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湖北省枣阳市育才高中2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


湖北省枣阳市育才中学高二年级 2015-2016 学年度下学期期中考试 数学(文科) 试题
时间:120 分钟 分值 150 分_ 第 I 卷(选择题共 60 分) 一.选择题(本题有 12 个小题,每小题 5 分)

? x ? t sin 500 ? 1 ? 1.直线的参数方程为 ? (t 为参数),则直线的倾斜角为( ) 0 ? ? y ? ?

t cos 50
A. 400 B. 500 C. 1400 D. 1300 2 . 已 知 命 题 p : ?? ? R , 使 f (x) ? sin(x? ? ) 为 偶 函 数 ; 命 题 ( ) q : ?x ? R, cos 2 x ? 4sin x ? 3 ? 0 ,则下列命题中为真命题的是 A. p ? q B. (?p ) ? q C. p ? (?q ) 3.下面几个命题中,假命题是( ) A. “若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题; D. (?p ) ? (?q )

B. “ ?a ? (0, ? ?) ,函数 y ? a x 在定义域内单调递增”的否定; C. “ ? 是函数 y ? sin x 的一个周期”或“ 2? 是函数 y ? sin 2 x 的一个周期” ; D. “ x 2 ? y 2 ? 0 ”是“ xy ? 0 ”的必要条件. 4.下列函数中, x ? 0 是其极值点的函数是( A. f ( x) ? ? x
3

) C. f ( x) ? sin x ? x D. f ( x) ?

B. f ( x) ? ? cos x

1 x

x2 ? y 2 ? 1( a ? 0 )上有一点 ? ,过 ? 作两条渐近线的平行线, 2 a 且与两渐近线的交点分别为 ? , ? ,平行四边形 ???? 的面积为 1 ,则双曲线的离心率为
5.已知 ? 为原点,双曲线 ( ) B. 3 C. A. 2 6. 已知函数 f ? x ? ? ?

5 2

D.

2 3 3

?ax 2 , x ? e

?ln x, x ? e 的图象有三个交点,则实数 a 的取值范围是 A. ? ??, 2 ? B. ? ??, 2 ? C. ? 2e ?2 , ?? ?
2 2

, 其中 e 是自然对数的底数, 若直线 y ? 2 与函数 y ? f ? x ?

?2 D. ? ? 2e , ??

?

x y ? ? 1 的一条渐近线,P 是 l 上的一点,F1 , F2 是 C 的两个焦点, 2 4 ???? ???? ? 若 PF1 ? PF2 ? 0 ,则 P 到 x 轴的距离为
7. 已知 l 是双曲线 C :

2 3 2 6 (B) 2 (C) 2 (D) 3 3 x y 8.若 x, y ? R 且满足 x ? 3 y ? 2 ,则 3 ? 27 ? 1 的最小值是( )
(A) A. 3 3 9 B. 1 ? 2 2 C. 6 D. 7 2 9.已知抛物线 y=﹣x +3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B,则|AB|等于( ) A.3 B.4 C. D. 2 10.已知抛物线方程为 y =4x,直线 l 的方程为 x-y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距 离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为( )
1

(A)

+2

(B)

+1

(C)

-2

(D)

-1

11.已知 f ?( x) 是奇函数 f ( x) 的导函数, f (?1) ? 0 ,当 x ? 0 时, xf ?( x) ? f ( x) ? 0 , 则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是( ) A. (??,?1) ? (0,1) B. (?1,0) ? (1,??) C. (?1,0) ? (0,1) 12. 过椭圆 D. (??,?1) ? (1,??) 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 ,则椭圆离心率的取值范围是( ) D.

B,且点 B 在 x 轴上的 射影恰好为右焦点 F,若 A. B. C.

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.极坐标系下曲线 ? ? 4 sin ? 表示圆,则点 A(4, 14 .已知 x ? 0, y ? 0, 且 是 。
2

?
6

) 到圆心的距离为

.

