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仁寿一中北校区高二文科半期考试

时间:2015-05-18


仁寿一中北校区高中二数学半期考试题
(文史类)
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),共 4 页。考生作答时,须将答 案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分 150 分。考试时间 120 分钟。考 试结束后,将本试题卷和答题卡上一并交回。

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:(本大题共 12 小题

,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的。) 1.设 i 为虚数单位,则

5?i ? (A ) 1? i

A. 2-3i B. 2+3i C.-2-3i D.-2+3i 2 2 2 . 若 方 程 x +ky =2 表 示 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 为 ( C ) A.(0,+∞) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,+∞) 3.函数 f ( x) ? x ? e ? x 的一个单调递增区间是( A (A) ?? 1,0? (B) ?2,8? (C) ?1,2? )

(D) ?0,2?

4.抛物线 A.

的焦点坐标是( B B.
3



C.

D.

5.若函数 f ( x) ? x ? 3bx ? 3b 在 ?0,1? 内有极小值,则( C )

(A)

b ? 0 (B) b ? 1
3 2

(C) 0 ? b ? 1

(D) b ?

1 2

6.已知 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为( C)

A、-3<a<6

B、a<-1 或 a>2

C、a<-3 或 a>6

D、-1<a<2

7 设 F1,F2 分别是双曲线 x 2 ?
则 PF1 ? PF2 ? ( B A. 10 )

y2 ? 1的左、 右焦点. 若点 P 在双曲线上, 且 PF 1 ? PF 2 ?0, 9

B. 2 10

C. 5 1

D. 2 5

8.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下图所示,则导函数 y=f ?(x) 可能为 (D ) y y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

9.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合, 且双曲线的离 2 a b

心率等于 5 ,则该双曲线的方程为 A 5x ?
2

(
2

B)

4 2 y ?1 5

B. 5 x ?

5 2 y ?1 4

C.

y 2 x2 ? ?1 5 4

x2 y2 ? ?1 D. 5 4

10.函数 f ( x) 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( C )
(A) 0 ? f (2) ? f (3) ? f (3) ? f (2)
/ /

y

(B) 0 ? f (3) ? f (2) ? f (3) ? f (2)
/ /

(C) 0 ? f (3) ? f (3) ? f (2) ? f (2)
/ /

(D) 0 ? f (3) ? f (2) ? f (2) ? f (3)
/ /

O

1 2 3 4

x

11.椭圆 mx2 ? ny2 ? 1与直线 x ? y ? 1 交于 M , N 两点, MN 的中点为 P ,且 OP 的

斜率为

m 2 ,则 的值为 n 2

( B )
2 2
2 2 3 9 2 2

(A)

2 3 27

(B)

(C)

(D)

2

12、f( x )是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令 g( x )=af( x )+b, 则下 列关于函数 g( x )的叙述正确的是(B ) A.若 a<0,则函数 g( x )的图象关于原点对称. B.若 a=-1,-2<b<0,则方程 g( x )=0 有大于 2 的实根. C.若 a≠0,b=2,则方程 g( x )=0 有两个实根. D.若 a≥1,b<2,则方程 g( x )=0 有三个实根.

第 II 卷
注意事项:

(非选择题 共 90 分)

必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。 作图题可先用 铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 二 、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13 在复平面内,复数 6+5i, -2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对 应的复数是________。2+4i 14. 已 知 点 M 是 抛 物 线 y 2 ? 4 x 上 的 一 点 , F 为 抛 物 线 的 焦 点 , A 在 圆

C: ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 上,则|MA|?|MF | 的最小值为_____3____.
1 1 2 15.设 f(x)=-3x3+2x2+2ax.若 f(x)在(3,+∞)上存在单调递增区间,则 a 的取值范围为 ________。 1 (- ,+∞) 9 1 2 1 2 解析 由已知得 f′(x)=-x +x+2a=-(x- ) + +2a. 2 4 2 2 2 2 1 当 x∈[ ,+∞)时,f′(x)的最大值为 f′( )= +2a.令 +2a>0,得 a>- . 3 3 9 9 9 1 2 所以当 a>- 时,f(x)在( ,+∞)上存在单调递增区间 9 3 16.动圆 M 与圆 O1: x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 O2: x ? y ? 6x ? 91 ? 0 内 切, 曲线 C 为动圆圆心 M 的轨迹,
2 2

2

2

(1)动圆圆心 M 的轨迹方程是
0

x2 y2 ? ?1; 36 27

(2)若 ?O1MO2 ? 60 ,则 S?o1Mo2

? 27 3 ;
3 ,其中正确 4

(3)以坐标原点为圆心半径为 6 的圆与曲线 C 没有公共点; (4)动点 M ? x, y ? ,( y ? 0) 分别与两定点 ? ?6,0?、 ?6,0? 连线的斜率之积为 ?

