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陕西省三原县北城中学2014-2015学年高二数学下学期第二次月考试题 文


北城中学 2014-2015 学年度第二学期第二次月考 高二数学(文)试题
(全卷满分:150 分 完成时间 120 分钟) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的班级、姓名、考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上。 2.答第 I 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑。 3.第 II 卷各题的答案,必须使用 0.5 毫米的黑色签

字笔书写在答题卡规定的地方。 4.考试结束,将答题卡交回。 可能用到的公式或数据:
n ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? ? i ?1 ? ? ? ?b ? n 2 ? ( xi ? x) ? ? i ?1 ? ? ? ? y ? bx ? ?a

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

n ?ad ? bc ? K ? ?a ? b ??c ? d ??a ? c ??b ? d ?
2 2

P?K2 ? k?
k

0.50 0.455

0.40
0.708

0.25
1.323

0.15
2.072

0.10
2.706

0.05
3.841

0.025
5.024

0.010
6.635

0.005
7.879

0.001
10.828

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一.选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. ) 1、函数 y ? x cos x 的导数为
2

(

) B. y? ? 2 x cos x ? x sin x
2

A. y? ? 2 x cos x ? x sin x
2

C. y? ? x cos x ? 2 x sin x
2

D. y? ? x cos x ? x sin x
2

2、归纳推理与类比推理的相似之处为 A.都是从一般到一般 C.都是从特殊到特殊

(

)

B.都是从一般到特殊 D.都不一定正确 )

3、设有一个回归方程为 y=2 ? 2.5x,则变量 x 增加一个单位时( A. y 平均增加 2.5 个单位 C. y 平均增加 2 个单位 4、下列结论正确的是( ) B. y 平均减少 2.5 个单位 D. y 平均减少 2 个单位

①函数关系是一种确定性关系

②相关关系是一种非确定性关系③回归分析是对具有

函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法④回归分析是对具有相关关系的两个变量进 行统计分析的一种常用方法 A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④

1

5、已知 A. 3

a ? 1 ? bi ,其中 a, b 是实数, i 是虚数单位,则 | a ? bi |? ( 1? i
B. 2 C. 5 D. 5

)

6 用反证法证明某命题时, 对其结论: “自然数 a,b,c 中恰有一个偶数” 正确的反设为 ( ) A. a,b,c 都是奇数 C. a,b,c 中至少有两个偶数 7、因为 a, b ? R ? , a ? b ? 2 ab , B. a,b,c 都是偶数 D. a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 ??大前提

x?

1 1 ? 2 x? , x x
1 ? 2. x


??小前提

所以 x ?

??结论

以上推理过程中的错误为( A.大前提 B.小前提

C.结论

D.无错误

8 、 观 察 按 下 列 顺 序 排 列 的 等 式 : 9 ? 0 ? 1 ? 1 , 9 ? 1 ? 2 ? 11 , 9 ? 2 ? 3 ? 21 ,

9 ? 3 ? 4 ? 31 ,?,猜想第 n(n ? N* ) 个等式应为(
A. 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 C. 9n ? (n ? 1) ? 10n ? 1



B. 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 D. 9(n ? 1) ? ( n ? 1) ? 10n ? 10
开始 输入 n

9、已知 MOD 函数是一个求余函数,其格式为

MOD(n, m) ,其结果为 n 除以 m 的余数,例如 MOD(8,3) ? 2 .右面是一个算法的程序框图,
当输入的值为 25 时,则输出的结果为( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 )

i?2


MOD(n, i) ? 0?


输出 i

10、定义运算

a c

b d

? ad ? bc ,则符合条件[]

i ? i ?1

结束

1 z

?1 zi

? 4 ? 2i 的复数 z 为(

)A. 3 ? i

B. 1 ? 3i

C. 3 ? i

D.1 ? 3i

11、现有一段长为 18m 的铁丝,要把它围成一个底面一边长为另一边长 2 倍的长方体形状 的框架,当长方体体积最大时,底面的较短边长是( A.0.75 m B. 1.5 m C.1 m )

D. 0.5 m
2

12、对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定(a,b)=(c,d)当且仅当 a=c,b=d; 运算“ ? ”为: (a, b) ? (c, d ) ? (ac ? bd , bc ? ad ) ,运算“ ? ”为:

(a, b) ? (c, d ) ? (a ? c, b ? d ) ,设 p, q ? R 若 (1,2) ? ( p, q ) ? (5,0) 则 (1,2) ? ( p, q ) ? (
) A、 (2,0) B、 (4,0) C、 (0,2) D、 (0,?4)

二、填空题(本大题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分,把答案填在题中的横线上。 ) 13、若 ? x ? i ? i ? ?1 ? 2i ? x ? R ? ,则 x ? .

