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高考数学解题技巧-填空和选择题


高三数学 解题技巧—填空和选择
一、构建知识体系,考点热点一网打尽
1.选择题: 选择题的求解,一般有两个思路:一是从题干出发考虑,探求结果;二是从题干和选择联合考虑或从 选择出发探求是否满足题干条件。 解选择题的主要方法包括:直接对照法、概念辨析法、图像分析法、特例检验法、排除法和逆向思维 法等,这些方法既是数学思维的具体体现,也是解题的有效手段。 2.填空

题: 填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力,具有小巧灵活、结构简 单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点。 从填写内容看,主要有两类:一是定量填写,二是定性填写。 解填空题的基本原则是“小题大做” ,基本策略师“巧做” 。解填空题的常用方法有:直接法、树形结 合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等。

二、高考真题精讲,考点意图分析

(一)选择题
题型一:直接对照法 直接对照型选择题 是直接从题设条件出发,利用已知条件,相关概念、性质、公式、公理和定 理等基础知识,通过严谨推理、准确运算、合理验证,从而直接得出正确结论,然后选出正确答案, 这类题型往往是由计算题、应用题或证明题改变而来,其基本求解策略师由因导果,直接求解。 【 例 1.1 】 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 13 , 若 f (1) ? 2 , 则 f (99) 等 于 ( A.13 ) B.2 C.

13 2

D.

2 13

x2 y2 2 【例 1.2】设双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x ? 1 只有一个公共点,则双曲线的离心 a b
率为 ( A. ) B.5 C.

5 4

5 2

D. 5

题型二:概念辨析法: 概念辨析是从题设条件出发,通过对数学概念的辨析,进行少量运算或推理,直接选出正确结论 的方法。 这类题涉及一些似是而非、 很容易混淆的概念或性质, 这需要考生在平时注意辨析有关概念, 准确区分相应概念的内涵与外延,同时在审题时多加小心,准确审题以保证正确选项。一般来说,这 教师寄语:掌握一种方法胜过做千遍练习! 1

类题目运算量小,侧重判断,下笔容易,但也容易误入命题者设置的“陷阱” 。 【例 2】 已知非零向量 a= ( x1 , y1 ) , b= ( x2 , y2 ) ,给出下列条件:①a=kb(k∈R) ; ② x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ;
2 2 2 2 ③ (a ? 3b) ∥ (2a ? b) ;④ a ? b ? a b ;⑤ x1 y2 ? x2 y1 ? 2 x1 x2 y1 y2 ,

其中能够使得 a∥b 的个数是( A.1 B.2 C.3

) D.4

题型三:数形结合法 “数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石,二者在内容上相互联系,在方法上互 相渗透、在一定条件下可以互相转化,而树形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的。在解 答选择题的过程中,可以先根据题意,做出草图,然后参照图形的做法、形状、位置和性质,综合图 像的特征,得出结论。 【例 3.1】用 min ?a, b, c? 表示 a, b, c 三个数中的最小值,设 f ( x) ? min 2 , x ? 2,10 ? x ( x ? 0) ,则
x

?

?

f ( x) 的最大值为 (
A.4 B.5

) C.6 D.7 )

x 【例 3.2】函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ? 1 ,则方程 f ( x) ? 2 ? 1 的实根的个数是 (

A.0

B.1

C.2

D.3

题型四:特值检验法 特值检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件, 得出特殊结论,再对各个选项进行检验,从而做出正确的选择。常用的特例有:特殊数值、特殊数列、 特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。 特值检验法是解答选择题的最佳方法之一,适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成 立” ,这样以全称判断形式出现的题目,其原理是“结论若在某种特殊情况下不真,则它在一般情况 下也不真” ,利用“小题小做” “小题巧做”的解题策略。
2 【例 4】 已知 A、 B、C、 D 是抛物线 y ? 8 x 上的点,F 是抛物线的焦点,且 FA? FB ? FC ? FD ? 0 ,
? ? ? ? ?

则 FA ? FB ? FC ? FD 的值为 ( A.2 B.4 C.8 D.16

?

?

?

?



题型五:筛选法 数学选择题本身就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的选项,找到符合题意的正确结论。筛选法 (又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例,对于错误的选项,逐一剔 教师寄语:掌握一种方法胜过做千遍练习! 2

除,从而获得正确的结论。 【例 5】方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负根的充要条件是 (
2



A.0<a≤1 题型六:估算法

B.a<1

C.a≤1

D.0<a≤1 或 a<0

由于选择题提供了唯一正确的选项,解答又无需过程,因此,有些题目,不必进行准确的计算, 只需对其数值特点和取值界限做出适当的估计,便能做出正确的判断,这就是估算法。估算法往往可 以减少运算量,但是加强了思维的层次。

?x ? 0 ? 【例 6】若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 x+y=a 扫 ?y ? x ? 2 ?
过 A 中的那部分区域的面积为 A. ( )

3 4

B.1

C.