2 1 ? ? 1 ,若 x ? 2 y ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围 x y

15.已知抛物线 C1 : y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P 为抛物线上一点, 且 | PF |? 3 ,双曲线 C 2 :

x2 y2 b ? 0) (a ? 0, 的渐近线恰好过 P 点, 则双曲线 C 2 的离心率为 ? ?1 a2 b2
16.设 f(x)=x -2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为________.
2

.

三、解答题(共 70 分) 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x 3 ? 3 | x ? a | (a ? 0) ,若 f ( x) 在 [?1,1] 上的最小值 记为 g (a ) . (1) 求 g (a ) ; (2)证明:当 x ? [?1,1] 时,恒有 f ( x) ? g (a ) ? 4 .

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x 在 x ? 1 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 0

1 2 x ? bx 2 (1)求实数 a 的值; (2)若函数 g ( x) 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; 7 (3)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 b ? ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值. 2
垂直,函数 g ( x) ? f ( x) ?

2

19. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx 的极小值为 ?8 ,其导函数 y ? f ?( x) 的 图像开口向下且经过点 (?2 , 0) , ( , 0) (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)方程 f ( x) ? p ? 0 有唯一实数解,求 p 的取值范围 (Ⅲ)若对 x ? [-3,3] 都有 f ( x) ? m 2 ? 14m 恒成立,求实数 m 的取值范围

2 3

20.如图已知,椭圆 椭圆相交于 A、B 两点. (Ⅰ)若∠AF1F2=60°,且 (Ⅱ)若 ,求

的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 的直线 l 与

,求椭圆的离心率; 的最大值和最小值.

x2 y2 2 ,点 A ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b 2 3 ( a ,0) , B (0, ?b ) ,原点 O 到直线 AB 的距离为 3 (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设点 C 为( ? a ,0) ,点 P 在椭圆 M 上(与 A 、 C 均不重合) ,点 E 在直线 PC 上, ??? ? ??? ? 若直线 PA 的方程为 y ? kx ? 4 ,且 CP ? BE ? 0 ,试求直线 BE 的方程.
21.设椭圆 M :

22.[选做题](本题 10 分,在 A.B.C 三题中选择一题,多选无效) A.选修 4—1:几何证明选讲 如图, 设 AB 为⊙O 的任一条不与直线 l 垂直的直径, P 是⊙O 与 l 的公共点, AC⊥l, BD⊥l, 垂足分别为 C,D,且 PC=PD, 求证: (1)l 是⊙O 的切线; (2)PB 平分∠ABD.

B 选修 4—5: 不等式选讲 求函数 f ( x) ?

2 x ? 1 ? 2 ? x 的最大值.
2 0 0 9 0 6 0 2

3

C(本小题满分 10 分)已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 ? 5 cos ? ( ? 为参数), ? ? y ? 1 ? 5 sin ?

以直角坐标系原点为极点,Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)若直线 l 的极坐标方程为 ? (sinθ +cosθ )=1,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.

参考答案 1.C 【解析】 试题分析:由参数方程为 ?
0 ? ? x ? t sin 50 ? 1 消 去 t 可 得 x ? 1 ? y tan 50? ? 0 , 即 0 y ? ? t cos 50 ? ?

所以直 线的倾斜角 ? 满足 tan ? ? ? cot 50? ? tan140? , 所以 ? ? 140? . y ? ? x cot 50? ? 1 , 故选 C. 考点:参数方程的应用;直线倾斜角的求法. 2.C 【解析】 试题分析:当

? ? k? ?

