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湖北省荆门市2013届高三元月调考数学(文)试题

时间:2013-01-29


湖北省荆门市 2012-2013 学年度高三元月调考


注意: 1、全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

学(文)

2、考生务必将自己的姓名、考号、班级、学校等填写在答题卡指定位置;交卷时只交答题卡. 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.将选项代号填涂在答题卡上相应位置. 1.复数

2?i 表示复平面内点位于 2?i

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.首项为 ?20 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是 20 5 20 5 20 5 ?d≤ ≤d ? A. d ? B. d ≤ C. D. 9 2 9 2 9 2 3.命题“ ?x ? R, e x ? x ”的否定是 A. ?x ? R, e x ? x C. ?x ? R, e x ≥ x B. ?x ? R, e x ≥ x D. ?x ? R, e x ? x

4.已知集合 M ? y y ? 2 x , x ? 0 , N ? x y ? lg(2 x ? x 2 ) , M ? N 为 A. (1, 2) B. (1, ??) C. [2, ??) D. [1, ??)

?

?

?

?

5.设 a、b 是两条不重合的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,则下列命题中不正确的一个是 A.若 a ? ? , a ? ? 则 ? ∥ ? C.若 b ? ? , a ? ? 则 a ? b B.若 a ? ? , b ? ? ,则 a ∥ b D.若 a ∥ ? ,b ? ? ,则 a ∥ b

?2 x ? y ≤1 ? 6.若 x, y 满足约束条件 ? x + y ≥ 2 ,目标函数 Z ? kx ? 2 y 仅在点 (1,1) 处取得小值,则 k 的取值范围 ?y ? x≤2 ?
为 A. (-1,2) 在 [1,3] 上是 A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 B. (-4,2) C.(-4,0] D. (-2,4) 7.已知函数 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数, f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,若 f ( x) 在 [?1,0] 上是增函数, 且 那么 f ( x)

8.函数 f ( x) ? ln x ? e x 的零点所在的区间是
?1?

A. (0, )

1 e

B. ( ,1)

1 e

C. (1, e)

D. (e, ??)

9.函数 y ? x ? sin x , x ?[?π, π] ,的大致图象是

A、

B、

C、

D、

10. 若向量 a 与 b 不共线, a ? b ? 0 ,且 c ? a ? ( A. 0

a?a a?b

)b ,则向量 a 与 c 的夹角为
D.

B.

π 6

C.

π 3

π 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分)

?2? x ( x ≥ 3) 11. 已知函数 f ( x) ? ? 则 f (log 2 3) ? ? f ( x ? 1)( x ? 3)
12.若等比数列 {an } 的前 n 项和 S n ? ( ) a ?
n



.

1 3

1 ,则 a ? 6
▲ . .



.

x 在点 (1,1) 处的切线方程为 2x ? 1 π 14. y ? sin(2 x ? ) 的单调减区间为 ▲ 4
13. 曲线 y ?

15.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点, AC ? ? AE ? ? AF ,其中

??? ?

??? ?

??? ?

?, ? ? R, 则? ? ? ? _____▲______.
16.在△ABC 中, B ? 45? ,C=60°,c=1,则最短边的边长是 ▲ .

17.若函数 f ( x) ? x2 ? ln x ? 1 在其定义域内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数,则实数 k 的 取值范围_______▲________. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(本小题满分 12 分)已知数列 ?log2 (an ? 1)? (n ? N ? ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
?2?

1 2

(2)证明

1 1 1 ? ??? ?1 . a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an

1) 19. (本小题满分 12 分) 已知命题 P: 函数 f ( x) ? (2a ? 5) x 是 R 上的减函数, 命题 Q: x ? (,2 在
不等式 x 2 ? ax ? 2 ? 0 恒成立,若命题“ P ? Q ”是真命题,求实数 a 的取值范围.

时,

20(本小题满分 13 分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视 图,俯视图,在直观图中,M 是 BD 的中点,N 是 BC 的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等 腰直角三角形,有关数据如图所示. (1)求该几何体的体积; (2)求证:AN∥平面 CME; (3)求证:平面 BDE⊥平面 BCD

第 20 题图

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e ln x ?

k (其中 e 是自然对数的底数,k 为正数) x

(I)若 f ( x) 在 x 0 处取得极值,且 x 0 是 f ( x) 的一个零点,求 k 的值; (II)若 k ? (1, e) ,求 f ( x) 在区间 [ ,1] 上的最大值.

1 e

?3?

22. (本小题满分 14 分)如图,已知直线 OP1,OP2 为双曲线 E: △P1OP2 的面积为 率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线, a 2 b2

27 ,在双曲线 E 上存在点 P 为线段 P1P2 的一个三等分点,且双曲线 E 的离心 4

13 . 2

(1)若 P1、P2 点的横坐标分别为 x1、x2,则 x1、x2 之间满足怎样的关系?并证明你的结论; (2)求双曲线 E 的方程; (3)设双曲线 E 上的动点 M ,两焦点 F1 , F2 ,若 ?F1MF2 为钝角,求 M 点横坐标 x 0 的取值范围. O P2
第 22 题 图

y

P1

P

x

?4?

