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2011届高三数学一轮复习测试题(直线与圆的方程)


2011 届高三数学一轮复习测试题 (直线与圆的方程)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的。) x+1 1.(08· 全国Ⅰ)设曲线 y= 在点(3,2)处的

切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a= x-1 ( ) 1 1 A.2 B. C.- D.-2 2 2 [答案] D x+1 [解析] ∵点(3,2)在 y= 上, x-1 -2 1 y′= ,y′|x=3=- , 2 (x-1)2 直线 ax+y+1=0 的斜率为-a, 1 ∴(-a)×(- )=-1,∴a=-2. 2 1 2.若函数 f(x)=- eax 的图象在 x=0 处的切线 l 与圆 C:x2+y2=1 相离,则点 P(a,b) b 与圆 C 的位置关系是 ( ) A.P 在圆 C 外 B.P 在圆 C 内 C.P 在圆 C 上 D.不能确定 [答案] B 1 a a [解析] 当 x=0 时,y=- ,又 f′(x)=- ·ax,k=f′(0)=- ,所以切线 l 的方程为 y e b b b a 1 =- x- , b b 即 ax+by+1=0. 1 2 2 由 2 2>1 得,a +b <1,即点 P 在圆 C 内. a +b 3.“a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C 4.(文)如果直线 l 将圆 x2+y2-2x-4y=0 平分,且不通过第四象限,则直线 l 的斜率的 取值范围是 ( ) 1 ? A.[0,1] B.?2,1? ? 1 C.?0,2? D.[0,2] ? ? [答案] D [解析] 由题意知 l 过圆心(1,2),由图知 k∈[0,2].

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(理)若曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上相异两点 P、Q 关于直线 kx+2y-4=0 对称,则 k 的 值为 ( ) 1 A.1 B.-1 C. D.2 2 [答案] D [解析] 由条件知直线 kx+2y-4=0 是线段 PQ 的中垂线,∴直线过圆心(-1,3),∴k= 2. 5.由直线 y=x-1 上的一点向圆 x2+y2-6x+8=0 引切线,则切线长的最小值为 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 [答案] A [解析] 圆 C:(x-3)2+y2=1,

的圆心 C(3,0),半径为 1,P 在直线 x-y-1=0 上. 切线 PQ⊥CQ(Q 为切点), 则切线长|PQ|= |PC|2-|QC|2= |PC|2-1. |3-0-1| |PC|的最小值为点 C 到直线 x-y+1=0 的距离 = 2. 2 所以|PQ|min= ( 2)2-1=1. 6.过点 P(4,2)作圆 x2+y2=4 的两条切线,切点分别为 A、B,O 为坐标原点,则△OAB 的外接圆方程是 ( ) A.(x-2)2+(y-1)2=5 B.(x-4)2+(y-2)2=20 C.(x+2)2+(y+1)2=5 D.(x+4)2+(y+2)2=20 [答案] A 1 [解析] 由条件知 O、A、B、P 四点共圆,从而 OP 中点(2,1)为所求圆的圆心,半径 r= 2 |OP|= 5,故选 A. 7.过点 P 作圆(x+1)2+(y-2)2=1 的切线,切点为 M,若|PM|=|PO|(O 为原点),则|PM| 的最小值是 ( ) 3 5-5 2 5 5 A. B. C. D.1 5 2 5 [答案] A [解析] 设点 P 坐标为(x,y),则由条件得|PM|2=(x+1)2+(y-2)2-1=|PO|2=x2+y2,化 简为 x-2y+2=0,从而|PM|的最小值即为|PO|的最小值,也即 O 到直线 x-2y+2=0 的距离 2 5 ,故选 A. 5 8.直线 l 与圆 x2+y2=1 相切,并且在两坐标轴上的截距之和等于 3,则直线 l 与两坐标

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轴所围成的三角形的面积等于 3 1 A. B. 2 2 [答案] A

( C.1 或 3 1 3 D. 或 2 2

)

