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2013届高考数学(理)一轮复习课件:第十篇


用样本估计总体

祖晓丽

【2014 年高考会这样考】 1.考查样本的频率分布(分布表、直方图、茎叶图)中的有关计 算,样本特征数(众数、中位数、平均数、标准差)的计算.主 要以选择题、填空题为主. 2.考查以样本的分布估计总体的分布(以样本的频率估计总体 的频率、以样本的特征数估计总体的特征数).

【复习指导】

1.由于高考对统计考查的覆盖面广,几乎对所有的统计考点都 有所涉及,其中频率分布直方图、均值与方差、茎叶图是核心 考点,需要好好掌握.复习时,对于统计的任何环节都不能遗 漏,最主要的是掌握好统计的基础知识,适度的题量练习. 2. 高考对频率分布直方图或茎叶图与概率相结合的题目考查日 益频繁.因此,复习时要加强这方面的训练,弄清图表中有关 量的含义,并从中提炼出有用的信息,为后面的概率计算打好 基础.

基础梳理 1.频率分布直方图 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种:一种是 用 样本的频率分布估计总体的分布;另一种是 用 样本的数字特征估计总体的数字特征 .

(2)作频率分布直方图的步骤 ①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差). ②决定 组距 与 组数 . ③将数据分组. ④列频率分布表. ⑤画频率分布直方图. 频率 (3)在频率分布直方图中,纵轴表示 ,数据落在各小组内 组距 的频率用 各小长方形的面积 等于1. 表示.各小长方形的面积总和

2.频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端 的 中点 ,就得频率分布折线图.

(2)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分组数增 加,组距 减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑

曲线,即总体密度曲线.

3.茎叶图的优点 用茎叶图表示数据有两个突出的优点: 一是统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以 从茎叶图中得到; 二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表 示.

4.样本方差与标准差 设样本的元素为 x1,x2,?,xn,样本的平均数为 x , 1 (1)样本方差:s = [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2]. n
2

(2)样本标准差: s= 1 [?x1- x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2]. n

两个异同 (1)众数、中位数与平均数的异同 ①众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平 均数是最重要的量. ②由于平均数与每一个样本数据有关,所以,任何一个样本数 据的改变都会引起平均数的改变,这是中位数、众数都不具有 的性质.

③众数考查各数据出现的频率,其大小只与这组数据中的部分 数据有关.当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数 往往更能反映问题. ④某些数据的变动对中位数可能没有影响.中位数可能出现在 所给数据中,也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数 据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.

(2)标准差与方差的异同 标准差、 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小. 标准差、 方差越大,数据的离散程度就越大;标准差、方差越小,数据 的离散程度则越小,因为方差与原始数据的单位不同,且平方 后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本 数据的分散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般多采 用标准差.

三个特征 利用频率分布直方图估计样本的数字特征: (1)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图 的面积相等,由此可以估计中位数值. (2)平均数:平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底 边中点横坐标之和. (3)众数:最高的矩形的中点的横坐标.

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)某工厂生产滚珠,从某批产品中随 机抽取8粒,量得直径分别为(单位:mm): 14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9,则估计该厂生产的滚珠 直径的平均数为( A.14.8 mm C.15.0 mm 解析 ).

B.14.9 mm D.15.1 mm

1 平均数 x = (14.7+14.6+15.1+15.0+14.8+15.1+15.0 8

+14.9)=14.9 (mm). 答案 B

2.(2012· 合肥月考)一个容量为100的样本,其数据的分组与各 组的频数如下: 组 别 频 数 12 13 24 15 16 ). 13 7 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]

则样本数据落在(10,40]上的频率为( A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64

解析 由列表可知样本数据落在(10,40]上的频数为52,故其频 率为0.52. 答案 C

3.10名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是 15,17,14,10,15,19,17,16,14,12,则这一天10名工人生产的零件 的中位数是( A.14 解析 B.16 ). C.15 D.17

将这组数据从小到大排列得

15+15 10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位数为 2 =15. 答案 C

4.某雷达测速区规定:凡车速大于或等于 70 km/h的汽车视为“超速”,并将受到处罚, 如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速 进行检测所得结果的频率分布直方图,则从图中 可以看出被处罚的汽车大约有( ).

A.30辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆 解析 由题图可知,车速大于或等于70 km/h的汽车的频率为 0.02×10=0.2,则将被处罚的汽车大约有200×0.2=40(辆). 答案 B

5.(2011· 江苏)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为 10,6,8,5,6,则该组数据的方差s2=________. 10+6+8+5+6 解析 平均数 x = =7. 5 1 ∴s =5[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+
2

1 (6-7) ]=5×(9+1+1+4+1)=3.2.
2

答案 3.2

考向一 频率分布直方图的绘制与应用 【例1】?某校从参加高一年级期中考试的学生 中随机抽出60名学生,将其物理成绩(均为整数) 分成六段[40,50),[50,60),?,[90,100]后得到如 图所示的频率分布直方图,观察图形的信息,回答 下列问题: (1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代 表,据此估计本次考试中的平均分.

[审题视点] 率.

利用各小长方形的面积和等于1求[70,80)内的频

解 (1)设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图, 有(0.010+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可得x=0.3, 所以频率分布直方图如图所示. (2)平均分为:x=45×0.1+55×0.15+ 65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =71(分).