14、某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验.根 据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归方程 y=0.67x+54.9. 零件数 x(个) 加工时间 y(min) 10 62 20 30 75 40 81 50 89

现发现表中有一个数据看不清,请你推断出该数据的值为________.
? x ? t2 15、圆锥曲线 ? (t 为参数)的焦点坐标是 ? y ? 2t

16、不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? a ? 2a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为_______
2

17、设 z ? log 2 (m 2 ? 3m ? 3) ? i log 2 ( m ? 3)( m ? R ) ,若 z 对应的点在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,则 m 的值是 .

18、 通过类比长方形, 由命题 “周长为定值 l 的长方形中, 正方形的面积最大, 最大值为 可猜想关于长方体的相应命题为 .

l2 ” , 16

三.解答题(共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19、 (本题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1 ? 3 ,满足 S n ? 6 ? 2a n ?1 (n ? N ? ) , (1)求 a 2 , a3 , a 4 的值; (2)猜想 a n 的表达式。

20(本题 12 分)从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi (单位:千元) 与月储蓄 yi (单位:千元)的数据资料,算得
10

? xi ? 80 , ? yi ? 20 , ? xi yi ? 184 ,
i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

?x
i ?1

2 i

? 720 .(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ;

(2)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.
3

21、 (本题满分 12 分)为了调查某大学学生在某天上网的时间,随机对 100 名男生和 100 名女生进行了不记名的问卷调查. 得到如下的统计结果.

上网时间 (分钟) [30, 40) 人数 5

[40,50)
25

[50, 60)
30

[60, 70)
25

[70,80]
15

表 1:男生上网时间与频数分布表:

上网时间 (分钟) [30, 40) 人数 10

[40,50)
20

[50, 60)
40

[60, 70)
20

[70,80]
10

表 2:女生上网时间与频数分布表: 完成下面的 2×2 列联表,并回答能否有 90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”? 22、 (本题满分 12 分)已知复数 z 满足|z|= 2,z 的虚部为 2. (1)求复数 z;(2)设 z,z ,z-z 在复平面上的对应点分别为 A,B,C,求△ABC 的面积. 请考生从第(23) 、 (24) 、 (25)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多 做,则按所做的第一个题目计分. 23.(10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知圆 M 的参数方程为 ?
2 2 2

? x ? cos? ,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴 (? 为参数) ? y ? sin ?

建立极坐标系,圆 N 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ?

?
3

).

(1)将圆 M 的参数方程化为普通方程,将圆 N 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)圆 M,N 是否相交,若相交,请求出公共弦长,若不相交请说明理由. 24.(10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的 延长线交于 E 点,且 EC=ED. (1)证明:CD//AB; (2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG, 证明:A,B,G,F 四点共圆. 25. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (1)已知函数 f ?x ? ? x ? 3 , g ?x ? ? m ? 2 x ? 11 ,若 2 f ?x ? ? g ?x ? 4? 恒成立,求实数 m 的取
2 2 2 值范围。 (2) 已知实数 x、y、z 满足 2 x ? 3 y ? 6 z ? a (a ? 0), 且 x ? y ? z 的最大值是 1,

求 a 的值.
4

北城中学 2014-2015 学年度第二学期第二次月考 高二数学(文)参考答案 一.选择题 1—6 A D B C D D 二、填空题: 13、2 14、68 7—12 A D B A C A 15、 ?1, 0 ? 16、[-1,3](或-1≤a≤3)
2

17、 15 三.解答题

? S ?3 18、 表面积为定值 S 的长方体中, 正方体的体积最大, 最大值为 ? ? ?6?

