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河北省唐山一中2013-2014学年高一上学期期中考试 数学试题 Word版含答案( 2013高考)


唐山一中 2013—2014 学年度第一学期期中考试

高一年级数学试卷
说明: 1、考试时间为 90 分钟,满分为 150 分。2、将卷Ⅰ 答案用 2B 铅笔涂在答题卡上, 卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷答题纸上。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。

在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1.若集合 A= ? x | lg x ? 0? ,B= y | y ? 1 ? x 2 则 A ? B= A.

?

?

? ??,1?
3

B.

? 0,1?

C.

? 0,1?

D. ?1, ? ? ?

2.当 a ? 0 时 ? ax ? A.

x ax

B.

x ? ax

C.

? x ? ax

D.

? x ax
x

3 设函数 f ( x) 定义在实数集上, 它的图像关于直线 x ? 1 对称, 且当 x ? 1时,f ( x) ? 3 ? 1 , 则有

1 3 2 3 2 3 2 1 3 C. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 3 2
A. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 4. 函数 y ? x 5 的图象是
8

2 3 1 3 2 3 3 2 1 D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 3
B. f ( ) ? f ( ) ? f ( )

B. 5. .若 A ? B ? A ? C ,则一定有 A. C. B=C; B. D.

A.

C.

D.

A? B ? A?C ;
CU A ? B ? CU A ? C

A ? CU B ? A ? CU C ;
0.1 ? 1 2

6.已知 a ? 1.2 , b ? ln 2, c ? 5 A.

,则 a, b, c 的大小关系是 C.

a?b?c

B. b ? a ? c

b?c?a

D.

c?a?b

7. 函数 f ( x) ? ln( x ? A. 1
2

x 2 ? 1) ,若实数 a, b 满足 f (2a+5) ? f (4-b) ? 0 ,则 2a ? b ?
-1 C. -9 D. 9

B.

8 若函数 y=x ﹣4x﹣4 的定义域为[0,m],值域为 ? ?8, ?4 ? ,则 m 的取值范围是

A. (0,2]

B.

? 2, 4?

C.

? 2, 4?

D.

? 0, 4 ?

9. 若 f(x)的零点与 g(x)= 4 x ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25 则 f(x)可以是 A .f(x)=4x-1 B. f(x)= ( x ? 1)
2

C.

f(x)= e x ? 1

D. f(x)= ln( x ? 1 ) 2

10.已知函数 f ? x ? ? ? 范围是 A.

? x a ? 2 (0 ? x ? 2) ? 是(0, ?? )上的单调递减函数,则实数 a 的取值 x ?( 1 ) ? 1 ( x ? 2) ? 2 4

?? ?, 2?

B.

?1, 2 ?

C.

? 0, 2?

D.

?1, 2 ?
t

11.已知 f ( x) ? ( x ? 2) ? x ? 1 若关于 的取值范围 A.

x 的方程 f ( x) ? x ? t 有三个不同的实数解,则实数
C.

? ?1,1?

B.

? ?3, 2 ?

? ?3,1?
2

D.

? ?1, 2 ?

12.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x , 若对任意的 x ?[t , t ? 2], 不 等式 f ( x) ? 4f ( x ? t ) 恒成立,则实数 t 的最大值是 A.

?

2 3

B.

0

C .

3 2

D.

2

第 II 卷(非选择题
13.计算:

共 90 分)

二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上。)

2 lg 2 ? lg 3 ? 1 1 1 ? lg 0.36 ? lg 8 2 3

14. 某药品经过两次降价,每瓶的零售价由 100 元降为 81 元,已知两次降价的百分率相同, 设为 x ,为求两次降价的百分率则列出方程为:
2 1? x 2 15. 设 A= x | x ? 4 x ? 3 ? 0, x ? R B= x | 2 ? a ? 0, x ? 2(a ? 7) x ? 5 ? 0 若 A ? B 则

?

? ?

?

实数 a 的取值范围是 16.①任取 x∈R 都有 3x>2x; ②当 a>1 时,任取 x∈R 都有 ax>a x; ③y=( 3) x 是增函数;
- -

④y=2|x|的最小值为 1;

⑤在同一坐标系中,y=x3 与 y=x1/3 的图象关于 y=x 对称. 以上说法正确的是 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明和推理过程。) 17.(本小题 10 分) 已知 A ? x 4log 2

?

3

? log3 x ? 2 ? log3 63 ,函数 y ? 2

?

log 1 ? x ? 2 ?
2

?

1 的 4

定义域为 B 。 (1) 求 C R A ;

(2)求 ? C R A ? ? B 。

18. (本小题 12 分) 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,右图是函数图形的 一部 分,当 0≤x≤2 时,是线段 OA ;当 x>2 时,图象是顶点为 P(3,4) 的抛物线的一部分. (1)在图中的直角坐标系中画出函数 f(x)的图象; (2)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (3)写出函数 f(x)的单调区间.