? 时 , 函 数 f ( x) 是 偶 函 数 , 故 命 题 p 是 真 命 题 ; 2

cos 2 x ? 4sin x ? 3 ? ?2sin 2 x ? 4sin x ? 2 ? ?2(sin x ? 1) 2 ? 0 ,故命题 q 是假命题,故选
C. 考点:复合命题的真假判断. 3.D 【解析】 试题分析:选项 A 的命题的否命题为“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ” ,该命题为真命题.选项 B
a b

的命题的否定为“ ?a ? (0, ??) ,函数 y ? a x 在定义域内不单调递增” , a ? (0,1] 该命题为 真命题.选项 C 是用“或”连接的复合命题,所以要两个命题都是假命题复合命题才是假命 题.由“ 2? 是函数 y ? sin 2 x 的一个周期”是真命题,所以 C 选项的命题是真命题.由于 “ x 2 ? y 2 ? 0 ”是“ xy ? 0 ”的充分不必要条件.所以 D 选项的命题不正确. 考点:1.命题的知识.2.命题的否定.3.否命题.4.函数知识.5.充要条件. 4.B
4

【解析】 试题分析:对于 A, f ?( x) ? ?3 x ? 0 恒成立,在 R 上单调递减,没有极值点;对于 B,
2

当 x ? (?? , 0) 时,f ?( x) ? 0 , 当 x ? (0, ? ) 时,f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) ? ? cos x f ?( x) ? sin x , 在 x ? 0 的左侧 (?? , 0) 范围内单调递减,在其右侧 (0, ? ) 单调递增,所以 x ? 0 是 f ( x) 的 一个极小值点;对于 C, f ?( x) ? cos x ? 1 ? 0 恒成立,在 R 上单调递减,没有极值点;对 于 D, f ( x) ?

1 在 x ? 0 没有定义,所以 x ? 0 不可能成为极值点;综上可知,答案选 B. x

考点:函数的极值与导数. 5.C 【解析】 试题分析: 双曲线的渐近线方程是故选 x ? ay ? 0. 设 P (m, n) 是双曲线上任意一点, 过P平 行 于 OB : x ? ay ? 0 的 方 程 : x ? ay ? m ? an ? 0 与 OA : x ? ay ? 0 的 交 点 是

A(

m ? an m ? an m ? an 1 | m ? an | , ),| OA |?| | 1 ? 2 , 点 P 到 OA 的 距 离 : d ? . 因为 2 2a 2 a 1 ? a2
m2 m ? an 1 | m ? an | | 1? 2 ? ? 1. 而 2 ? n 2 ? 1 ,解得 a ? 2c ? 5 ,所 a 2 a 1 ? a2
5 ,选 C. 2

| OA | ? d ? 1 ,所以 |

以双曲线的离心率为

考点:1.双曲线的几何性质;2.距离公式. 6.D 【解析】显然, ln x ? 2 在 (e,??) 上有一解 x ? e 2 ,则 ax 2 ? 2 在 (??, e] 上应有两解,则

a ? 0 且 ae 2 ? 2 ,解得 a ? 2e ?2 .
考点:函数的图像. 7.C 【解析】 试题分析: F1 (? 6, 0), F2 ( 6, 0) ,不妨设 l 的方程为 y ?

2 x ,设 P( x0 , 2 x0 )
2

由 PF1 ? PF2 ? (? 6 ? x0 , ? 2 x0 ) ? ( 6 ? x0 , ? 2 x0 ) ? 3 x0 ? 6 ? 0 . 得 x0 ? ? 2 ,故 P 到 x 轴的距离为 2 x0 ? 2 ,故选 C. 考点:1.双曲线的性质;2.向量的数量积. 8.D

???? ???? ?

5

【解析】解:由 x+3y-2=0 得 x= 2-3y 代入 3x ? 27 y ? 1 =3 ∵
2-3y

+27 +1=

y

9 ? 27 y ? 1 y 27

9 >0, 27 y >0 27 y 9 ∴ + 27 y +1≥7 y 27 9 当 = 27 y 时,即 y=1 /3 ,x=1 时等号成立 y 27
故 3x ? 27 y ? 1 的最小值为 7 故选 D. 19.C 【解析】 试题分析: 先设出直线 AB 的方程, 与抛物线方程联立消去 y, 根据韦达定理求得 x1+x2 的值, 进而可求 AB 中 M 的坐标,代入直线 x+y=0 中求得 b,进而由弦长公式求得|AB|. 解:设直线 AB 的方程为 y=x+b,由 ? x +x+b﹣3=0? x1+x2=﹣1,
2