频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布, 从这个直 方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布.根据频率分布 直方图估计样本(或者总体)的平均值时,一般是采取组中值乘 以各组的频率再求和的方法.

【训练1】

(2011· 湖北)有一个容量为200的样本,其频率分布

直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据 落在区间[10,12)内的频数为( A.18 C.54 B.36 D.72 ).

解析

样本数据落在区间[10,12)内的频率1-(0.19+0.15+0.05

+0.02)×2=0.18,所以数据落在此区间的频数为200×0.18= 36. 答案 B

考向二 茎叶图的应用 【例2】?如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选 手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0~9中的一个),去掉一 个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别 为a1、a2,则一定有( A.a1>a2 B.a2>a1 C.a1=a2 D.a1,a2的大小与m的值有关 ).

[审题视点]

去掉的最低分和最高分就是第一行和第三行的数

据,剩下的数我们只要计算其叶上数字之和,即可对问题作出 结论. 解析 去掉一个最高分和一个最低分后,甲选手叶上的数字之

和是20,乙选手叶上的数字之和是25,故a2>a1.故选B. 答案 B

由于茎叶图完全反映了所有的原始数据, 解决由茎叶图给出的 统计图表试题时,就要充分使用这个图表提供的数据进行相关 的计算或者是对某些问题作出判断,这类试题往往伴随着对数 据组的平均值或者是方差的计算等.

【训练 2】 在一项大西瓜品种的实验中,共收获甲种大西瓜 13 个、乙种大西瓜 11 个,并把这些大西瓜的重量(单位:斤,1 斤 =500 克)制成了茎叶图,如图所示,据此茎叶图写出对甲乙两 种大西瓜重量的两条统计结论是: (1) _________________________________________; (2) ______________________________________.

解析 从这个茎叶图可以看出,甲种大西瓜的重量大致对称, 平均重量、 众数及中位数都是 30 多斤; 乙种大西瓜的重量除了 一个 51 斤外,也大致对称,平均重量、众数及中位数都是 20 多斤,但甲种大西瓜的产量比乙种稳定,总体情况比乙好. 答案 (1)甲种大西瓜的平均重量大于乙种大西瓜 (2)甲种大

西瓜的产量比乙种大西瓜稳定

考向三 用样本的数字特征估计总体的数字特征 【例3】?甲乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩 得分情况如图.

(1)分别求出两人得分的平均数与方差; (2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价. [审题视点] (1)先通过图象统计出甲、乙二人的成绩; (2)利用公式求出平均数、方差,再分析两人的成绩,作出评 价.

解 (1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲:10分,13分,12分,14分,16分; 乙:13分,14分,12分,12分,14分. 10+13+12+14+16 x 甲= =13, 5 13+14+12+12+14 x 乙= =13, 5 1 s甲=5[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]
2

=4, 1 s乙=5[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]
2

=0.8.

2 (2)由s2 >s乙可知乙的成绩较稳定. 甲

从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波 动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.

平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的 描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位 数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述其波动大小.

【训练3】 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选 赛,他们分别射击了5次,成绩如下表(单位:环): 甲 10 8 9 9 9

乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙两人中只有1人入选,则入选的最佳人选应是 ________.

解析
2

1 x 甲= x 乙=9环,s 甲 = 5 [(9-10)2+(9-8)2+(9-9)2+(9
2 2

2 -9) +(9-9) ]= , 5 1 6 2 2 2 2 2 s 乙 = 5 [(9-10) +(9-10) +(9-7) +(9-9) +(9-9) ]= 5 >
2

s2 ,故甲更稳定,故填甲. 甲 答案 甲

规范解答19——怎样解答茎叶图与概率的综合性问题 【问题研究】 茎叶图是一个将数据分成主、次两部分,把主 要部分当做茎、次要部分当作叶表达数据的一个图,它是一种 常用的统计图.因此考题常将茎叶图作为载体来考查平均数、 方差以及概率问题., 【解决方案】 首先对茎叶图中的数据全面分析,然后再根据 茎叶图的数据解决其它问题.

【示例】?(本题满分12分)(2011· 北京)以下茎叶图记录了甲、乙 两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无 法确认,在图中以X表示.

(1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这 两名同学的植树总棵数为19的概率.

1 (注 方差s = [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],其中 x 为 n
2

x1,x2,?,xn的平均数)

第(1)问直接套入公式求值;第(2)问利用古典概型的知识解 决.

[解答示范]

(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵

数是:8,8,9,10,所以平均数为 8+8+9+10 35 x= = 4 .(2分) 4 方差为 35?2? 1?? 35?2 ? 35?2 ? 35?2 ? s = ??8- 4 ? +?8- 4 ? +?9- 4 ? +?10- 4 ? ? 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2

11 = .(5分) 16

(2)记甲组四名同学为A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次 为9,9,11,11;乙组四名同学为B1,B2,B3,B4,他们植树的棵 数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所 有可能的结果有16个,它们是: (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2, B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3), (A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),(9分)

用C表示:“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件, 则C中的结果有4个,它们是:(A1,B4),(A2,B4),(A3, 4 1 B2),(A4,B2).故所求概率为P(C)=16=4.(12分)

茎叶图一般记录两组的数据,它最直观、最清晰,但利用茎 叶图解决概率问题时对重复出现的数据要重复记录,不能遗 漏.


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