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浙江省嘉兴市2016届高三上学期期末考试数学(文)试题(图片版)


1

2

3

4

5

6

嘉兴市 2015~2016 学年第一学期期末检测 高三文科数学
1.B; 5.D; 2.B; 6.C; 3.A; 7.D; 4.B; 8. C.

参考答案

(2

016.1)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分)

二、填空题: (本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 9. 11. 13.

? ,?
1,2
2 14 7

3 2

10. 2,25 12.
3 ,1 ? 3 ? 7 3

14. [ 15. [

8 5 , 10] 5

3 ,1] 3

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? (Ⅰ)求 cos

3 ab . 2

C 的值; 2

(Ⅱ)若 c ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值.
3 ab a 2 ? b2 ? c 2 3 2 ? ? , 解: (Ⅰ)由余弦定 理得: cos C ? 2ab 2ab 4

(3 分) (5 分)

∴c o C s ? 2c o 2 s ∴ cos

C 3 ?1 ? . 2 4
14 4

C 14 C C ? ?? , ∵ ? (0, ) ,∴ cos ? 2 4 2 2 4

(7 分)

(Ⅱ)若 c ? 2 ,则由(Ⅰ)知: 8 ? 2(a 2 ? b 2 ) ? 3ab ? 4ab ? 3ab ? ab , (10 分)
C? 又s i n
学+科+网 Z+X+X+K]

7 , 4

(12 分)

[来源:

7

∴ S ?ABC ?

1 1 7 ab sin C ? ? 8 ? ? 7, ( a ? b ? 2 2 时取等号) 2 2 4

即 ?ABC 面积的最大值为 7 .

(14 分)

17. (本小题满分 15 分) 已知数列 {a n } 中 a1 ? 3 ,其前 n 项和 S n 满足 S n ? (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ) 设 {bn } 是公差为 3 的等差数列, 现将数列 {a n } 中的 a b1 , a b2 , ?, a bn ? 抽出, 按 b1 ? 1 . 原有顺序组成一新数列 {c n } ,试求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn . 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? ∵ Sn ? ∴ S n?1 ?
[来源:学科网]

1 3 a n?1 ? . 2 2

1 3 a 2 ? ? 3 ,∴ a 2 ? 9 2 2

(2 分)

1 3 ? a n ?1 ? , 2 2

1 3 ? a n ? , (n ? 2) , 2 2 a 相减得: n ?1 ? 3 ( n ? 2) ,∴ a n ? a 2 ? 3 n? 2 ? 3 n , an
当 n ? 1 时,符合 a n ? 3 n , 所以 a n ? 3 n . (Ⅱ) bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 2 ,

(5 分) (6 分) (7 分) (9 分) (12 分)

cn ? abn ? a3n?2 ? 3 3n?2
∴ {c n } 是以 3 为首项,以 27 为公比的等比数列,
Tn ? 3(1 ? 27 n ) 3 ? ( 27 n ? 1) 1 ? 27 26

(15 分)

18. (本小题满分 15 分) 如图,边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与 ?CDE 所在的平面交于 CD , 且 AE ? 平面 CDE , AE ? 1 . (Ⅰ)求证: CD ? 平面 ADE ; (Ⅱ)求 BE 与平面 ABCD 所成角的余弦值. 解: (Ⅰ)证明:∵正方形 ABCD ,∴ AD ? CD (2 分) ∵ AE ? 平面 CDE , ∴ AE ? CD , (5 分)
8

B

A
F

C

E

D
第 18 题

又∵ AE ? AD ? A , ∴ CD ? 面 A D E , (7 分) (Ⅱ)过 E 作 EF ? AD交 AD 于 F ,连 BF , ∵ CD ? 面 ADE , CD ? EF , CD ? AD ? D ∴ EF ? 平面 ABCD , (9 分) (12 分)
17 , 2