进而可求出 AB 的中点 又∵ 代入可得,b=1, 2 ∴x +x﹣2=0, 由弦长公式可求出

, 在直线 x+y=0 上,



故选 C. 点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力. 10.D 【解析】 【思路点拨】 画出图象,通过图象可知点 P 到 y 轴的距离等于点 P 到焦点 F 的距离减 1,过焦点 F 作直线 l 的垂线,此时 d1+d2 最小,根据抛物线方程求得 F 的坐标,进而利用点到直 线的距离公式求得 d1+d2 的最小值. 如图所示,

由抛物线的定义知,|PF|=d1+1, ∴d1=|PF|-1,

6

d1+d2=d2+|PF|-1,显然当直线 PF 垂直于直线 x-y+4=0 时,d1+d2 最小,此时 d2+|PF|为 F 到直线 x-y+4=0 的距离. 由题意知 F 点的坐标为(1,0), 所以(d2+|PF|)min= ∴(d1+d2)min= -1. = .

11.B 【解析】

f ( x) xf ?( x) ? f ( x) , 则 F ?( x) ? ? 0, ( x ? 0) , 故 知 函 数 x x2 f ( x) f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,又因为 f ( x) 是奇函数,所以函数 F ( x) ? 是偶 F ( x) ? x x f (?1) 函数,且知 F (?1) ? ? 0; ?1 f ( x) 所以 F (1) ? F ( ?1) ? 0 ,且在 (??, 0) 是减函数,在坐标系中作出函数 F ( x) ? 的草图 x
试 题 分 析 : 构 造 函 数 F ( x) ? 如下:

由图可知使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是 (?1,0) ? (1,??) ; 故选 B. 考点:1.导数的求导法则;2.函数导数与单调性之间的关系. 12.C 【解析】 试题分析:先作出图形,则易知|AF2|=a+c,|BF2|= ,再由∠BAF2 是直线的倾斜角,

易得 k=tan∠BAF2=

,然后通过

可得



再分子分母同除 a 得

2

求解.

7

解:如图所示:|AF2|=a+c,|BF2|=



∴k=tan∠BAF2=



又∵







∴ ∴ 故选 C. ,



考点:椭圆的简单性质. 13. 2 3 【解析】 试 题 分 析 : 点 A 对 应 的 直 角 坐 标 为 : x ? 4 cos

?
6

? 2 3 , y ? 4sin

?
6

? 2 ,所以点

A 2 3, 2 .因为 ? ? 4 sin ? ,所以 ? 2 ? 4 ? sin ? ,即 x 2 ? y 2 ? 4 y ,圆的标准方程为:
x 2 ? ? y ? 2 ? ? 4 ,圆心 ? 0, 2 ? ,点到圆心的距离为:
2

?

?

?2


3 ? 0 ? ? 2 ? 2? ? 2 3 .
2

?

2

考点:极坐标与参数方程 14. ?4 ? m ? 2 【解析】 试 题







x ? 0, y ? 0,



?2 1? 4y x 2 1 ? ? 2 ? 8, 当 且 仅 当 ? ? 1, ? x ? 2 y ? ? x ? 2 y ? ?1 ? ? x ? 2 y ? ? ? ? ? ? 2 ? x y x y ?x y?
4y x ? 即 x ? 2 y 时取等号.若 x ? 2 y ? m 2 ? 2m 恒成立,则须 m 2 ? 2m ? 8 恒成立.解得 x y
8

?4 ? m ? 2
考点:基本不等式,恒成立问题 15.

