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人教版数学必修4和必修5知识点总结

时间:2015-06-14


高中数学必修 4 第三章 三角恒等变换知识点总结
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?

? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

⑹ tan ?? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2 ⑵ cos 2? ? cos
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
?
,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2 ? 2 , sin ? ? . ?降幂公式 cos 2 ? ? 2 2
⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

万能公式: α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2
? (后两个不用判断符号,更加好用)

26、半角公式 :
α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sinα

?x ? ? ) ? B 27、 合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为 “一个三角函数, 一个角, 一次方” 的 y ? A sin(
形式。 ? sin ? ? ? cos ? ?

?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

? . ?

28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角 公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和 差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的 变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是 ② 15 ? 45 ? 30 ? 60 ? 45 ?
o o o o o

? ? ? 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4
; cos

? 30o ? ;问: sin 12 2
1

?
12

?



③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?(

?
4

??);

⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通 常化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的 代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常 用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式

1 ? cos? 常用升幂化为有理式,常用升幂公式有:
1 ? tan ? 1 ? tan ? ? __________ _____ ; ? __________ ____ ; 1 ? tan ? 1 ? tan ?





(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;
2 tan ? ?
; 1 ? tan ? ?
2

; ; ; = ; (其中

tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ? a sin ? ? b cos ? ?
=

tan ? ?

; )

1 ? cos ? ?

; 1 ? cos ? ?



(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊 值与特殊角的三角函数互化。 如: sin 50o (1 ? 3 tan10o ) ? ; 。

tan ? ? cot ? ?

2

必修 5 知识点总结
1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接圆的半径,则 有

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ;

a b c , sin ? ? , sin C ? ;③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; 2R 2R 2R a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
② sin ? ? (正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。2、已知两角和一边, 求其余的量。 ) ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。 (一解、两解、无解三中情况) 如:在三角形 ABC 中,已知 a、b、A(A 为锐角)求 B。具体的做法是:数形结合思想 画出图:法一:把 a 扰着 C 点旋转,看所得轨迹以 AD 有无交点: 当无交点则 B 无解、 当有一个交点则 B 有一解、 当有两个交点则 B 有两个解。 法二:是算出 CD=bsinA,看 a 的情况: 当 a<bsinA,则 B 无解 当 bsinA<a≤b,则 B 有两解 当 a=bsinA 或 a>b 时,B 有一解 注:当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式: S ???C ? A b bsinA D a C

1 1 1 bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
2 2 2 2 2 2

4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
5、余弦定理的推论: cos ? ?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ab 2ac

(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角)

C 的对边, b、 6、 如何判断三角形的形状: 设a、 则: ①若 a ? b ? c , 则 C ? 90 ; c 是 ??? C 的角 ? 、 ?、
2 2 2

②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2 2 2 2

B A

正余弦定理的综合应用:如图所示:隔河看两目标 A、B,
3

但不能到达,在岸边选取相距 3 千米的 C、D 两点, 并测得∠ACB=75 , ∠BCD=45 , ∠ADC=30 , ∠ADB=45 (A、B、C、D 在同一平面内),求两目标 A、B 之间的距离。 本题解答过程略
O O O O

附:三角形的五个“心” ; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点.
数列基本概念 数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质,依据这 些性质将数列分类: 依定义域分为:有穷数列、无穷数列; 依值域分为:有界数列和无界数列; 依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。 数列的表示方法:列表法、图象法、解析法(通项公式法及递推关系法) ; 数列通项: an 2、等差数列 1、定义 当 n ? N ,且 n 2、通项公式

? f (n)

王新敞
奎屯

新疆

?2

时,总有

an?1 ? an ? d ,(d常) ,d 叫公差。

an ? a1 ? (n ?1)d an ? dn ? (a1 ? d ) 是 n 的一次函数,其图象是以点 (1, a1 ) 为端点,
斜率为 d 斜线上一些孤立

1) 、从函数角度看 点。 2) 、从变形角度看 又 an

an ? an ? (n ? 1)? (d , )即可从两个不同方向认识同一数列,公差为相反数。

? a1 ? (n ?1)d , am ? a1 ? (m ?1)d , an ? am ? (n ? m)d ,即 an ? am ? (n ? m)d . am 为第一项, an 是第 n-m+1 项,公差为 d;

相减得

若 n>m,则以 若 n<m ,则

am 以为第一项时, an 是第 m-n+1 项,公差为-d.
若 {an } 是等差数列, 则 ap

3) 、 从发展的角度看

? aq ? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d
4

, am

? an ? 2a1 ? (m ? n ? 2)d ,

因此有如下命题:在等差数列中,若 m ? n ? 3、前 n 项和公式 由

p ? q ? 2r

, 则 am

? an ? a p ? aq ? 2ar .