3

命题的序号是: 三、解答题 17. (本小题 10 分)已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求 f ( x ) 单调区间; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间 ?

?1 ? , 3 上的最值。 2 ?e ? ?

17. 解析: f ( x) 的定义域为(0,+?), …………1 分

f ( x) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x . ………………3 分 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . e e ? 1? ?1 ? 从而 f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递增. ………………5 分 ? e? ?e ?

f ? x ?min ? ?1, f ? x ?max ? 3ln3.
18. (本小题 10 分) 抛物线的顶点在在原点, 它的准线过双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的 a 2 b2

一个焦点,并与双曲线的实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为 ? 标准方程和双曲线的标准方程。

?3 ? , 6 ? ,求抛物线的 ?2 ?

3 2 19.(本小题 12 分)设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.

(1)求 a、b 的值;

3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围. (2)若对于任意的 x ? [0,
2

4

19.解:(1) f ?( x) ? 6 x2 ? 6ax ? 3b , 因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .

即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?24 ? 12a ? 3b ? 0.

解得 a ? ?3 , b ? 4 . (2)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x3 ? 9x2 ? 12x ? 8c ,

f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .
1) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (0, , 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (1 3) 时, f ?( x) ? 0 . 当 x ? (2,
所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 因为对于任意的 x ??0, 3? ,有 f ( x) ? c 恒成立,
2

所以 解得

9 ? 8c ? c 2 ,
c ? ?1 或 c ? 9 ,

? 1) 因此 c 的取值范围为 (??,

(9, ? ?) .

20、(本小题 12 分)请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上 部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点 O 到底 面中心 o1 的距离为多少时,帐篷的体积最大? 【注: V柱体 ? S底 ? h, V锥体 ? S底 ? h 】
1 3

5

20、解:设正六棱锥的高为 x m,则正六棱锥底面边长为 32 ? x2 (单位:m)。 ………………2 分 于是底面正六边形的面积为(单位:m2): S ? 6 帐篷的体积为(单位:m ):
3

3 3 3 ( 9 ? x 2 )2 ? (9 ? x 2 ) 。 4 2
………………4 分

V ( x) ?

3 3 3 3 ?1 ? (9 ? x2 ) ? x ? 1? ? (9 ? x 2 )(3 ? x) ? (? x3 ? 3x 2 ? 9 x ? 27) (1 ? x ? 3) 2 2 ?3 ? 2 ………………8 分

求导数,得 V ?( x) ? ?

令 V ?( x) ? 0 解得 x=-3(不合题意,舍去),x=1。 ………………10 分 当 0<x<1 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为增函数;当 1<x<3 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为减函数。 所以当 x=1 时,V(x)最大。即当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大。 …………12 分 w.ks5u.com
21.(本小题 13 分)椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,焦点 F(c,0)( c ? 0 ) 直线 l:x ?

3 3 2 ( x ? 2 x ? 3) ; 2

a2 与 x 轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点 . c

(1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP ? OQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程; (3)设 AP ? ? AQ( ? ? 1 ),过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M, 证明 FM ? ?? FQ .(14 分)
2 2 21.[解析]:(1)由题意,可设椭圆的方程为 x ? y ? 1(a ? 2

a

2

?a 2 ? c 2 ? 2, . 由已知得 ? 2) ? a2 ?c ? 2( ? c). c ?

2 2 解得 a ? 6 , c ? 2 ,所以椭圆的方程为 x ? y ? 1 ,离心率 e ?

6

2

6. 3

? x2 y2 ? ? 1, (2)解:由(1)可得 A(3,0) .设直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 3) .由方程组 ? 2 ?6 ? y ? k ( x ? 3) ? 6 6 . 2 2 2 2 2 得 (3k ? 1) x ? 18k x ? 27k ? 6 ? 0 ,依题意 ? ? 12(2 ? 3k ) ? 0 ,得 ? ?k? 3 3 2 2 18 k 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? , ① x x ? 27k ? 6 . ②,由直线 PQ 的方程得 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

y1 ? k ( x1 ? 3), y2 ? k ( x2 ? 3)

.于是 y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)(x2 ? 3) ? k 2 [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] . ③ ④,由①②③④得 5k
2

∵ OP ? OQ ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 .