2 2
x1 ? x2 y ? y2 ? 1, 1 ? 1, 即 2 2

【 解 析 】 试 题 分 析 : 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 则

? x12 y12 ? ?1 ? 2 1 2 ? a 2 b2 两 式 相 减 并 整 理 得 x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 . 由 ? 2 ? ( ? ) 2 ? 0, 所 以 2 2 a 2 b x y ? 2 ? 2 ?1 2 2 ? b ?a
b2 1 2 b2 1 e ? 1 ? ? 1? ? . , ? 2 2 a 2 2 a 2
考点:1.椭圆的几何性质;2.中点坐标公式. 16.(2,+∞) 【解析】f(x)定义域为(0,+∞),又由 f′(x)=2x-2- -1<x<0 或 x>2,所以 f′(x)>0 的解集(2,+∞). 17. (1) g (a ) ? ? 【解析】 试题分析: (1)因为 ? 1 ? x ? 1 ,对实数 a 分类讨论,① 0 ? a ? 1 ,② a ? 1 ,分别用导数 法求函数 f ( x) 单调区间,从而确定 g (a ) 的值,再用分段函数表示 g (a ) ; ( 2 )构造函数 对实数 a 分类讨论, ① 0 ? a ? 1, ② a ?1, 分别用导数法求函数 h( x) h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) , 单调区间,从而确定 h( x) 的最大值,即可证明当 x ? [?1,1] 时恒有 f ( x) ? g (a ) ? 4 成立. (1)因为 ? 1 ? x ? 1 , ①当 0 ? a ? 1 时, 若 x ? [?1, a ] ,则 f ( x) ? x ? 3 x ? 3a , f ?( x) ? 3 x ? 3 ? 0 ,故 f ( x) 在 (?1, a ) 上是减函
3 2

4 2 ? x ? 2 ?? x ? 1? = >0,解得 x x

?a 3 ,0 ? a ? 1 ?? 2 ? 3a, a ? 1

; (2)详见解析.

数; 若 x ? [a,1] ,则 f ( x) ? x ? 3 x ? 3a , f ?( x) ? 3 x ? 3 ? 0 ,故 f ( x) 在 (a,1) 上是增函数;
3 2

所以, g (a ) ? f (a ) ? a .
3

②当 a ? 1 ,则 x ? a , f ( x) ? x ? 3 x ? 3a , f ?( x) ? 3 x ? 3 ? 0 ,故 f ( x) 在 (?1,1) 上是
3 2

减函数,

9

所以 g (a ) ? f (1) ? ?2 ? 3a , 综上所述, g (a ) ? ?

?a 3 ,0 ? a ? 1 ?? 2 ? 3a, a ? 1

.

(2)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) , ①当 0 ? a ? 1 时, g (a ) ? a ,
3

若 x ? [a,1] , h( x) ? x ? 3 x ? 3 得 h?( x) ? 3 x ? 3 ,所以 h( x) 在 (a,1) 上是增函数,所以
3 2

h( x) 在 [a,1] 上的最大值是 h(1) ? 4 ? 3a ? a 3 ,且 0 ? a ? 1 ,所以 h( x) ? 4 ,
故 f ( x) ? g (a) ? 4 . 若 x ? [?1, a ] , h( x) ? x ? 3 x ? 3a ? a ,则 h?( x) ? 3 x ? 3 ,所以 h( x) 在 (?1, a ) 上是减
3 3 2

函数, 所以 h( x) 在 [?1, a ] 上的最大值是 h(?1) ? 2 ? 3a ? a ,
3

令 t (a ) ? 2 ? 3a ? a ,则 t ?(a ) ? 3 ? 3a ? 0 ,
3 2

所以 t (a ) 在 (0,1) 上是增函数,所以 t (a ) ? t (1) ? 4 即 h(?1) ? 4 , 故 f ( x) ? g (a) ? 4 , ②当 a ? 1 时, g (a ) ? ?2 ? 3a ,所 以 h( x) ? x ? 3 x ? 2 ,得 h?( x) ? 3 x ? 3 ,
3 2

此时 h( x) 在 (?1,1) 上是减函数,因此 h( x) 在 [ ?1,1] 上的最大值是 h(?1) ? 4 , 故 f ( x) ? g (a) ? 4 , 综上所述,当 x ? [ ?1,1] 时恒有 f ( x) ? g (a ) ? 4 .