∴ ?EBF 为 BE 与平面 ABCD 所成的角,
BE ? 5 , EF ?
3 1 , AF ? ,∴ BF ? 2 2

BF cos ?BEF ? ? BE

17 2 ? 85 10 5

(15 分)

19. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? ? x | x ? a | ?1( x ? R) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求使 f ( x ) ? x 成立的 x 的值; (Ⅱ)当 a ? (0,3) ,求函数 y ? f ( x ) 在 x ? [1,2] 上的最大 值. 解: (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x ) ? ? x | x ? 1 | ?1 ① x ? 1 时, ? x( x ? 1) ? 1 ? x , ∴ x 2 ? 1 , x ? ?1 ,∴ x ? 1 ② x ? 1 时, ? x(1 ? x ) ? 1 ? x , x ? 1 综上: x ? 1 ; 无解 (6 分) (3 分)

?? x 2 ? ax ? 1( x ? a ) (Ⅱ)当 f ( x ) ? ? 2 ,作出示意图, ? x ? ax ? 1( x ? a )
① 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [1,2] 上递减,故 f ( x ) max ? f (1) ? a ; (9 分)
[来源:学 .科 .网]

② 当 1 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [1, a ] 上递增, [a ,2] 上递减,故 f ( x ) max ? f (a ) ? 1 ; (12 分)

a a ③ 当 2 ? a ? 3 时, f ( x ) 在 [1, ] 上递减, [ ,2] 上递增, 2 2
且x?

a 3 ? 是函数的对称轴,故 f ( x ) max ? f (2) ? 5 ? 2a ; 2 2
(15 分)

? a (0 ? a ? 1) ? 综上: f ( x ) ? ? 1 (1 ? a ? 2) . ?5 ? 2a ( 2 ? a ? 3) ?

9

20. (本小题满分 15 分)

已知抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,抛物线的焦点到直线 l : y ? 2 x ? 2 的距离 为
4 5 . 5

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程;
1) 作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A, B , ) (Ⅱ) 设点 R(x 0 ,2 在抛物线 C 上, 过点 Q(1,

若直线 AR, BR 分别 交直线 l 于 M , N 两点,求 MN 最小时直线 AB 的方程. 解: (Ⅰ)抛物线的焦点为 (
d? p?2 5 ?

p ,0 ) , 2

y
M

4 5 ,得 p ? 2 5

B
Q
[来源:学科网 ZXXK]

R
x

∴ y 2 ? 4x

(6 分)

N
) (Ⅱ)点 R(x 0 ,2 在抛物线 C 上,
1,2 ) ∴ x 0 ? 1 ,得 R(

O

A
第 20 题

(7 分)

设直线 AB 为 x ? m( y ? 1) ? 1( m ? 0) ,

(8 分)

1 2 1 2 A( y1 , y1 ) , A( y 2 , y2 ) , 4 4
? x ? m ( y ? 1) ? 1 联立: ? y 2 ? 4x ?

得 y 2 ? 4my ? 4m ? 4 ? 0 ,

则 y1 ? y 2 ? 4m, y1 y 2 ? 4m ? 4 又设 AR : y ? 2 ?
y1 ? 2 4 ( x ? 1) ? ( x ? 1) , 1 2 y1 ? 2 y ?1 4

(10 分)

[来源:学科网 ZXXK]

4 ? 2 2 ( x ? 1) ?y ? 2 ? 联立: ? ,得 x M ? ? ,同理 x N ? ? y1 ? 2 y1 y2 ? y ? 2x ? 2 ?
∴ MN ? 5 x M ? x N ? 2 5

(12 分)

1 1 m2 ? m ? 1 m ? ?2 5 ? 2 5 1? 2 y 2 y1 m ?1 m ? 2m ? 1

? 2 5 1?

1 m?2? 1 m
(15 分)

当 m ? ?1 时, MN

min

? 15 ,此时直线 AB 方程: x ? y ? 2 ? 0 .
10


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