19. (本小题 12 分)有甲,乙两家健身中心,两家设备和服务都相当,但收费方式不同.甲 中心每小时5元;乙中心按月计费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)90 元,超过 30 小 时的部分每小时 2 元. 某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动, 其活动时间不少 于 15 小时,也不超过 40 小时。 (1)设在甲中心健身 x (15 ? x ? 40) 小时的收费为 f (x) 元,在乙中心健身活动 x 小时的收 费为 g (x) 元。试求 f (x) 和 g (x) ; (2)问:选择哪家比较合算?为什么?

20. (本小题 12 分)定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)且 f(1)=2 (1)求证:f(x)为奇函数 (2)当 t>2 时,不等式 f(klog2t)+f(log2t-log22t-2)<0 恒成立,求 k 的取值范围

t 21. (本小题 12 分) 已知函数 y=x+ 有如下性质:如果常数 t>0,那么该函数在(0, t] x 上是减函数,在[ t,+∞)上是增函数. (1)若 f(x)=x+ a ,函数在 ? 0, a ? 上的最小值为 4,求 a 的值 x (2)对于(1)中的函数在区间 A 上的值域是 ? 4,5? ,求区间长度最大的 A(注:区间长度 =区间的右端点-区间的左断点) (3)若(1)中函数的定义域是 ? 2, ?? ? 解不等式 f( a 2 ? a ) ? f (2a ? 4)

22. (本小题 12 分) 已知二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c .
2

(1)若 f ? ?1? ? 0 ,试判断函数 f ? x ? 零点个数; 1 (2) 若对 x1 , x2 ? R, 且 x1 ? x2 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,、证明方程 f ( x) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )]必 2 有一个实数根属于 ? x1 , x2 ? 。 (3)是否存在 a, b, c ? R ,使 f ( x) 同时满足以下条件 ①当 x ? ?1 时, 函数 f ( x) 有最小值 0; ( x ? 1) 2 ②对任意 x ? R ,都有 0 ? f ( x) ? x ? 若存在, 求出 a, b, c 的值, 若不存在, 2 请说明理由。

唐山一中 2013-2014 学年第一学期高一期中考试

数学试题答案
一 、选择题 CCBAD ACCAD CA 二、填空题 13. 三、解答题 1 14.

100(1 ? x)2 ? 81 15. ?4 ? a ? ?1

16. ④⑤

17.解:(Ⅰ) A ? x 4log2

? x 3 ? log 3 ? 9 x ? ? log 3 63
3

? ? ? x log

?

3

? log3 x ? 2 ? log3 63

?

?
?
……………3 分 ……………………5 分

27 ? log 3 ? 9 x ? ? log 3 63

? ? x 27 ? 9 x ? 63? ? ? x 3 ? x ? 7?
故 C R A ? x x ? 3或x ? 7 。
log 1 ? x ? 2 ?

?

?

(Ⅱ) 2

2

?

log 1 ? x ? 2 ? 1 ?0?2 2 ? 2?2 ? log 1 ? x ? 2 ? ? ?2 4 2

? B ? ? x 2 ? x ? 6?

?0? x?2? 4 ? 2? x ? 6,
………………8 分

故 ? CR A ? ? B ? x 2 ? x ? 3 。 18. 解:(1)图象如图所示.

?

?

…………………10 分

........2 分 (2)当 x≥2 时,设 f(x)=a(x-3) +4 分 ∵f(x)的图象过点 A(2,2), 2 ∴f(2)=a(2-3) +4=2,∴a=-2, 2 ∴f(x)=-2(x-3) +4 设 x∈(-∞,-2),则-x>2, 2 ∴f(-x)=-2(-x-3) +4. 又因为 f(x)在 R 上为奇函数, ∴ f ( ? x ) ? ? f ( x) ,
2
2

......3

.............5 分

∴ f ( x) ? 2(? x ? 3) ? 4 ,
2

即 f ( x) ? 2( x ? 3) ? 4 ,x∈(-∞,-2) 分 19.解: (1) f ( x) ? 5x ,15 ? x ? 40 分

.........10 分

(3)单调减区间为(-∞,-3]和[3,+∞), 单调增区间为 [?3,3] .........12 ,........2

? 90,15 ? x ? 30 g ( x) ? ? ?30 ? 2 x,30 ? x ? 40
分 (2)当 5x=90 时,x=18, 即当 15 ? x ? 18 时, f ( x) ? g ( x) 当 x ? 18 时, f ( x) ? g ( x) 当 18 ? x ? 40 时, f ( x) ? g ( x) ; ∴当 15 ? x ? 18 时,选甲家比较合算; 当 x ? 18 时,两家一样合算; 当 18 ? x ? 40 时,选乙家比较合算. 20(1)令 x=y=0 得,f(0)=2f(0)?f(0)=0 再令 y=-x 得 f(0)=f(x)+f(-x) ?f(-x)=-f(x)即 f(x)为奇函数 分 (2)? f(0)=0,f(1)=2,且 f(x)是 R 上的单调函数, 故 f(x)是 R 上的单调递增函数,又 f(x)为奇函数