. ( 18. (1) a ? 1 ; (2) ? 3, ?? ? ; (3)

15 ? 2 ln 2 . 8

【解析】 试题分析: (1)求导,利用导数的几何意义和两条垂直的直线的斜率之积为 ? 1 进行求解; (2)求导,利用“函数 g ( x) 存在单调递减区间,则 g ( x) ? 0 在定义域内有解”进行求解;
'

(3)先利用导数为 0 得到两个极值点的关系,作差变形,再构造函数,利用导数求其最值.

10

试题解析: (1)∵ f ( x ) ? x ? a ln x ,∴ f ?( x) ? 1 ? ∵ l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,∴ k ? y ? ∴a ?1 (2)? g ? x ? ? ln x ?
x ?1

a . x

? 1? a ? 2 ,

x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 1 2 1 x ? ? b ? 1? x,? g ? ? x ? ? ? x ? ? b ? 1? ? 2 x x

由题知 g ? ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上有解,

? x ? 0 设 u ? x ? ? x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 ,则 u ? 0 ? ? 1 ? 0 ,
b ?1 ? ?0 b ?1 ? ? 2 ?? 所以只需 ? ?? ? ? b ? 1?2 ? 4 ? 0 ?b ? 3或b<-1 ?
故 b 的取值范围是 ? 3, ?? ? .

x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 1 (3)? g ? ? x ? ? ? x ? ? b ? 1? ? , x x
所以令 g ? ? x ? ? 0 ? x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1

1 1 2 ? ? ? ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ?ln x1 ? x12 ? ? b ? 1? x1 ? ? ?ln x2 ? x2 ? ? b ? 1? x2 ? 2 2 ? ? ? ?

? ln

x1 1 2 x 1? x x ? 2 ? ? x1 ? x2 ? ? b ? 1?? x1 ? x2 ? ? ln 1 ? ? 1 ? 2 ? ? x2 2 x2 2 ? x2 x1 ?

? 0 ? x1 ? x2
所以设 t ?

x1 1 1? ? 0 ? t ? 1? h ? t ? ? ln t ? ? ? t ? ? ? 0 ? t ? 1? x2 2? t ?
2

? t ? 1? ? 0 ,所以 h t 在 0,1 单调递减, 1 1? 1? h? ? t ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ?? ? ? t 2? t ? 2t 2
?x ? x ? 1 25 7 25 2 2 即 ? x1 ? x2 ? ? 1 2 ? t ? ? 2 ? 又b ? ? ? b ? 1? ? x1 ? x2 t 4 2 4
2

1 ? 1 ? 15 ? 0 ? t ? 1,? 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0,? 0 ? t ? , h ? t ? ? h ? ? ? ? 2 ln 2 , 4 ?4? 8

11

故所求的最小值是

15 ? 2 ln 2 8

考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的单调性与极值. 【易错点睛】本题考查,属于基础题; . 19 . 解 : ( 1 ) ? f '( x) ? 3ax ? 2bx ? c , 且 y ? f '( x) 的 图 象 过 点
2

2 2b ? ?2? ? ? ? ?b ? 2a 2 ? 3 3a ????2 分 ?? (?2, 0), ( , 0) ? ? 2 c c ? ? 4 a 3 ? ?? 2 ? ? ? 3 3a ?
∴ f ( x) ? ax ? 2ax ? 4ax , 由图象可知函数 y ? f ( x) 在 (??, ?2) 上单调递减, 在 (?2, )
3 2

2 3

上单调递增,在 ( ,??) 上单调递减,(不说明单调区间应扣分) ∴ f ( x)极小值 ? f ( ?2) ,即 a (?2) ? 2a ( ?2) ? 4a( ?2) ? ?8 ,解得 a ? ?1
3 2

2 3

∴ f ( x) ? ? x ? 2 x ? 4 x ????4 分[
3 2

(2) ? p ? f ( x) ,又因为 f ( x)极小值 ? f ( ?2) =-8.? f ( x)极大值 ? f ( ) ? 由图像知, ? p ?

