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2014版高中数学复习方略课时提升作业:3.5同角三角函数的基本关系式与两角和与差的三角函数(北师大版)


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课时提升作业(二十一)
一、选择题 1.(2013·安庆模拟)已知 (A) (B)=- ,那么 (C)2 的值是( (D)-2 ) )

2.(2

013·九江模拟)已知 cos(π +x)= ,x∈(π ,2π ),则 tanx 等于( (A)(B)(C) (D) )

3.函数 f(x)= cos(3x-θ )-sin(3x-θ )是奇函数,则θ 为( (A)kπ (k∈Z) (C)kπ + (k∈Z) (B)kπ + (k∈Z) (D)-kπ - (k∈Z)

4.(2013· 渭南模拟)若 x= 是 f(x)= 当ω 取最小值时( )

sinω x+cosω x(ω >0)图像的一条对称轴,

(A)f(x)在(0, )上是增加的 (C)f(x)在(0, )上是减少的

(B)f(x)在(- , )上是减少的 (D)f(x)在(- , )上是增加的

5.(2013·延安模拟)若函数 f(x)=(1+ tanx)cosx,0≤x< ,则 f(x)的最大值为 ( (A)1 (B)2 (C) +1 (D) +2 ) )

6.若 0<α < ,- <β <0,cos( +α )= ,cos( - )= ,则 cos(α + )=( (A) (C) (B)(D)-1-

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二、填空题 7.(2013·阜阳模拟)已知 cos(-100°)=m,则 tan80°= 8.已知函数 f(x)= . .

sinx-cosx,x∈R,若 f(x)≥1,则 x 的取值范围是

9.已知:0°<α <90°,0°<α +β <90°,3sinβ =sin(2α +β ),则 tanβ 的最大值 是 .

三、解答题 10.已知函数 f(x)=sin(x+ )+cos(x- ),x∈R. (1)求 f(x)最小正周期和最小值. (2)已知 cos(β -α )= ,cos(β +α )=- ,0<α <β ≤ ,求证:[f(β )]2-2=0. 11.(能力挑战题)已知幂函数 g(x)= (m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)

上是增加的,又 f(x)=sinx+mcosx,F(x)=f′(x)[f(x)+f′(x)]-1,f′(x)是 f(x) 的导函数. (1)若 tanx= ,求 F(x)的值. (2)把 F(x)图像的横坐标缩短为原来的一半后得到 H(x),求 H(x)的递减区间. 12.(1)①证明两角和的余弦公式 Cα +β :cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ ; ②由 Cα +β 推导两角和的正弦公式 Sα +β :sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ . (2)已知 cosα =- ,α ∈(π , π ),tanβ =- ,β ∈( ,π ),求 cos(α +β ).

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答案解析
1.【解析】选 A.设 ? ?- = ?t= ,即 〃 = = . =- , =-1, =t,则 = ,

2.【解析】选 D.≧cos(π+x)=-cosx= , ?cosx=- , 又π<x<2π, ?sinx=?tanx= =. =- ,

3.【解析】选 D.由已知得,f(x)=2[ cos(3x-θ)sin(3x-θ)]=2sin( -3x+θ) =-2sin(3x- -θ). ≧f(x)是奇函数,?- -θ=kπ(k∈Z). 故θ=-kπ- (k∈Z). 4.【解析】选 D.f(x)= sinωx+cosωx=2sin(ωx+ ),由 x= 是 y=f(x)的一条

对称轴知 ω+ =kπ+ (k∈Z),所以ω=6k+2(k∈Z),又ω>0,故ω的最小值为 2, 此时 f(x)=2sin(2x+ ). 当 x∈(0, )时,2x+ ∈( , π),故 f(x)不单调,故 A,C 错误; 当 x∈(- , )时,2x+ ∈(- , ),故 f(x)是增加的,故 D 正确,B 错误. 5.【解析】选 B.y=(1+ tanx)cosx=cosx+ sinx=2sin(x+ ),由 0≤x< ,得 ≤ x+ < ,故当 x= 时,有最大值 2.
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6.【解析】选 C.对于 cos(α+ )=cos[( +α)-( - )]=cos( + α)cos( - )+sin( +α)sin( - ), 而 +α∈( , ), - ∈( , ), 因此 sin( +α)= ,sin( - )= , × = .

