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2013届新课标高中数学(文)第一轮第2章第7讲 函数的值域与最值

时间:2012-07-12


函数的值域
【 例 1】 求下列函数的值域.

? 1 ? y=

? x ? 3 x ? 4;   ? y= ?2
2

x 2x ? 1

; 6 ? 2 x;

? 3 ? y= | x+ 1 | + | x- 2 | ;4 ? y= 2 x-1 - ? ? 5 ? y= lo g 1 ( x
2 2

- x+

5 4

).

【 解 析 】 1 ? 因 为 y= ?

5 ?? x ? ? ? , 所 以 y ? [ 0, ]. 2 4 2
2

3

25

? 2 ? 因 为 y=

1 2

(

2x ? 1?1 2x ? 1

)=

1 2

(1 ?

1 2x ?1

),

1 1 所 以 y ? (- ? , ) ? ( , + ? ). 2 2 ? ? 2 x ? 1( x ? ? 1) ? ? 3 ?由 y= ? 3( ? 1 ? x ? 2 ) , 得 y ? [3 , + ? ). ? 2 x ? 1( x ? 2 ) ?

? 4 ? 由 u=
2

6 ? 2 x ? 0, 得 2 x= 6 - u ,
2

则 y= - u - u + 5 = - ( u +

1 2

) +

2

21 4

, 所 以 y ? (- ? ,]. 5

? 5 ? 由 u= x

2

- x+

5 4

= ( x-

1 2

) + 1 ? 1 , 得 y ? (- ? , ]. 0
2

以上各题所用方法是求函数值域 常见的方法: (1)二次函数法; (2)分离系数(亦可用反函数法); (3)分段函数法; (4)换元法(注意新元的取值范围); (5)复合函数转化法.

【 变 式 练 习1】

? 1 ? y= ? 2 ? y= ? 3 ? y=

x ? x?3
2

x ? x ?1
2



1? 2 1? 2
2

x x

; ( x ? 0 );

3x x ? x ?1
3

? 4 ? y= lo g 1 x+ 2 ( x ? ? 0 , 3 ? ).

【 解 析 】 1 ? 将 原 式 转 化 为 关 于 x的 方 程 (1 - y ) x ?

2

+ ( y- 1) ? x+ 3 - y= 0 ( y ? 1), 该 方 程 对 x ? R 成 立 , 所 以 ? = ( y- 1) - 4 (1 - y )(3 - y ) ? 0, 且 y ? 1 ,
2

11 即 3 y - 1 4 y+ 1 1 ? 0 , 解 得 1 ? y ? , 所 以 y ? (1 , ]. 3 3
2

11

?2?转 化 为2

x



1? y 1? y

? 0 .综 上 , 得 y ? (- 1,1). ? 0时 ,

? 3 ? 当 x= 0时 , y= 0; 当 x
转 化 为 y= x? 3 1 x ?1

?x

? 0 ? . 综 上 , 得 y ? ? 0 ,1 ?.

? 4 ? 当 x ? ? 0 , 3 ? 时 , lo g 1 x ? [- 1 , + ? ), 所 以 y ? [1 , + ? ).
3

函数值域的应用
【例2】 已 知 函 数 f(x) = x2 + bx + c(b≥0 , c∈R).是否存在函数f(x)满足其定义域、 值域都是[-1,0]?若存在,求出f(x)的表 达式;若不存在,请说明理由.

【 解 析 】 因 为 函 数 图 象 的 对 称 轴 是 x= - 又 b ? 0, 所 以 - b 2 ? 0.

b 2



?1 ? 当 -

1 2

<

b 2 b 2

? 0, 即 0 ? b ? 1时 ,

则 当 x= -

时,f

? x ? 有 最 小 值 -1 ,

b ? ?b ? 0 ?b ? 4 ? f (- ) ? ? 1 则? ? ? 或? ( 舍 ). 2 ?c ? ?1 ?c ? 3 ? f ( ? 1) ? 0 ?

? 2 ? 当 -1 ? -

b 2

?-

1 2

, 即1 ? b ? 2 时 ,

b ? ?b ? 2 ?b ? ?2 ? f (- ) ? ? 1 则? ? ? (舍 )或 ? ( 舍 ). 2 ?c ? 0 ?c ? 0 ? f (0 ) ? 0 ?