2 3

40 27

40 40 或 ? p ? ?8 ,即 p ? ? 或p ? 8 ????8 分 27 27
2

(3)要使对 x ? [?3,3] 都有 f ( x) ? m ? 14m 成立,只需 f ( x) min ? m 2 ? 14m 由(1)可知函数 y ? f ( x) 在 (?3,?2) 上单调递减,在 (?2, ) 上单调递增, 在 ( ,3) 上单调递减,且 f (?2) ? ?8 , f (3) ? ?3 ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? ?33 ? ?8
3 2

2 3

2 3

? f ( x) min ? f (3) ? ?33 ????10 分
∴ ? 33 ? m 2 ? 14m ? 3 ? m ? 11 故所求的实数 m 的取值范围为 {m | 3 ? m ? 11}. ????12 分

【解析】略 22. (1) ? =4cosθ +2sinθ ; (2) 2 3 【解析】 试题分析: ( 1 )先把曲线 C 的参数方程化为普通方程 , 将 ?

? x ? ? cos ? 代入并化简得 ? y ? ? sin ?

12

? =4cosθ +2sinθ . (2)先把 l 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x+y-1=0,再利用圆心 C 到直线 l 的距离求弦
长为 2 3 . 试题解析: (1)∵曲线 C 的参数方程为 ?
2

? ? x ? 2 ? 5 cos ? (α 为参数), ? ? y ? 1 ? 5 sin ?
2

∴曲线 C 的普通方程为(x-2) +(y-1) =5, 将?

? x ? ? cos ? 代入并化简得: ? =4cosθ +2sinθ , ? y ? ? sin ?
(2)∵ l 的直角坐标方程为 x+y-1=0,

即曲线 C 的极坐标方程为 ? =4cosθ +2sinθ . 5 分

∴圆心 C 到直线 l 的距离为 d=

2 2

= 2 ,∴弦长为 2 5 ? 2 =2 3 . 10 分

考点:1.参数方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化;2.点到直线距离公式. 28.A. (1)证明见解析 (2)证明见解析 B. M ? ?

?1 2 ? ? ?3 4 ?

C. AB ? 3

D.

30 2

【解析】A.证明: (1)连结 OP,因为 AC⊥l,BD⊥l,所以 AC//BD. 又 OA=OB,PC=PD,所以 OP//BD,从而 OP⊥l. 因为 P 在⊙O 上,所以 l 是⊙O 的切线. (2)连结 AP,因为 l 是⊙O 的切线,所以∠BPD=∠BAP. 又∠BPD+∠PBD=90°,∠BAP+∠PBA=90°, 所以∠PBA=∠PBD,即 PB 平分∠ABD. B. M ? ?

?1 2 ? ?; ?3 4 ?
2 2

C.由 ? ? 1 得 x ? y ? 1 , 又? ? ? 2 cos(? ?

?
3

) ? cos ? ? 3 sin ? ,? ? 2 ? ? cos ? ? 3? sin ?

? x2 ? y 2 ? 1 1 3 ? 得 A(1, 0), B ( ? , ? ), ? x 2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 ,由 ? 2 2 2 2 x ? y ? x ? 3 y ? 0 ? ?

13

2 3? ? 1? ? ? AB ? ?1 ? ? ? ? 0 ? ? ? 3. 2 ? ? 2? ? ? ?

2

D.由柯西不等式, f ( x) ?

2x ?1 ? 2 ? x ? 2 x ?