7 4

D.2

(二)填空题
题型一:直接法 直接法就是从题设条件出发,运用定理、公式等知识,通过变形、推理和计算,得出正确结论。

a1 =-3,11 a5 =5 a8 -13, 【例 7】 在等差数列 ?a n ?中, 则数列 ?a n ?的前 n 项和的最小值为
题型二:特殊值法



特殊值法在考试中应用起来比较方便,它的实施过程是从特殊到一般,优点是简便易行。当暗示 答案是一个“定值”时,就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形等将字母具体化,把一般形式 变为特殊形式。当题目的条件是从一般性的角度给出时,特殊值法尤其有效。 【 例 8 】 已 知 △ ABC 的 三 个 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a , b , c , 且 满 足

(sin A ? sin C )( a ? c) ?s in A?s i n B ,则 C= b
题型三:图像分析法(数形结合法)



特殊值法的理论依据是:若对所有值都成立,那么对特殊值也一定成立。

依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征,利用图形直观性求解,这类问题的几何意义一般较 为明显,结合图形,进行简单的运算,一般就可以得出正确的答案。 【例 9】 已知方程 ( x ? 2 x ? m)( x ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为
2 2

1 的等差数列, 则 m?n 的 4

值等于

。 3

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题型四:等价转化法 将所给的命题进行等价转化,使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模式。通过转化,使问 题化繁为简、化陌生为熟悉,将问题等价转化成便于解决的问题,从而得出正确的结果。 【 例 10 】 设 函 数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 ?3 x ? 4, x ? 0

, 若 互 不 相 等 的 实 数 x1 , x2 , x3 满 足 。

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围是
题型五:构造法

构造形填空题的求解,需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型,从而简化推理与 计算过程,使较复杂的数学问题得到简捷的解决,它来源于对基础知识和基本方法的积累,需要从一 般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横向类比,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感,构造出 相应的函数、概率、几何等具体的数学模型,使问题快速解决。

2 sin(x ? ) ? 2 x 2 ? x 4 【例 11】函数 f ( x) ? 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m= 2 x 2 ? cos x 二、真题模拟演练,知识查缺补漏 1 1.函数 f ( x) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x ? 2) ? , 若 f (1) ? ?5 , 则 f ( f (5)) 的值为 ( f ( x)
A.5 B.-5 C.

?





1 5

D. -

1 5

x2 y2 2.已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) ,以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近线相切的圆的半径 a b
是( A. a 3. ) B. b C. ab D. a ? b
2 2

则假命题为 A.①②

( B.①③

) C.②③ D.①②③

4.设集合 A ? ?( x, y )

? ?

? x2 y2 ? ? 1? ,集合 B ? ( x, y ) y ? 3 x ,则 A ? B 的子集的个数是( 4 16 ?
C.2 D.1

?

?



A.4

B.3

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4

5.已知等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 A.2 B.3 C.4 D.8

a2 n 4n ? 1 S ,则 2n 的值为 ( ? Sn an 2 n ? 1



6.已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,则球面的 面积是 ( A. ) B. ?

16 ? 9

8 3

C.4π

D.

64 ? 9

7.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b,c,如果 a、b、c 成等差数列, 则

cos A ? cos C = 1 ? cos A cos C



8.已知 y ? f ( x) 的图像如图所示, 其定义域为[-4, 4], 那么不等式 9.已知关于 x 的不等式

f ( x) ? 0 的解集为 sin x



ax ? 1 1 <0 的解集是(-∞,-1)∪( ? ,+∞) ,则 a 的值为 x ?1 2



10.已知函数 f ( x) ? sin x cos x ?

sin x 1 ? 3 ,若 f (lg a) ? 4 ,则 f (lg ) 的值等于 a cos x



三、课后演练,巩固新知

1.已知集合 A= x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 , B ? ? x | 2 x ? 1 ? 3? , 则集合 A ? B = (A) ? x | 2 ? x ? 3? (A) y ? sin( x ? (B) ? x | 2 ? x ? 3? (C) ? x | 2 ? x ? 3? (D) ? x | ?1 ? x ? 3? 2..下列函数中,图像的一部分如右图所示的是

?

?

?
6

)

(B) y ? sin(2 x ?

?
?
6

)

(C) y ? cos(4 x ? 3.等差数列 (A)90
n

?
3

)

(D) y ? cos(2 x ?
1

6

)
2是

?a ? 的公差不为零,首项 a =1, a
(B) 100

a1



a5

等比中项,则数列 (D) 190

?a ? 的前 10 项之和是
n

(C) 145

x2 1 ? 2 ? 1(b ? 0) F 、F 4. 已 知 双 曲 线 2 b 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 1 2 , 其 一 条 渐 进 线 方 程 为 y ? x, 点
p( 3, y0 )
A 在该双曲线上,则 PF1 ? PF 2 = B
? ?

( 0

) D 4

?12

?2

C

5. 已 知 函 数

f ? x?

是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

x f ( x? 1) ? (1 ? x ) f (x ) ,则

5 f( ) 2 的值是

(

)

A 0

1 B 2

C 1

5 D 2
5

教师寄语:掌握一种方法胜过做千遍练习!

(2 x ?
6.

1 6 ) 2 x 的展开式的常数项是

。 。

2 2 7.直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 8 相交于 A、B 两点,则 AB ?

x2 y 2 。 ? ? 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4,那么 P 到左准线的距离是 64 36 9.从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某校公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人参加,则不同的挑 选方法共有____________种。 10.函数 f ( x) 的定义域为 A,若 x1 , x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ( x) 为单函数.例如,

8.双曲线

函数 f ( x) =2x+1( x ? R )是单函数.下列命题: ①函数 f ( x) ? x 2 (x ? R)是单函数; ②指数函数 f ( x) ? 2 x (x ? R)是单函数; ③若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是_________. (写出所有真命题的编号)

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