,在 x ? a 处取得极大值, ………7 分

由题设 a ? 1 ? 2 ,? a ? 1 ; ………8 分 (另解:由 f ?(2) ? 0 得: a 2 ? 3a ? 2 ? 0 ,? a ? 1 或 a ? 2 ,再验证得 a ? 1 ) (3)由(2)知: 1 ① a ? 1 时, f ( x) 在 [0,1] 上是增函数,?[ f ( x)]max ? f (1) ? a 2 ? ;………10 分 6 ② a ? 0 时, f ( x) 在 [0,1] 上是减函数,?[ f ( x)]max ? f (0) ? 0 ; ………11 分 ③ 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 [0, a] 上是增函数, f ( x) 在 [a,1] 上是减函数, 1 1 ………13 分 ?[ f ( x)]max ? f (a) ? a 3 ? a 2 ; 3 2 ④ ?1 ? a ? 0 时, f ( x) 在 [0, a ? 1] 上是减函数, f ( x) 在 [a ? 1,1] 上是增函数,
? f (1) ? f (0) ? a 2 ? ? (i ) ? 1 ? a ? ? (ii ) ? 1 6 6 ? (a ? )(a ? ), 6 6 6

6 1 时, f (1) ? f (0) ,?[ f ( x)]max ? f (1) ? a 2 ? ; 6 6

6 ? a ? 0 时, f (1) ? f (0) ,?[ f ( x)]max ? f (0) ? 0 ; 6 ? 2 1 6 或a ? 1, ?a ? , ?1 ? a ? ? 6 6 ? ? 6 ? 综上:?[ f ( x)]max ? 0, ? ? a ? 0, 6 ? ?1 3 1 2 0 ? a ? 1. ?3a ? 2 a , ? ? 20. 解: (1) f ?( x) ? ( x 2 ? x)e x ? x( x ? 1)e x , x ? [?2, a], a ? ?2 , x (??, 0) (0,1) (1, ??)

………15 分

………16 分

f ?( x)

?

?

?

………2 分 由表知道: ① ?2 ? a ? 0 时, x ? (?2, a) 时, f ?( x) ? 0 , ………3 分 ? 函数 y ? f ( x) 的单调增区间为 (?2, a) ; ② 0 ? a ? 1 时, x ? (?2,0) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 , ? 函数 y ? f ( x) 的单调增区间为 (?2,0) ,单调减区间为 (0, a) ;………4 分 (2)证明: f (a) ? (a 2 ? 3a ? 3)e a , a ? ?2

f ?(a) ? (a 2 ? a)e a ? a(a ? 1)e a , a ? ?2 , a (?2,0) (0,1)
f ?(a)
?
?

(1, ??)
?

[ f (a )]极小值 =f (1) ? e

………6 分

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5 ( )3 ? 13 13 e3 ? 13 ? f (1) ? f (?2) ? e ? 2 ? ? 2 2 ?0 e e2 e ? f (1) ? f (?2) 由表知: a ? [0, ??) 时, f (a) ? f (1) ? f (?2) , a ? (?2,0) 时, f (a) ? f (?2) , 13 ? a ? ?2 时, f (a) ? f (?2) ,即 f (a ) ? 2 ; e x 2 x (3) h( x) ? f ( x) ? ( x ? 2)e ? ( x ? 2 x ? 1)e , x ? (1, ??) ,

………7 分

………8 分

h?( x) ? ( x 2 ? 1)e x , x ? (1, ??) , ? x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , ? y ? h( x) 在 (1, ??) 上是增函数,
?n ? m ? 1 ? 函数 y ? h( x) 存在“保值区间” [m, n] ? ?h(m) ? m ? h( n) ? n ?

………9 分

? 关于 x 的方程 h( x) ? x 在 (1, ??) 有两个不相等的实数根,………11 分
令 H ( x) ? h( x) ? x ? ( x 2 ? 2 x ? 1)e x ? x, x ? (1, ??) , 则 H ?( x) ? ( x 2 ? 1)e x ? 1, x ? (1, ??) ,

[ H ?( x)]? ? ( x 2 ? 2 x ? 1)e x , x ? (1, ??)
? x ? (1, ??) 时, [ H ?( x)]? ? ( x 2 ? 2 x ? 1)e x ? 0 , ? H ?( x) 在 (1, ??) 上是增函数,