Sn ? a1 ? a2 ?
a1 ? an n, 2

? an , Sn ? an ? an?1 ?
还可表示为 S n 可得

? a1 ,
n(n ? 1) d , (d ? 0) ,是 n 的二次函数。 2

相加得

Sn ?

? na1 ?

特别的,由 a1 ? a2n?1

? 2an

S2n?1 ? (2n ?1)an 。

3、等比数列 1、 定义 当 n ? N ,且 n

?2

时,总有

an ? q(q ? 0) an?1

, q 叫公比。

2、通项公式:

an ? a1qn?1 ? amqn?m ,

在等比数列中,若 m ? n ?

p ? q ? 2r

, 则 am ? an

? ap ? aq ? ar 2 .

3、前 n 项和公式: 由

Sn ? a1 ? a2 ?
q ? 1 时, S ?

? an , qSn ? a2 ? a3 ?

? an ? an?1 ,
;当 q

两式相减,



a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? , (q ? 1) 1? q 1? q

? 1时

, sn

? na1



关于此公式可以从以下几方面认识: ①不能忽视 S

?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q 1? q

成立的条件: q

? 1 。特别是公比用字母表示时,要分类讨论。②公式推导

过程中,所使用的“错位相消法” ,可以用在相减后所得式子能够求和的情形。 如,公差为 d 的等差数列 {an } , Sn 相减得

? a1x ? a2 x2 ?

? an xn

,则 xSn

? a1x2 ? a2 x3

? an?1xn ? an xn?1 ,

Sn (1 ? x) ? a1x ? dx2 ?

? dxn ? an xn?1 ,



x ? 1 时, Sn (1 ? x) ? a1 x ?

dx(1 ? x n?1 ) a x ? an x n?1 dx 2 (1 ? x n?1 ) ? an x n?1 , Sn ? 1 ? 1? x 1? x (1 ? x)2
? an ? na1 ? n(n ? 1)d 2


当x

?1时

, Sn

? a1 ? a2 ?

3)从函数角度看

Sn 是 n 的函数,此时 q 和 a1 是常数。

4、等差与等比数列概念及性质对照表 名称 定义 等差数列 等比数列

an?1 ? an ? d ,(d常)

an ?1 a a ? q, (q常) , n? 2 ? n?1 (n ? N *) an an?1 an
5

an?2 ? an?1 ? an?1 ? an (n ? N*)
通项 公式

an ? a1 ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d
变式: a1

an ? a1q n?1 ? am q n?m .

? an ? (n ?1)d

性质

m ? n ? p ? q ? 2r ? am ? an ? a p ? aq ? 2ar .
(d ? 0可逆)

m ? n ? p ? q ? 2r ? am ? an ? a p ? aq ? (ar )2 .
(q ? 1可逆)

中项

m ? n ? 2r ? am ? an ? 2ar .

m ? n ? 2r ? am ? an ? (ar )2 .
a1 ? 0, q ? 1 或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 增; a1 ? 0, q ? 1 或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 时减;
q ? 1 时常数列, q ? 0 时摆动数列

单调性

d ? 0时 d ? 0时 d ? 0时

增 常数列 减

前 n 项 和

a ?a Sn ? 1 n n 2 n(n ? 1) ? na1 ? d , (d ? 0) 2
(推导方法:倒加法)

a1 (1 ? q n ) S? 1? q a ?a q ? 1 n , (q ? 1) 1? q
(推导方法:错位相消法)

sn ? na1 (d ? 0)
结论 1、

sn ? na1 (q ? 1)
,则 子

{an } 等差,公差 d
kd ;