1 ? 2? x 2

1 5 30 1 7 ? 2 ?1 ? x ? ? 2 ? x ? 3 ? ? . 故当且仅当 2 ? 2 ? x ? 1 ? x ? , 即x? 2 2 2 2 6
时, f ( x) 取得最大值为

30 . 2
(Ⅱ)当直线 l 垂直于 x 时, 取得

20. (Ⅰ)

最大值 【解析】

;当直线 l 与 x 轴重合时,

取得最小值﹣1

试题分析: (Ⅰ)因为在焦点三角形 AF1F2 中, AF1F2=60°,所以 进而求出离心率. (II)若

,所以∠F1AF2=90°,又因为∠

的三边关系可以找到,根据三边关系,可求出含 a,c 的齐次式,

,则椭圆方程为两个,可以是焦点在 x 轴上,也可焦点在 y 轴上,分 ,

别写出方程, 在与设出的直线 l 方程联立, 找到横坐标之和与之积, 用坐标表示 根据前面所求,得到含 k 的方程,再求出最值即可. 解: (I)∵ ,∴AF1⊥AF2∵∠AF1F2=60°,∴F1F2=2AF1,

∴2a=AF1+AF2,2c=F1F2∴ (II)∵ ,∴c=1,点 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) . ,

①若 AB 垂直于 x 轴,则

②若 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的斜率为 k, 则直线 AB 的方程为 y=k(x+1) 由 的实数根. 消去 y 得: (2k +1)x +4k x+2k ﹣2=0∵△=8k +8>0,∴方程有两个不等
2 2 2 2 2

14

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .∴





=(1+k ) (x1x2+x1+x2+1) = =

2



,∴

∴ 综合①、②可得: 所以当直线 l 垂直于 x 时, . 取得最大值 ; 当直线 l 与 x 轴重合时,

取得最小值﹣1 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 21. (1) 【解析】 试题分析: (1)利用离心率和点到直线的距离,整理成关于 a, b 的方程组即可; (2)联立直

x2 y2 (2) 4 x ? y ? 2 ? 0 . ? ? 1; 4 2

??? ? ??? ? x2 y2 线 y ? kx ? 4 与椭圆 ? ? 1 的方程,利用 CP ? BE ? 0 求解即可. 4 2
解题思路: 直线与圆锥曲线的位置关系问题,一般综合性强.一般思路是联立直线与圆锥曲 线的方程,整理得关于 x 的一元二次方程,常用“设而不求”的方法进行求解. 试题解析: (Ⅰ)由 e ?
2

c2 a 2 ? b2 b2 1 ? ? 1 ? ? 得 a ? 2b a2 a2 a2 2
x y ? ? 1, a ?b

3分

由点 A ( a ,0) , B (0, ?b )知直线 AB 的方程为 于是可得直线 AB 的方程为 x ? 2 y ? 2b ? 0 因此

| 0 ? 0 ? 2b | 12 ? ( 2) 2

?

2b 2 3 ? ,得 b ? 2 , b 2 ? 2 , a 2 ? 4 , 3 3

7分

15

所以椭圆 M 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2

9分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A 、 B 的坐标依次为(2,0) 、 (0, ? 2) , 因为直线 PA 经过点 A(2, 0) ,所以 0 ? 2k ? 4 ,得 k ? 2 , 即得直线 PA 的方程为 y ? 2 x ? 4 因为 CP ? BE ? 0 ,所以 kCP ? k BE ? ?1 ,即 k BE ? ? 设 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) , (法Ⅰ)由 ? 所以 KBE=4 又点 B 的坐标为 (0, ? 2) ,因此直线 BE 的方程为 y ? 4 x ? 2 . 考点:1.椭圆的标准方程;2.直线与椭圆的位置关系. 因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) ? (9, ? ?) .
? 14 8 1 ? y ? 2x ? 4 得 P( ,? ) ,则 K PC ? ? 2 2 9 9 4 ?x ? 2y ? 4 ? 0 ?

??? ? ??? ?

1 kCP

11 分

12 分

?? ?? ?? ?? ?? 14 分

16


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