?a+b= 3 ? x y [解析] 设直线 l 的方程为 + =1,则满足? |ab| ?ab=-3 或 1(舍去),从而所 a b ? a2+b2=1 ? 1 3 围成三角形的面积 S= |ab|= ,故选 A. 2 2 9. 如图, 在平面直角坐标系中, 是一个与 x 轴的正半轴、 轴的正半轴分别相切于点 C、 Ω y D 的定圆所围成的区域(含边界),A、B、C、D 是该圆的四等分点.若点 P(x,y)、点 P′(x′, y′)满足 x≤x′且 y≥y′, 则称 P 优于 P′.如果 Ω 中的点 Q 满足: 不存在 Ω 中的其它点优于 Q,那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧 ( )

A. AB [答案] D

B. BC

C. CD

D. DA

[解析] 首先若点 M 是 Ω 中位于直线 AC 右侧的点, 则过 M, 作与 BD 平行的直线交 ADC 于一点 N,则 N 优于 M,从而点 Q 必不在直线 AC 右侧半圆内;其次,设 E 为直线 AC 左侧 或直线 AC 上任一点,过 E 作与 AC 平行的直线交 AD 于 F.则 F 优于 E,从而在 AC 左侧半圆 内及 AC 上(A 除外)的所有点都不可能为 Q,故 Q 点只能在 DA 上. 10.已知点 P 是抛物线 y2=4x 上的点,设点 P 到抛物线的准线的距离为 d1,到圆(x+3)2 +(y-3)2=1 上一动点 Q 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.3 2+1 [答案] B [解析] 由题意 d1=|PF|,d2=|PQ|,点 P 在抛物线上,∴d1+d2=|PF|+|PQ|, 故当 P、F、Q 三点共线时取最小值,由圆外一点到圆上点距离最值在这点与圆心连线与 圆的交点处取得.

∴最小值为|FQ|=|FC|-|CQ|=4. 11.(文)x2+y2≤1 是|x|+|y|≤1 成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] x2+y2≤1 表示⊙O 内部及边界的平面区域 M,|x|+|y|≤1 表示正方形 ABCD 内部 及其边界的平面区域 N,显然 M?N,∴选 B.
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(理)四棱锥 P-ABCD 中,BC⊥平面 PAB,底面 ABCD 为梯形,AD=4,BC=8,∠APD =∠CPB,满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是 ( )

A.圆 B.不完整的圆 C.抛物线 D.抛物线的一部分 [答案] B [解析] 由题设知 AD,BC 都垂直于平面 PAB,又∠APD=∠CPB,可得△ADP∽△BCP, AD PA 所以 = ,则 PB=2PA,且 P 点在与 AD 垂直的平面内,∴其轨迹为不完整的圆,故选 B. BC PB 12.当 a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+2a+1=0 恒过定点 P,则过点 P 的抛物线的标 准方程是 ( ) 9 4 A.y2=- x 或 x2= y 2 3 9 4 B.y2= x 或 x2= y 2 3 9 4 C.y2= x 或 x2=- y 2 3 9 4 2 2 D.y =- x 或 x =- y 2 3 [答案] A [解析] 由(a-1)x-y+2a+1=0 得 a(x+2)-(x+y-1)=0, ?x+2=0 ?x=-2, ? ? ∴? ∴? 即点 P(-2,3). ? ? ?x+y-1=0 ?y=3, 设抛物线方程为 x2=p1y 或 y2=p2x. 4 9 把点 P 的坐标代入求得 p1= ,p2=- .故选 A. 3 2 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) → → 13.过点 A(-2,0)的直线交圆 x2+y2=1 交于 P、Q 两点,则AP· 的值为________. AQ [答案] 3
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→ [解析] 设 PQ 的中点为 M,|OM|=d,则|PM|=|QM|= 1-d2,|AM|= 4-d2.∴|AP|= → 4-d2- 1-d2,|AQ|= 4-d2+ 1-d2, → → → → ∴AP· =|AP||AQ|cos0° AQ =( 4-d2- 1-d2)( 4-d2+ 1-d2)=(4-d2)-(1-d2)=3.

14.如图所示,已知 A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是________.

