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山东省淄博市沂源一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年山东省淄博市沂源一中高二(上)期中数学试卷(理科)

一、本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合 题目要求的选项. 1.如果命题“p 或 q”和命题“p 且 q”都为真,那么则有( A. p 真 q 假 B. p 假 q 真 C. p 真 q 真 D. p 假 q 假 )
<

br />2.若 a>b,则下列不等式中恒成立的是( A.
a b


2 2

B. lga>lgb C. 2 >2 D. a >b

3.已知{an}是等差数列,且 a2+a5+a8+a11=48,则 a6+a7=( A. 12 B. 16 C. 20 D. 24



4.方程 x +xy=x 表示的曲线是( A. 一个点 B. 一条直线

2



C. 两条直线 D. 一个点和一条直线

5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 cosC> ,则△ABC 的形状是( A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形



6.设 f(x)=3ax﹣2a+1,若存在 x0∈(﹣1,1) ,使 f(x0)=0,则实数 a 的取值范围是( A. B. a<﹣1 C. D.



7.数列{an}满足:a1=1,a2=2,an=

(n≥3 且 n∈N) ,则 a2014=(



A. 1 B. 2 C.

D. 2

﹣2014

8.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续 航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这艘船的速 度是每小时( )

A. 5 海里 B. 5

海里 C. 10 海里 D. 10

海里

9.直角三角形的斜边长为 m,则其内切圆半径的最大值为( A. m B. m C. m D. ( ﹣1)m



10.若不等式(﹣1) a<2+

n

对任意 n∈N 恒成立,则实数 a 的取值范围是(

*



A. A. p 真 q 假 B. p 假 q 真 C. p 真 q 真 D. p 假 q 假

考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题. 分析: 由题意,命题“p 或 q”为真命题,则 p、q 至少一个为真命题;命题“p 且 q”为真 命题,则 p、q 都为真命题,故可得答案. 解答: 解:由题意,命题“p 或 q”为真命题,则 p、q 至少一个为真命题; 命题“p 且 q”为真命题,则 p、q 都为真命题, 故选 C. 点评: 本题考查命题的真假判断,解题时要熟练掌握判断真假命题的技巧.p 或 q 命题一真 则真,全假为假;p 且 q 一假即假,全真为真.

2.若 a>b,则下列不等式中恒成立的是( A.
a b


2 2

B. lga>lgb C. 2 >2 D. a >b

考点: 不等关系与不等式;函数单调性的性质;不等式比较大小.

专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵函数 y=2 在 R 上单调递增,而 a>b, ∴2 >2 . 故选 C. 点评: 熟练掌握不等式的基本性质和指数函数、对数函数、幂函数的单调性是解题的关键.
a b x

3.已知{an}是等差数列,且 a2+a5+a8+a11=48,则 a6+a7=( A. 12 B. 16 C. 20 D. 24



考点: 等差数列;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的性质可得:a2+a11=a5+a8=a6+a7,代入已知可得答案. 解答: 解:由等差数列的性质可得: a2+a11=a5+a8=a6+a7, 因为 a2+a5+a8+a11=48,所以 2(a6+a7)=48, 故 a6+a7=24, 故选 D 点评: 本题考查等差数列的性质,属基础题.

4.方程 x +xy=x 表示的曲线是( A. 一个点 B. 一条直线

2



C. 两条直线 D. 一个点和一条直线

考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 方程等价变形为即 x(x+y﹣1)=0,化简可得 x=0 或 x+y﹣1=0,表示两条直线. 解答: 解:方程 x +xy=x 即 x(x+y﹣1)=0, 化简可得 x=0 或 x+y﹣1=0. 而 x=0 表示一条直线,x+y﹣1=0 也表示一条直线,
2

故方程 x +xy=x 的曲线是两条直线, 故选:C. 点评: 本题主要考查方程的曲线,化简方程,将方程进行等价变形,是解题的关键,属于中 档题.

2

5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 cosC> ,则△ABC 的形状是( A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形



考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理可得 sinAcosC>sinB,再利用两角和的正弦计算可得 cosA<0,从而可 得答案. 解答: 解:△ABC 中,∵cosC> , ∴由正弦定理得:cosC> ,又 sinA>0,

∴sinAcosC>sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, ∴cosAsinC<0,又 sinC>0, ∴cosA<0,A 为钝角, 故选:C. 点评: 本题考查三角形的形状的判断,考查正弦定理与两角和的正弦的应用,属于中档题.

6.设 f(x)=3ax﹣2a+1,若存在 x0∈(﹣1,1) ,使 f(x0)=0,则实数 a 的取值范围是( A. B. a<﹣1 C. D.



考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题. 分析: 根据已知中函数 f(x)=3ax﹣2a+1,若存在 x0∈(﹣1,1) ,使 f(x0)=0,根据函数 零点存在定理,我们易得 f(﹣1) ?f(1)<0,进而得到一个关于实数 a 的不等式,解不等式 即可得到实数 a 的取值范围.