荆门市 2012-2013 学年度高三元月调考

数学(文)参考答案及评分标准
命题人:钟祥一中 范德宪 邹斌 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分。 ) 1-5 ACBAD 6-10 BCACD 二、填空题: (每小题 5 分,共 35 分。 ) 11、 审题人:龙泉中学 刘灵力 市教研室 方延伟

1 12

12、-

1 6 3 ) 2

13、x+y-2=0

14、 [

3π 7π ? kπ, ? kπ](k ? Z ) 8 8

15、

4 3

16、

6 3

17、 [1,

三、解答题 18、 (1)设等差数列的公差为 d, 由 a1 ? 3, a3 ? 9 得 2(log 2 2 ? d ) ? log 2 2 ? log 2 8 即 d=1; 所以 log2 (an ? 1) ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n 即 an ? 2n ? 1 (2)证明: ????3 分 ????6 分 ????8 分

1 1 1 ? n?1 ? n n a n?1 ? a n 2 ?2 2

1 1 1 ? n? 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? 2 2 2 ? 1 ? 1n ? 1 所以 1 a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an 2 2 2 2 2 1? 2 ????12 分

19. P:? 函数 f ( x) ? (2a ? 5) x 是 R 上的减函数,? 0 ? 2a ? 5 ? 1 ,故有 Q:由 x 2 ? ax ? 2 ? 0 得 ax ? x 2 ? 2 ,?1 ? x ? 2 , 且a ?

5 ? a ? 3 ?3 分 2

x2 ? 2 2 ? x ? 在 x ? (1, 2) 时恒成立, x x

??6 分 ??9 分

又 x ? ?[2 2,3) ??8 分,? a ≥ 3

2 x

P ? Q 是真命题,故 P 真或 Q 真,所以有
所以 a 的取值范围是 a ?

5 ? a ? 3或 a≥3 2

????11 分 ??12 分

5 2
?5?

20、(本小题满分 12 分) (1)由题意可知:四棱锥 B-ACDE 中,平面 ABC⊥平面 ACDE,AB AC, AB⊥平面 ACDE,又 AC=AB=AE=2,CD=4, 则 四 棱 锥 B - ACDE 的 体 ????2 分 积 为 : ⊥

1 1 (4 ? 2) ? 2 V ? S梯形ACDE ? AB ? ? ? 2 ? 4 ,即该几何体的体积为 4 3 3 2
????4 分 (2)证明:由题图知,连接 MN,则 MN∥CD, 且 MN ? CD .又 AE∥CD,且 AE ? CD ,

1 2

1 2

????6 分

∴ MN ∥ AE , MN = AE ∴四边形 ANME 为平行四边形,∴AN∥EM. ∵AN ? 平面 CME,EM ? 平面 CME,∴AN∥平面 CME (3)证明:∵AC=AB,N 是 BC 的中点,∴AN⊥BC, 又平面 ABC⊥平面 BCD,∴AN⊥平面 BCD 则(2)知:AN∥EM, ∴EM⊥平面 BCD,又 EM ? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 BCD 21、 (1)由已知得 f ?( x0 ) ? 0 ,即 又 f ( x0 ) ? 0 即 e ln ??13 分 ????3 分 ????10 分 ?????8 分

e k k ? 2 ? 0 ? x0 ? , x x0 x0

k ? e ? 0,?k ? 1 e

????6 分

e k (2) f ?( x) ? ? 2 ? x x

k e( x ? ) e ,?1 ? k ≤ e,? 1 ≤ k ≤1 ,由此得 x ? ( 1 , k ) 时, f ( x) 单调递减; 2 x e e e e
????10 分

k ? 1 ? x ? ( ,1) 时 f ( x) 单调递增,故 f max ( x) ? ? f ( ), f (1) ? e ? e ?
又 f ( ) ? ek ? e, f (1) ? k ,当 ek ? e ? k , 即 当 ek ? e≤k 即 1 ? k ?

1 e

1 e ? k ? e 时 fmax ( x) ? f ( ) ? ek ? e ?12 分 e e ?1
????14 分

e 时, f max ( x) ? f (1) ? k e ?1

22、 (1)设双曲线方程为

x2 y2 c 13 - 2 =1,由已知得 = 2 a 2 a b
?6?



b2 9 = 2 4 a

∴渐近线方程为 y=±

3 x 2

????2 分

则 P1(x1,

3 3 x1) P2(x2,- x2) 2 2
3 2 = 12 ∴sin2θ= 13 9 1? 4 9 2 12 2 x2 ? x2 ? 13 4 2?
????5 分

3 3 设渐近线 y= x 的倾斜角为θ ,则 tanθ = 2 2

27 1 1 = |OP1||OP2|sin2θ = 4 2 2 9 ∴x1?x2= 2


x12 ?

9 2 x1 4

(2)不妨设 P 分 P P2 所成的比为 λ=2,P(x,y), 则 1 x=

x1 ? 2 x 2 3

y=

y1 ? 2 y 2 x ? 2 x2 = 1 3 2
????7 分

∴x1+2x2=3x x1-2x2=2y ∴(3x)2-(2y)2=8x1x2=36 ∴

x2 y2 - =1 即为双曲线 E 的方程 4 9

????9 分

(3)由(2)知 C= 13 ,∴F1(- 13 ,0) F2( 13 ,0) 设 M(x0,y0)

9 2 x -9, MF1 =(- 13 -x0,-y0) MF2 =( 13 -x0,-y0) 4 0 13 2 2 2 ∴ MF1 ? MF2 =x 0 -13+y 0 = x -22 ????12 分 4 0 13 2 若∠F1MF2 为钝角,则 x -22<0 4 0 2 ∴|x0|< 286 又|x0|>2 13 2 2 ∴x0 的范围为(- ??14 分 286 ,-2)∪(2, 286 ) 13 13
2 则 y0 =

?7?


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