{kan ? b} 等差

*

公差 列

{an } 等比,

公比 q,则 {kan } 等比, 公比 q ; {an

2

}

等比 ,公比

ak , ak ?m , ak ?2m ,

, ak ?nm ,(m ? N )

q2 ; { an } 等 比 , 公 比 q
a2n 等比,公比 q2
n

。子数列

等差,

公差 md; 若 {kn } 等差 ,公差 d1 ,则 {ak 差,公差 d1 ? d 。 2、

a2 , a4 , a4 ,
n

;
d

若 {kn } 等差, 。

}等
公差 d, 则 {ak

} 等比

, 公比为 q

{an } 等差,公差
2d;

d

则 {an

? an?1} 等差,公差
公差 3d.
2

{an } 等 比 ,

公比 q , 则

{an?1 ? an ? an?1} 等差,

?1? 1 ? ? 等比,公比 q ? an ?
, 公 比

;

Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k
且 S3k

{an?1 ? an ? an?1}
d
,





q3



等差, 公差 k

? 3(S2k ? Sk ). 即连续相同个数的和成
6

{an?1 ? an ? an?1} 等比,公比 q;

等差数列。

Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k
为偶数时, q
k

等比,公比 q , (当 k

k

。 ? 0)

3、

{an } 等差.公差 d ?

an ? am . n?m

Sm ? Sn ? Sm?n ? 0.

{an } 等比,公比 q ? n ? m

an . am

Sn ? m, Sm ? n ? S ? ?(m ? n).
4、 等差 {an } 共 2n 项,则

Q偶 ? Q奇 ? (a1 ? a3 ?

a2n?1 )(q ?1)

Q偶 ? Q奇 ? nd ,

Q偶 Q奇

?

an an ?1

a1 (1 ? q 2 n ) = 1? q

等差 {an } ,共 2n+1 项,则

Q偶 ? n ; n ?1 Q奇

?

Q奇 ? Q偶 ? an?1 (中),

Q偶 Q奇

a2 ? a4 ? a2 n ? q. a1 ? a3 ? a2n?1

5、

{an } 等差 ? an ? an?1 ? d
? Sn ? a1 ? an n 2

{an } 等比,

公比 q ? an

? a1qn?1

? Sn ? An2 ? Bn ? an ? kn ? b
S ? an ? 2 n ?1 . 2n ? 1
联系 1、 2、 通项公式 3、 4、 5、 6、 各项不为 0 常数列,即是等差,又是等比。

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? Sn ? ? 1? q 1? q
? Sn ? an ?1,(a ? 0, a ? 1).

an ? {

S1 ,( n ?1) Sn ? Sn?1 ,( n? 2)

.

{an } 等差,公差 d, c ? 0, c ? 1 ,

则c

a1

, ca2

can ,即 {c an } 等比,公比 c d .
loga an , 即 {loga an } 等差,公差 log a q .

a a 公比 q, an ? 0 (a ? 0, a ? 1) , loga 1 ,loga 2 , {an } 等比,

{an } 等差, {bn } 等比,

则 {an ? bn } 前 n 项和求法,利用错位相消法

求和方法:公式法,倒加法,错位相消法,裂项法,累加法,累积法,等价转化法等。

5、递推数列

表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数,数列可用递推式表示。求递推 7

数列通项公式常用方法:公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的,累加法是求形如 的基本方法,其中数列

an?1 ? an ? f (n) 递推数列

{ f (n)} 可求前

n 项和,即

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ?

? (an ? an?1 ) ;累乘法是求形如
{g (n)}
可 求 前 n 项 积 , 即

an?1 ? g (n) ? an
an ? a1 ? a2 a3 ? a1 a2

递 推 数 列 通 项 公 式 的 基 本 方 法 , 其 中 数 列

an , (a ? 0) . an?1

附:数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ? 的数列等。 例题:已知数列{an}的通项为 an=

?

c ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理数列、含阶乘 ? an an?1 ?

1 ,求这个数列的前 n 项和 Sn. n(n ? 1)

解:观察后发现:an=

1 1 ? n n ?1

sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an


1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 ? 1? n ?1

3.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列, ?bn ? 是各项不为 0 的等比数列。 例题:已知数列{an}的通项公式为 an ? n ? 2n ,求这个数列的前 n 项之和 s n 。 解:由题设得:

sn ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? an
= 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ??? ? n ? 2
1 2 3 n



s n = 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n
把①式两边同乘 2 后得



2 sn = 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ??? ? n ? 2n?1
用①-②,即:



8

s n = 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n
2 sn = 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ??? ? n ? 2n?1


① ②

? sn ? 1? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 2n ? n ? 2n ?1 2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 ? ? (1 ? n)2n ?1 ? 2
∴ sn ? (n ?1)2n?1 ? 2 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论

n( n ? 1) 1): 1+2+3+...+n = 2
4 )

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n

2

?1 ? 3) 1 ? 2 ? ? ? n ? ? n(n ? 1)? ?2 ?
3 3 3

2

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ?

