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2.4.2平面向量数量积的运算律


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第 8 课时 2.4.2 平面向量数量积的运算律 学习目的: 1.掌握平面向量数量积运算规律; 2.能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题. 学习重点:平面向量数量积及运算规律. 学习难点:平面

向量数量积的应用 课堂探究: 一、复习引入: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ (0≤θ ≤π )叫a与b的夹 角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ ,则数量|a||b|cos? 叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ ≤π ).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 3. “投影”的概念:作图 C

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为直角时 投影为 0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|. 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?; 2? a?b ? a?b = 0

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3? 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a

4?cos? =

a ?b ;5?|a?b| ≤ |a||b| | a || b |

二、讲解新课: 平面向量数量积的运算律 1.交换律:a ? b = b ? a 证:设 a,b 夹角为?,则 a ? b = |a||b|cos?,b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a 2.数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 证:若 ? > 0,( ? a)?b = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?,a?( ? b) = ? |a||b|cos?, 若 ? < 0,( ? a)?b =| ? a||b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?, a?( ? b) =|a|| ? b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?. 3.分配律:(a + b)?c = a?c + b?c 在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b, OC = c, 于 a、b 在 c 方向上的投影和,即 ∵a + b (即 OB )在 c 方向上的投影等

|a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2 即:(a + b)?c = a?c + b?c

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2, ∴c?(a + b) = c?a + c?b 说明: (1)一般地,(a·b)с ≠a(b·с ) (2)a·с =b·с ,с ≠0


a=b


(3)有如下常用性质:a =|a| , (a+b) (с +d)=a·с +a·d+b·с +b·d (a+b) =a +2a·b+b 三、讲解范例: 例 1 已知 a、b 都是非零向量,且 a + 3b 与 7a ? 5b 垂直,a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角. 解:由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0 (a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0 两式相减:2a?b = b2 代入①或②得:a2 = b2 ① ②
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设 a、b 的夹角为?,则 cos? =

a?b b2 1 ? ? 2 | a || b | 2 | b | 2

∴? = 60?

例 2 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 解:如图:平行四边形 ABCD 中, AB ? DC , AD ? BC , AC = AB ? AD
2 ∴| AC |2= | AB ? AD | ? AB ? AD ? 2 AB ? AD 2 2

而 BD = AB ? AD ,
2 ∴| BD |2= | AB ? AD | ? AB ? AD ? 2 AB ? AD 2 2

∴| AC |2 + | BD |2 = 2 AB ? 2 AD = | AB |2 ? | BC |2 ? | DC |2 ? | AD |2 例 3 四边形 ABCD 中, AB =a, BC =b, CD =с , DA =d,且a·b=b·с =с ·d=

2

2

d·a,试问四边形 ABCD 是什么图形?
分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解:四边形 ABCD 是矩形,这是因为: 一方面:∵a+b+с +d=0,∴a+b=-(с +d) ,∴(a+b) =(с +d) 即|a| +2a·b+|b| =|с | +2с ·d+|d|
2 2 2 2 2 2 2 2 2

由于a·b=с ·d,∴|a| +|b| =|с | +|d| ① 同理有|a| +|d| =|с | +|b| ② 由①②可得|a|=|с |,且|b|=|d|即四边形 ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形 ABCD 是平行四边形 另一方面,由a·b=b·с ,有b(a-с )=0,而由平行四边形 ABCD 可得a=-с , 代入上式得b·(2a)=0,即a·b=0,∴a⊥b也即 AB⊥BC. 综上所述,四边形 ABCD 是矩形. 评述:(1)在四边形中, AB , BC , CD , DA 是顺次首尾相接向量,则其和向量是零向量, 即a+b+с +d=0,应注意这一隐含条件应用; (2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.
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四、课堂练习: 1.下列叙述不正确的是( ) B.向量的数量积满足分配律 D.a·b 是一个实数 )

A.向量的数量积满足交换律 C.向量的数量积满足结合律

2.已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为60°,则(a+2b)·(a-3b)等于( A.72 B.-72 C.36 D.-36 )

3.|a|=3,|b|=4,向量 a+ A.平行

3 3 b 与 a- b 的位置关系为( 4 4
C.夹角为

B.垂直

? 3

D.不平行也不垂直


4.已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 150°,则(a+b) = 5.已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|=______,|a-b|= 6.设|a|=3,|b|=5,且 a+λ b 与 a-λ b 垂直,则λ = 五、小结(略) 六、课后作业(略) . .

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