,........6

.... 分 ....7 .... 分 ....8 .... 分 ....9

.... 分 ....12

,.....4

?f(klog2t)<-f(log2t-log22t-2)= f(log22t-log2t+2) ?klog2t< log22t-log2t+2 在 t>2 时恒成立
分 令 m=log2t 则 m>1 即 km<m2-m+2 在 m>1 时恒成立 ∴可化为 m2-(k+1)m+2>0 在 m>1 时恒成立 设 g(m)= m2 -(k+1)m+2 ∵g(0)=2>0 则
k ?1 2

,.....6

,.. 分 ...8

? ?0 ? k 2 1 ? 1 ? 0 或 ? ? (k ? 1) ? 8 <0 或 ? 解得 k< 2 2 ? 1 ? f (1) ? 0
2

,.. 分 ...12

解法二 参变量分离的方法

21. 解:(1)由题意的:函数 f(x)在 0, a ? 上单调递减,在 ? a , ?? 上单调递增

?

?

?

?

当 a> a 时即 a>1 时函数在 x= a 处取得最小值, 所以 f( a )=2 a =4,解得 a=4 分 当 a< a 时即 0<a<1 时函数在 x=a 处取得最小值, 所以 f(a)=a+1=4,解得 a=3 不符合题意舍去 综上可得 a=4 (2)由(1)得 f(x)= x+ 4 ,又 x=2 时函数取得最小值 4,所以令 x+ 4 =5,则 x x 得 x=1 或 x=4 ,又 2 ? ?1, 4 ? ,所以区间长度最大的 A= ?1, 4?

,.....3

,.. 分 ...6
x 2 ? 5 x ? 4? 0 解

,.. 分 ...8

? a2 ? a ? 2 ? (3)由(1)知函数在 ? 2, ?? ? 上单调递增,所以原不等式等价于 ? 2a ? 4 ? 2 ? 2a ? 4 ? a 2 ? a ? 解得 a ? 4 或 a= —1 所以不等式的解集 ?a | a ? 4或a ? ?1? ,.. 分 ...12

b ? a? c ? ? ? b2 ? 4ac ? (a ? c)2 ? 4ac ? (a ? c)2 当 a ? c 时 ? ? 0 ,函数 f ? x ? 有一个零点; 当 a ? c 时, ? ? 0 ,函数 f ? x ? 有两个零点。 1 (2)令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? , ? 2?
g ? x1 ? ? f ? x1 ? ?
g ? x2 ? ? f ? x2 ? ?

22.解:(1)? f ? ?1? ? 0,? a ? b ? c ? 0,

--------------2 分 --------------3 分 ------------4 分 …………6 分

f ? x1 ? ? f ? x2 ? 1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? ? 2 2
f ? x2 ? ? f ? x1 ? 1 , ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? 2? 2

2 1 ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 0, ?? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? 4 ? g ? x ? ? 0 在 ? x1 , x2 ? 内必有一个实根。 1 即方程 f ? x ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 必有一个实数根属于 ? x1 , x2 ? 。 ? 2?

----8 分

(3)假设 a, b, c 存在,由①得 ?

b 4ac ? b 2 ? ?1, ?0 2a 4a

------------9 分 ? b ? 2a, b2 ? 4ac ? 4a 2 ? 4ac ? a ? c .. 1 由②知对 ?x ? R ,都有 0 ? f ( x) ? x ? ( x ? 1) 2 2 令 x ? 1 得 0 ? f (1) ? 1 ? 0 ? f (1) ? 1 ? 0 ? f (1) ? 1 ? a ? b ? c ? 1

?a ? b ? c ? 1 1 1 ? 由 ?b ? 2a 得 a ? c ? ,b ? , 4 2 ?a ? c ?
当a ?c ?

………………….10 分

1 1 1 1 1 1 , b ? 时, f ( x) ? x 2 ? x ? ? ( x ? 1) 2 ,其顶点为(-1,0)满足条 4 2 4 2 4 4 1 1 件①,又 f ( x) ? x ? ( x ? 1) 2 ? 对 ?x ? R ,都有 0 ? f ( x) ? x ? ( x ? 1) 2 ,满足条件②。 4 2
∴存在 a, b, c ? R ,使 f ( x) 同时满足条件①、②。 ………………….12 分


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