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

5 )

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2
6)

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ;
n n ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b ? n ??, n ? 1? ;

⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . 33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式(高次不等式)的解法 穿根法(零点分段法)
9

求解不等式: a0 x n ? a1 x n?1 ? a2 x n?2 ? ?? an ? 0(? 0)(a0 ? 0) 解法:①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)?(x-xm)>0(<0)形式,并将各因式 x 的系数化“+” ;(为了统一 方便) ②求根,并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来; ③由右上方穿线(即从右向左、从上往下:偶次根穿而不过,奇次根一穿而过) ,经过数轴上表示各 根的点(为什么?) ; ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则 找“线”在 x 轴下方的区间.

+ X1

+ — X2 — X3 Xn-2

+ Xn-1 — — Xn

+ X

(自右向左正负相间) 例题:求不等式 x ? 3x ? 6 x ? 8 ? 0 的解集。
2 2

解:将原不等式因式分解为: ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 4) ? 0 由方程: ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 4) ? 0 解得 x1 ? ?2, x2 ? 1, x3 ? 4 将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来,如图

+

+ 1

?

-2

?

4

x

由图可看出不等式 x ? 3x ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为:
2 2

10

?x | ?2 ? x ? 1, 或x ? 4?
例题:求解不等式 解:略

( x ? 1)( x ? 2)( x ? 5) ? 0 的解集。 ( x ? 6)( x ? 4)

一元二次不等式的求解: 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)解的讨论.
2

??0
二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象 一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

对于 a<0 的不等式可以先把 a 化为正后用上表来做即可。 2.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为

f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) >0(或 <0); ≥0(或 ≤0)的形式, g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)

(2)转化为整式不等式(组)

f ( x) f ( x) f ( x) g ( x) ? 0 ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; ?0?? ? g ( x) ? 0 ? g ( x) g ( x)

例题:求解不等式: 解:略

1 ? ?1 x

11

例题:求不等式

x ? 1 的解集。 x ?1

3.含绝对值不等式的解法: 基本形式: ①型如:|x|<a ②型如:|x|>a 变型: 其中-c<ax+b<c 等价于不等 | ax ? b |? c(c ? 0)型的不等式的解集可以由?x | ?c ? ax ? b ? c? 解得。 式组 ? (a>0) 的不等式 的解集为: ?x | ?a ? x ? a? (a>0) 的不等式 的解集为: x | x ? ?a, 或x ? a

?

?

?ax ? b ? c ?ax ? b ? ?c

在解-c<ax+b<c 得注意 a 的符号

ax ? b ? c(c ? 0) 型的不等式的解法可以由 ?x | ax ? b ? c, 或ax ? b ? ?c? 来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式:用“零点分区间法”分类讨论来解. ④绝对值不等式解法中常用几何法:即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 例题:求解不等式 | x ? 2 |? 1 解:略 例题:求解不等式: | x ? 2 | ? | x ? 3 |? 10 解:零点分类讨论法: 分别令 x ? 2 ? 0和x ? 3 ? 0 解得: x ? ?3和x ? 2 在数轴上,-3 和 2 就把数轴分成了三部分,如右上图 ①当 x ? ?3 时, (去绝对值符号)原不等式化为:

?3

2

x

11 ? ??( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 11 ?x ? ? ?? 2 ? ? ? x ? ?3 ? 2 ? x ? ?3 ? ? x ? ?3
②当 ?3 ? x ? 2 时, (去绝对值符号)原不等式化为:

??3 ? x ? 2 ??3 ? x ? 2 ?? ? ?3 ? x ? 2 ? ??( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 ? x ? R
③当 x ? 2 时, (去绝对值符号)原不等式化为:

12

?x ? 2 ?x ? 2 9 ? ?? 9 ?2? x? ? 2 ?( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 10 ? x ? ? 2
由①②③得原不等式的解集为: ? x | ? 函数图像法: 令 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |

? ?