解答: 解:∵函数 f(x)=3ax﹣2a+1 为一次函数 ∴函数 f(x)=3ax﹣2a+1 在区间(﹣1,1)上单调, 又∵存在 x0∈(﹣1,1) ,使 f(x0)=0, ∴f(﹣1) ?f(1)<0 即(﹣3a﹣2a+1) (3a﹣2a+1)<0 ? 解得 故选 C 点评: 本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系,其中根据零点存在定理,结合已知 条件得到一个关于实数 a 的不等式,是解答本题的关键.

7.数列{an}满足:a1=1,a2=2,an=

(n≥3 且 n∈N) ,则 a2014=(



A. 1 B. 2 C.

D. 2

﹣2014

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 首先根据递推关系式,求出一部分的值,在观察出数列的各项具备的规律,利用周期 最后求出结果. 解答: 解:数列{an}满足:a1=1,a2=2, 利用 an= (n≥3 且 n∈N) ,

则:

1,2,2,1, , ,1,2,2,1, , ,1,2,? 所以:数列的周期为:6 2014=335×6+4 所以:a2014=a4=1 故选:A

点评: 本题考查的知识要点:数列递推关系式的应用,数列的周期性在运算中的应用.属于 基础题型.

8.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续 航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这艘船的速 度是每小时( )

A. 5 海里 B. 5

海里 C. 10 海里 D. 10

海里

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而 CD=CA=10, 在直角三角形 ABC 中,得 AB=5,由此能求出这艘船的速度. 解答: 解:如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°, 所以∠CAD=∠CDA=15°, 从而 CD=CA=10, 在直角三角形 ABC 中,得 AB=5, 于是这艘船的速度是 故选 C. 点评: 本题考查三角形知识的实际运用,解题时要注意数形结合思想的灵活运用. =10(海里/小时) .

9.直角三角形的斜边长为 m,则其内切圆半径的最大值为( A. m B. m C. m D. ( ﹣1)m



考点: 基本不等式. 专题: 解三角形.

分析: 设此直角三角形的直角边分别为 a,b,由勾股定理可得 a +b =m .其内切圆半径 R= .利用(a+b) ≤2(a +b )=2m ,即可得出.
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

解答: 解:设此直角三角形的直角边分别为 a,b,则 a +b =m . 其内切圆半径 R=
2 2 2


2

∵(a+b) ≤2(a +b )=2m ,当且仅当 a=b= ∴ ∴R . . .

m 时取等号.

∴其内切圆半径的最大值为 故选:B.

点评: 本题考查了勾股定理、直角三角形的内切圆的性质、基本不等式的性质,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题.

10.若不等式(﹣1) a<2+ A. ﹣49=﹣n +20n﹣49 由 y=﹣n +20n﹣49>0 得 10﹣ 又∵n∈N ,∴n=3,4
* 2 2

n

对任意 n∈N 恒成立,则实数 a 的取值范围是(

*



<n<10+

∴n=3 时,即该渔业公司第 3 年开始获利. 答:第 3 年开始获利; (2)方案①:年平均获利为 =﹣n﹣ +20≤﹣2 +20=6(万元)

当 n=7 时,年平均获利最大,若此时卖出,共获利 6×7+18=60(万元) 方案②:y=﹣n +20n﹣49=﹣(n﹣10) +51 当且仅当 n=10 时,即该渔业公司第 10 年总额最大,若此时卖出,共获利 51+9=60 万元 因为两种方案获利相等,但方案②所需的时间长,所以方案①较合算. 答:方案①较合算. 点评: 本题考查了函数模型的选择及应用,考查了简单的建模思想,训练了利用基本不等式 求最值,考查了配方法,属中档题型.
2 2

21.已知正项数列{an}的前项 n 和为 Sn,满足 3Sn=1﹣an,且 bn+2=3log 满足 cn=an?bn. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Tn; (3)若 cn≤ (3t +5t﹣1)对一切 n∈N 恒成立,求 t 的取值范围.
2 *

an(n∈N ) ,数列{cn}

*

考点: 数列的求和;数列的函数特性;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)首先利用递推关系式求出 等差数列. (2)根据(1)的结论进一步利用乘公比错位相减法求数列的前 n 项和. (3)进一步利用恒成立问题求参数的取值范围,其中要求出数列{cn}的最大项.最后确定参 数的取值范围. 解答: 解: (1)由题意知: 因为当 n≥2 时, , , ,然后根据已知条件利用定义法证明数列是

所以 4an=an﹣1,所以

(n≥2) ,

当 n=1 时, 所以 ,

=a1,

所以{an}是以 为首项是以 为公比的等比数列, 所以 因为 bn+2=3log 所以 bn﹣1=3n﹣5, bn﹣bn﹣1=3(n≥2) ,所以{bn}是等差数列. (2)由(1)知 cn=an?bn=
*

, an(n∈N ) ,所以 bn=3n﹣2,

Tn=c1+c2+c3+?+cn = ①

所以:



①﹣②得

+?+

=



整理后得到:
2


*

(3)若 cn≤ (3t +5t﹣1)对一切 n∈N 恒成立, 只需 ,





c1=c2>c3>c4>? 所以最大值为 所以: 即 3t +5t﹣2≥0 解得: .
2



点评: 本题考查的知识要点:利用定义法证明数列是等差数列,递推关系式的应用,乘公比 错位相减法的应用,利用恒成立问题求参数的取值范围.


山东省淄博市沂源一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学试卷(理科)

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