? 1,从而 k ? ?

5 6 ? (? , 5 3

6 . ) 3

所以直线 PQ 的方程为 x ? 5 y ? 3 ? 0 或 x ? 5 y ? 3 ? 0 . (2)证明: AP ? ( x1 ? 3, y1 ), AQ ? ( x2 ? 3, y2 ) .由已知得方程组

6

而 FQ ? ( x ? 2, y ) ? ( ? ? 1 , y ) ,所以 FM ? ?? FQ . 2 2 2

? x1 ? 3 ? ? ( x 2 ? 3), ? y ? ?y , 2 ? 1 ? x12 y12 注意 ? ? 1 ,解得 x ? 5? ? 1 ,因 F (2, 0), M ( x1 , ? y1 ) ,故 2 ? ? ? 1, 2? 2 ?6 ? x2 y2 ? 2 ? 2 ? 1. 2 ?6 1? ? ? ?1 FM ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? (?( x2 ? 3) ? 1, ? y1 ) ? ( , ? y1 ) ? ?? ( , y2 ) . 2 2?
2?

a2 22.(本小题 13 分)已知函数 f ? x ? ? x ? , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x
(1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值; ( 2 )在满足( 1 )的条件下对于区间 ? , 4 ? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有 4

?1 ?

? ?

37 ,求实数m的值; 4 (3)若对任意的 x1, x2 ??1 ,e? ( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立, 求实数 a 的取值范围. f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? m2 ? 2m ? 2 3 ?
(1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ?? , x

a2 1 ? . x2 x 2 ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 .
∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 经检验当 a ? 3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ a ? 3 . 解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ?? , x

a2 1 ? . x2 x a2 1 2 2 令 h? ? x ? ? 0 ,即 2 ? 2 ? ? 0 ,整理,得 2 x ? x ? a ? 0 . x x 2 ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 ∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ? (舍去), x2 ? , 4 4 当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

x

? 0, x2 ?

x2

? x2 , ???

7

h? ? x ? h ? x?
依题意,



0 极小值



?1 ? 1 ? 8a 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 ,∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 4
3 ?1 ? , 故 f(x)在区间 ? , 3 ? 为减函数, 在区间 ? 3, 4? ? ? x ?4 ?

x ? (2) 由 (1) 得 f ?x ? ?
为增函数。列表---

1 ?1? f ? x ?max ? f ? ? ? 12 ; f ? x ?min ? f 4 ?4?

? 3? ? 2

?1 ? 3 ∵对于区间 ? , 4 ? 上任意两 ?4 ?

个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)| |f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|= 12

1 37 ? 2 3 ? m 2 ? 2m ? 2 3 ? ; 4 4

? m ? 3或m ? -1
( 3 ) 解 : 对 任 意 的 x1, x2 ??1 ,e? 都 有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成 立 等 价 于 对 任 意 的

1 x1, x2 ??1 ,e? 都有 ? ? f ? x ?? ? min ≥ ? ? g ? x ?? ? max . 当 x ?[1,e ]时, g ? ? x ? ? 1 ? x ? 0 . ∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1 ,e? 上是增函数∴ ? ? g ? x ?? ? max ? g ? e ? ? e ? 1 .

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ∵ f ?? x? ? 1? 2 ? ,且 x ??1, e? , a ? 0 . x x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ①当 0 ? a ? 1 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? x2 a2 2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在[1, e ]上是增函数,∴ ? ? f ? x ?? ? min ? f ?1? ? 1 ? a . x 2 由 1 ? a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e ,又 0 ? a ? 1 ,∴ a 不合题意.
②当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ?

x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 . 若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数. x e ?1 ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ? a ? ? 2a .由 2 a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ 2 ,
又1≤ a ≤ e ,∴

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,

e ?1 ≤a≤e. 2

8

③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ? 由e?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 a2 f x ? f e ? e ? ? 在 ?1 . ,e? 上是减函数.∴ ? ? ? ? ? ? ? min x e

a2 ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e ,又 a ? e ,∴ a ? e . e ? e ?1 ? 综上所述, a 的取值范围为 ? , ?? ? . ? 2 ?

9

10