则 cos(α+ )= × +

7.【解析】cos(-100°)=cos100°=cos(180°-80°)=-cos80°=m, ?cos 80°=-m, ?m<0, ?sin80°= ?tan80°= 答案:8.【解析】f(x)= sinx-cosx=2sin(x- ), == . ,

由 f(x)≥1,得 sin(x- )≥ , ?2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ (k∈Z), ?2kπ+ ≤x≤2kπ+π(k∈Z). 答案:[2kπ+ ,2kπ+π](k∈Z) 9.【解析】由 3sinβ=sin(2α+β)得 3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),化简得 sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα, ?tan(α+β)=2tanα, ?tanβ=tan(α+β-α)= = = .

由题意知,tanα>0,
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?

+2tanα≥2 =2tanα,即 tanα= 时等号成立), = .

(当且仅当

?tanβ的最大值为 答案:

【方法技巧】三角函数和差公式的灵活应用 (1)三角函数和差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到 ,因此公式的灵活 应用非常关键,公式可以正用、逆用、变形应用. (2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变换 ,出现和或差的形 式,即出现能逆用公式的条件;有时通过两式平方相加减,分子分母同除,切函数 化成弦函数等技巧. 10.【思路点拨】(1)将 f(x)利用辅助角公式化为 f(x)=Asin(ωx+φ)的形式求 解. (2)由条件求得β的值后再证明. 【解析】(1)f(x)=sinxcos +cosxsin +cosxcos +sinxsin = sinx- cosx =2sin(x- ),?f(x)的最小正周期 T=2π,最小值 f(x)min=-2. (2)由已知得 cosαcosβ+sinαsinβ= , cosαcosβ-sinαsinβ=- ,两式相加得 2cosαcosβ=0, ≧0<α<β≤ , ?cosβ=0,则β= , ?[f(β)]2-2=4sin2 -2=0. 【变式备选】函数 f(x)= sin2x-.

(1)若 x∈[ , ],求函数 f(x)的最值及对应的 x 的值.
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(2)若不等式[f(x)-m]2<1 在 x∈[ , ]上恒成立,求实数 m 的取值范围. 【解析】(1)f(x)= sin 2x-

= sin 2x- cos 2x-1=sin(2x- )-1, ≧x∈[ , ],? ≤2x- ≤ , 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)max=0, 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)min=- . (2)方法一:≧[f(x)-m]2<1(x∈[ , ]) ? f(x)-1<m<f(x)+1(x∈[ , ]), ?m>f(x)max-1 且 m<f(x)min+1, 故 m 的取值范围为(-1, ). 方法二:≧[f(x)-m]2<1 ? m-1<f(x)<m+1, ?m-1<- 且 m+1>0,故-1<m< , 故 m 的取值范围是(-1, ). 11.【思路点拨】由函数为偶函数求得 m,进而得 f(x)及 f′(x),然后根据条件求 解. 【解析】 (1)幂函数 g(x)= 的,-m2+2m+3>0? -1<m<3, 又 m∈Z,函数 g(x)为偶函数,故 m=1. ?f(x)=sinx+cosx,f′(x)=cosx-sinx, ?F(x)=f′(x)[f(x)+f′(x)]-1 =2(cosx-sinx)cosx-1 =cos 2x-sin 2x= = - = .
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(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+≦)上是增加

-

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(2)由(1)知:F(x)=cos 2x-sin 2x= 令 2kπ≤4x+ ≤2kπ+π,k∈Z 得: - ≤x≤ + ,k∈Z,

cos(2x+ ),?H(x)=

cos(4x+ ).

?H(x)的递减区间为[ - , + ](k∈Z). 12.【思路点拨】(1)①建立坐标系,利用两点间的距离公式证明;②利用诱导公 式及两角和的余弦公式证明. (2)直接利用公式求解. 【解析】(1)①如图,在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,并作出 角α,β与-β,使角α的始边为 Ox 轴非负半轴,交☉O 于点 P1, 终边交☉O 于点 P2;角β的始边为 OP2,终边交☉O 于点 P3, 角-β的始边为 OP1,终边交☉O 于点 P4. 则 P1(1,0),P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β), sin(-β)). 由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2, 展开并整理,得 2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ). ?cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. ②由①易得,cos( -α)=sinα, sin( -α)=cosα. sin(α+β)=cos[ -(α+β)] =cos[( -α)+(-β)]
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=cos( -α)cos(-β)-sin( -α)sin(-β) =sinαcosβ+cosαsinβ. ?sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. (2)≧α∈(π, π),cosα=- ,?sinα=- . ≧β∈( ,π),tanβ=- , ?cosβ=,sinβ= .

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ =(- )×()-(- )× = .

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