? 3 ?当 -

b 2

? -1 , 即 b ? 2 时 ,

? f (- 1) ? ? 1 ?b ? 2 则? ,解得 ? 满足题意. ? f (0 ) ? 0 ?c ? 0 综上所述,符合条件的函数有两个: f

? x ?= x

2

-1 或 f

? x ?= x

2

+ 2 x.

含有参数的一元二次函数的定义域 与值域相同问题,本质上就是二次函数 的最值.求解的关键是通过函数图象进 行分析,由函数的最大值与最小值和函 数的值域进行比较而得一方程组,再通 过方程组的解的存在性进行判断.

【变式练习 2】已知函数 f(x)=x2-2x+3 在[0,a](a>0)
上的最大值为 3,最小值为 2,求实数 a 的取值范围.

【解析】f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,
当 0<a<1 时,函数 f(x)=(x-1)2+2 在[0,a]上递减, 故最大值为 f(0)=3,最小值为 f(a)=a2-2a+3=(a-1)2 +2>2,所以 0<a<1 不符合题意. 当 a≥1 时,函数 f(x)=(x-1)2+2 在[0,1]上递减, 在[1,a]上递增,故最小值为 f(1)=2.

又因为 f(0)=3,所以 f(0)≥f(a).
?a≥1 即? 2 ,解得 1≤a≤2. ?a -2a≤0

此时,函数 f(x)=(x-1)2+2 在[0,a]上最大值为 3, 最小值为 2. 综上所述,a 的取值范围是 1≤a≤2.

1.若函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3}, {-1,0,3} 则其值域为____________ 2.若定义在R上的函数y=f(x)的值域为[a, [a,b] b],则y=f(x+1)的值域为________

3.(2011· 南师附中模拟卷)已知函数
? x f(x)=? 2 ?-x -4x

?x≥0? ,若 f(x)≤3,则 x 的取值 ?x<0?

范围是

[-1,9]∪(-∞,-3] .

?x<0 ?x≥0 ? 【解析】f(x)≤3 等价于? 或? 2 , ?-x -4x≤3 ? ? x≤3

解得 0≤x≤9 或-1≤x<0 或 x≤-3, 即-1≤x≤9 或 x≤-3.

4.已 知 函 数 f

? x ? = 2 + lo g 3 x (1 ? ? x ?? ?
2

x ? 9 ),

求 函 数 y= ? f ?

+f

?x

2

?的 最 大 值 .

【 解 析 】 y= ? f ?
2

? x ?? ?

2

+f

?x ?
2 2 2

= ( 2 + lo g 3 x ) + 2 + lo g 3 x
2

= ? lo g 3 x ? + 6 lo g 3 x+ 6 = (lo g 3 x+ 3) - 3. ?1 ? x ? 9 由? , 得 1 ? x ? 3 , 所 以 lo g 3 x ? ? 0 ,1 ?. 2 ?1 ? x ? 9 所 以 , 当 lo g 3 x=1 , 即 x= 3 时 , y m a x=1 6 - 3 =1 3.

5.已 知 函 数 f

? x ?= x

2

+ x+

1 2

.若 f

? x ?的 定 义

域 为 [ n, n+1]( n ? N ), 求 f 数的个数.

? x ?的 值 域 中 整

【解析】因为函数f 对 称 轴 方 程 为 x= - 所以函数f 即 [ n + n+ 而 n + n+
2 2

? x ?= x
1 2 ,

2

+ x+

1 2

的图象的

? x ? 的 值 域 为 [ f ? n ? , f ( n+ 1)],
1 2 , n + 3 n+ , n + 3 n+
2 2 2

5 2 5 2

]. 都不是整数,
2

1 2

所 以 在 区 间 [ n + n+ n + n+
2

1 2

, n + 3 n+

5 2

]上 共 有

1 2

- ( n + 3 n+

2

5 2

)= 2 n+ 2 个 整 数 .

1.函数的值域 求函数值域的方法是依据函数的表达 式来选择的.根据表达式的结构,有如下 的常见方法可供选择:配方法、换元法、 具体函数法(如二次函数、反比例函数、分 段函数)、基本不等式法、数形结合法、判 别式法、导数法.求函数的值域,必须首 先考虑函数的定义域.

2. 求 函 数 的 值 域 常 常 用 到 以 下 性 质 : x ? 0; x ? 0; a ? 0 ( a ? 0 且 a ? 1);
2 x

- 1 ? s in x ? 1 ; - 1 ? c o s x ? 1. 3. 函 数 的 值 域 一 定 要 写 成 集 合 或 区 间的性质.


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