19、解: (1)因为 a1 ? 3 ,且 S n ? 6 ? 2a n ?1 (n ? N ? ) ,所以 S1 ? 6 ? 2a 2 ? a1 ? 3 (1 分)

3 3 3 , (2 分)又 S 2 ? 6 ? 2a3 ? a1 ? a 2 ? 3 ? (3 分) ,解得 a3 ? , (4 分) 2 2 4 3 3 3 又 S 3 ? 6 ? 2a 4 ? a1 ? a 2 ? a3 ? 3 ? ? , (5 分)所以有 a 4 ? (6 分) 2 4 8 3 3 3 3 3 3 3 (2)由(1)知 a1 ? 3 = 0 , a 2 ? ? 1 , a3 ? ? 2 , a 4 ? ? 3 (10 分) 2 2 4 2 8 2 2 3 猜想 a n ? n ?1 ( n ? N ? ) (12 分) 2
解得 a 2 ? 20(本小题满分 12 分) 解: (1)由题意知 n ? 10, x ? 又 lxx ?
n

1 n 80 1 n 20 xi ? ? 8 , y ? ? yi ? ? 2, ? n i ?1 10 n i ?1 10

?x
i ?1

n

2 i

? nx ? 720 ? 10 ? 82 ? 80 ,

2

lxy ? ? xi yi ? nx y ? 184 ? 10 ? 8 ? 2 ? 24 ,
i ?1

b?

lxy lxx

?

24 ? 0.3 , a ? y ? bx ? 2 ? 0.3 ? 8 ? ?0.4 , 80

故所求回归方程为

y ? 0.3x ? 0.4 .

(2)将 x ? 7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为

y ? 0.3 ? 7 ? 0.4 ? 1.7 (千元).
21.(本小题满分 14 分) 解: 上网时间少于 60 分钟 男生 60 上网时间不少于 60 分钟 40 合计 100

5

女生 合计

70 130

30 70

100 200

?2 ?

200 ? (1800 ? 2800) 2 200 ? ? 2.2 ? 2.706 100 ?100 ?130 ? 70 91


故没有 90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”. 22【解】 (1)设 z=a+bi(a,b∈R), 由已知条件得:

a2+b2=2,z2=a2-b2+2abi,所以 2ab=2.
所以 a=b=1 或 a=b=-1, 即 z=1+i 或 z=-1-i. (2)当 z=1+i 时,z =(1+i) =2i,z-z =1-i. 1 1 所以点 A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以 S△ABC= |AC|×1= ×2×1=1. 2 2 当 z=-1-i 时,z =(-1-i) =2i,z-z =-1-3i, 所以点 A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3), 1 1 所以 S△ABC= |AC|×1= ×2×1=1. 2 2 综上可知△ABC 的面积为 1. 23.解: (1)圆 M 的通同方程为: 圆 N 直角坐标方程为: x ? y ?1; ( x ? )2 ? ( y ?
2 2
2 2 2 2 2 2

1 2

3 2 ) ?1 2

(2)圆心距 d ? 1 ? 2 ,所以两圆相交,设交点为 A,B,则由
2 2 ? 1 3 ?x ? y ? 1 得 A(1,0), B ( ? ,? ) ,?| AB |? 3 。 ? 2 2 2 2 ? x ? y ? x ? 3 y ? 0 ?

24.解: (1)因为 EC=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA,所以 CD//AB. (2)由(1)知,AE=BE,因为 EF=FG,故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.连结 AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE, 又 CD//AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°. 故 A, B,G,F 四点共圆

6

24. 解 :( Ⅰ ) 函 数 f ?x ? 的 图 象 恒 在 函 数 g ?x ? 图 象 的 上 方 ,
?x ? R,2 f ?x ? ? 2 x ? 3 ? g ?x ? 4? ? m ? 2 x ? 4 ? 11 ? m ? 2 x ? 7 ,



从 而 有 m ? 2( x ? 7 ?

x?3

) 由 绝 对 值 不 等 式 的 性 质 知 ?5 分

2

( x ? 7 ? x ? 3 ) ? 2 x ? 7 ? ( x ? 3) =20 因此,实数 m 的取值范围为 (??,20] (Ⅱ)由柯西不等式:

? ? ?

?

?? 1 ? 2 2 1 1 ? 1 1 1 2 x ? ( 3 y ) 2 ? ( 6 z ) 2 ? ?? ? ( )2 ? ( )2 ? ? ( ? 2x ? ? 3y ? ? 6 z)2 ? ? ? 2? ? 3 6 2 3 6 ? ? ? ?

?

2 2 2 2 因为 2 x ? 3 y ? 6 z ? a (a ? 0), 所以 a ? ( x ? y ? z ) , 因为 x ? y ? z 的最大值是 1,所

以 a ? 1 ,当 2 x ? 3 y ? 6 z 时, x ? y ? z 取最大值,所以 a ? 1

7


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