11 9? ? x ? ? (注:是把①②③的解集并在一起) 2 2?
y

f ( x) =10
5

??2 x ? 1 ( x ? ?3) ? ? 则有: f ( x) ? ?5 (?3 ? x ? 2) ? 2 x ? 1 ( x ? 2) ? ?
在直角坐标系中作出此分段函数及 f ( x) ? 10 的图像如图 由图像可知原不等式的解集为: ? x | ?
2

?

11 ?3 2

o

2

9 2

x

? ?

11 9? ?x? ? 2 2?

4.一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析: y 设 ax +bx+c=0 的两根为 ?、? ,f(x)=ax +bx+c,那么:
2 2

?? ? 0 ? ①若两根都大于 0,即 ? ? 0, ? ? 0 ,则有 ?? ? ? ? 0 ?? ? ? ? 0 ?

o

?
对称轴 x= ?

?
b 2a

x

?? ? 0 ? b ? ②若两根都小于 0,即 ? ? 0, ? ? 0 ,则有 ?? ?0 ? 2a ? ? f (0) ? 0

y

?
对称轴 x= ?

?
b 2a

o

x

y
13

?

o

?

x

③若两根有一根小于 0 一根大于 0,即 ? ? 0 ? ? ,则有 f (0) ? 0

y ④若两根在两实数 m,n 之间,即 m ? ? ? ? ? n ,

?? ? 0 ? b ? ?n ?m ? ? 则有 ? 2a ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0
⑤若两个根在三个实数之间,即 m ? ? ? t ? ? ? n ,

o

m

?
X= ?

?
b 2a

n

x

y

? f (m) ? 0 ? 则有 ? f (t ) ? 0 ? f (n) ? 0 ?
o m

?
X= ?

t

?

n

x

b 2a

。 。 。 。 。 。还有很多,见课件 常由根的分布情况来求解出现在 a、b、c 位置上的参数 例如:若方程 x2 ? 2(m ? 1) x ? m2 ? 2m ? 3 ? 0 有两个正实数根,求 m 的取值范围。

?4(m ? 1) 2 ? 4(m2 ? 2m ? 3) ? 0 ?? ? 0 ? m ? ?1 ? ? ? 解:由①型得 ?? ? ? ? 0 ? ?2(m ? 1) ? 0 ? ? m ? ?1 ?m?3 ?? ? ? ? 0 ? ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ? ? m ? ?1, 或m ? 3 ?
所以方程有两个正实数根时, m ? 3 。 又如:方程 x ? x ? m ? 1 ? 0 的一根大于 1,另一根小于 1,求 m 的范围。
2 2

? 5 5 2 2 ? ?? ? 0 ?(?1) ? 4(m ? 1) ? 0 ?m? ?? 解: 因为有两个不同的根, 所以由 ? ?? 2 ?? 2 2 ? ?1 ? m ? 1 2 f (1) ? 0 1 ? 1 ? m ? 1 ? 0 ? ? ? ??1 ? m ? 1 ?
35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.

14

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 a?b ? ab . 42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 2
41、设 a 、 b 是两个正数,则 43 、 常 用 的 基 本 不 等 式 : ① a2 ? b2 ? 2ab ? a, b ? R ? ; ② ab ?

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; ③ 2

? a?b ? ab ? ? ? ? a ? 0, b ? 0? ; ? 2 ? a 2 ? b2 ? a ? b ? ④ ?? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ?
44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有: ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 时,和 x ? y 取得最小值 2 p . 例题:已知 x ? 解:∵ x ?
2

2

s2 .⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 4

5 1 ,求函数 f ( x) ? 4 x ? 2 ? 的最大值。 4 4x ? 5

5 ,∴ 4 x ? 5 ? 0 4

由原式可以化为:

f ( x) ? 4 x ? 5 ? 5 ? 2 ?

1 1 1 1 ? ?(5 ? 4 x) ? ? 3 ? ?[(5 ? 4 x) ? ] ? 3 ? ? (5 ? 4 x) ? ? 3 ? ?1 ? 3 ? 2 4x ? 5 5 ? 4x 5 ? 4x 5 ? 4x

当 5 ? 4x ?

1 3 2 ,即 (5 ? 4 x) ? 1 ? x ? 1,或x ? (舍去) 时取到“=”号 5 ? 4x 2

也就是说当 x ? 1 时有 f ( x)max ? 2

15


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