? H ?(1) ? ?1 ? 0, H ?(2) ? 3e2 ? 1 ? 0 ,且 y ? H ?( x) 在 [1, 2] 图象不间断, ………13 分 ??x0 ? (1, 2), 使得 H ?( x0 ) ? 0 , ? x ? (1, x0 ) 时, H ?( x) ? 0 , x ? ( x0 , ??) 时, H ?( x) ? 0 , ? 函数 y ? H ( x) 在 (1, x0 ) 上是减函数,在 ( x0 , ??) 上是增函数, ? H (1) ? ?1 ? 0 ,? x ? (1, x0 ], H ( x) ? 0 , ? 函数 y ? H ( x) 在 (1, ??) 至多有一个零点, 即关于 x 的方程 h( x) ? x 在 (1, ??) 至多有一个实数根, ………15 分 ………16 分 ? 函数 y ? h( x) 是不存在“保值区间”. (其它解法参照上述评分标准给分)

海门市 2014 届高三第一次调研考试 数学 II 参考答案与评分标准
?2 ? x ? 0 21. 解: (1)由 ? 得 ?2 ? x ? 2 , ?2 ? x ? 0 ? 函数 f ( x) 的定义域为 (?2, 2) ;

………5 分
2

? 3x ? (2 ? x)(2 ? x) ? 3x ? ? x ? 3x ? 4, x ? (?2, 2) , 3 25 25 ,? 函数 g ( x) 的值域为 (?6, ] . ………10 分 g (?2) ? ?6, g ( ) ? 2 4 4 ? ? ? ?? 22. 解:?? ? (0, ) ,?? ? ? ( , ) , 4 4 4 2 ? 3 ? 4 ………2 分 ? cos(? ? ) ? ,? sin(? ? ) ? , 4 5 4 5
f ( x)

(2) g ( x) ? 10

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? 24 ? 7 , cos 2(? ? ) ? ? ? sin 2(? ? ) ? 4 25 4 25

………6 分

? cos(2? ?

?

6

) ? cos[2(? ?

?

4

)?

?

3

]

1 ? 3 ? ? cos 2(? ? ) ? sin 2(? ? ) 2 4 2 4 ?7 ? 24 3 . ? 50 (其它解法参照上述评分标准给分) 23. 解: (1)令 t ? log 2 x ,则 x ? 2t , x ? g (log 2 x) ? x 2 ? a ? 2 ,? g (t ) ? 22t ? 2t ? 2 ? a 2 ? g ( x) ? 22 x ? 2 x ? 2 ? a ,

………10 分

………2 分 ………4 分
a 2 ………6 分

当 a=1 时,不等式 g ( x) ? 8 ? 22 x ? 2 x ?1 ? 8 ? (2 x ? 2)(2 x ? 4) ? 0 ,

? 2 x ? 4 ,? x ? 2 ,即不等式 g(x)<8 的解集为 (??, 2) ;
(2)? f ( x) ? 2 x ? ax ? 1 ,
2

? 由① ?t ? [1, 4] , f (?t 2 ? 3) ? f (4t ) 得: ?t ? [1, 4] , (?t 2 ? 3) ? 4t ? ?

即 ?t ? [1, 4] , a ? 2(t ? 2)2 ? 2 ,? a ? [?2, 6] ; 4 8 由② ?x ? (??, a], g ( x) ? 8 得: ?x ? (??, a], a ? 2 x ? x 2 2 8 8 令 ? ? 2 x , x ? (??, a] ,则 y ? 2 x ? x ? ? ? , ? ? (0, 2a ] , 2 ? 8 8 易知函数 y ? ? ? 在 (0, 2a ] 上是增函数,? ymax ? 2a ? a , ? 2 4 8 1 ………9 分 ? a ? 2a ? a ,? 2a ? 2 3,? a ? 1 ? log2 3 , 2 2 2 1 综上,实数 a 的取值范围为 [?2,1 ? log 2 3) . ………10 分 2 1 ax ? 1 x 24. 解: (1) f ?( x) ? a ? ? , ? 0, a ? R x x ① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, 从而 f ( x) 没有极大值,也没有极小值. ………2 分 1 ② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? , a 1 1 x (0, ) ( , ??) a a ? f ?( x) ? 1 ………4 分 ? f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 1 ? ln a ;没有极大值; a (2) g ?( x) ? ae ax ? 3, x ? (??, ??), a ? R

(10 ) 当 a ? 0 时,显然 g ?( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在 (??, ??) 上单调递增, 1 由(1)得,此时 f ( x) 在 ( , ??) 上单调递增,符合题意;………5 分 a 0 (2 ) 当 a ? 0 时, g ( x) 在 (??, ??) 上单调递增, ………6 分 f ( x) ? ? ln x 在 (0, ? ?) 上单调递减,不合题意.
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1 3 (30 ) 当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 ,则 x ? ln(? ) , a a 1 3 1 3 (??, ln(? )) ( ln(? ), ??) x a a a a

g ?( x)

?

?

? a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,
1 3 ? 由题设得: ln(? ) ? 0 ,? a ? ?3 a a

………9 分 ………10 分

综上 a 的取值范围是 (??, ?3) ? (0, ??) .

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