[答案] 2 10 [解析] 点 P 关于直线 AB 的对称点是(4,2),关于直线 OB 的对称点是(-2,0),从而所求 路程为 (4+2)2+22=2 10. 15.已知向量 a=(2cosα,2sinα),b=(2cosβ,2sinβ),且直线 2xcosα-2ysinα+1=0 与圆 (x-cosβ)2+(y+sinβ)2=1 相切,则向量 a 与 b 的夹角为________. [答案] 60° [解析] 根据题设知圆心到直线的距离为 |2cosαcosβ+2sinαsinβ+1| |2cos(α-β)+1| 1 3 d= = =1,解得 cos(α-β)= 或- (舍去), 2 2 2 2 a· 4cosαcosβ+4sinαsinβ b 1 ∴cos〈a,b〉= = =cos(α-β)= ,∴向量 a 与 b 的夹角为 60° . |a||b| 4 2 故填 60° . 16.直线 l:y=k(x-2)+2 与圆 C:x2+y2-2x-2y=0 有两个不同的公共点,则 k 的取值 范围是________. [答案] k∈R 且 k≠-1 [解析] ∵点 A(2,2)在⊙C 上,直线 l 恒过 A 点,圆心 C(1,1),kAC=1,∴k≠-1. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知方程 x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0 表示一个圆. (1)求实数 m 的取值范围; (2)求该圆半径 r 的取值范围; (3)求圆心的轨迹方程. [解析] (1)∵方程表示圆,∴D2+E2-4F=4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)=4(-7m2 1 +6m+1)>0,∴- <m<1. 7 1 (2)r= 4(-7m2+6m+1) 2 3 16 4 7 4 7 = -7?m-7?2+ ≤ ,∴0<r≤ . ? ? 7 7 7 ? ?x=m+3 (3)设圆心坐标为(x,y),则? , 2 ?y=4m -1 ? 消去 m 得,y=4(x-3)2-1. 1 20 ∵- <m<1,∴ <x<4, 7 7

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即轨迹为抛物线的一段, 20 即 y=4(x-3)2-1 ? 7 <x<4?. ? ?

?x≥0 ? 18.(本小题满分 12 分)已知平面区域?y≥0 ?x+2y-4≤0 ?

被圆 C 及其内部所覆盖.

(1)当圆 C 的面积最小时,求圆 C 的方程; (2)若斜率为 1 的直线 l 与(1)中的圆 C 交于不同的两点 A、B,且满足 CA⊥CB,求直线 l 的方程. [解析] (1)由题意知此平面区域表示的是以 O(0,0), P(4,0), Q(0,2)构成的三角形及其内部, 且△OPQ 是直角三角形, ∵覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆. ∴圆心是(2,1),半径是 5, ∴圆 C 的方程是(x-2)2+(y-1)2=5. (2)设直线 l 的方程是:y=x+b. 10 ∵CA⊥CB,∴圆心 C 到直线 l 的距离是 , 2 |2-1+b| 10 即 = .解之得,b=-1± 5. 2 2 ∴直线 l 的方程是:y=x-1± 5. 19.(本小题满分 12 分)(文)设直线 l 的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R). (1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)若 a>-1,直线 l 与 x、y 轴分别交于 M、N 两点,求△OMN 面积取最大值时,直线 l 的方程. [解析] (1)当直线 l 经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为 0,此时 2+a=0, 解得 a=-2,此时直线 l 的方程为 x-y=0; 2+a 当直线 l 不经过坐标原点,即 a≠-2 时,由直线在两坐标轴上的截距相等可得 =2 a+1 +a,解得 a=0,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0. 所以,直线 l 的方程为 x-y=0 或 x+y-2=0. 1 2+a ?2+a,0?、N(0,2+a),又因为 a>-1,故 S (2)由直线方程可求得 M? ×(2+ ? △OMN= × 2 a+1 ?a+1 ? 2 1 1 (a+1) +2(a+1)+1 1 1 1 ? ? +2?=2,当且仅 a)= × = ×[(a+1)+ +2]≥ ×?2 (a+1)× 2 2 2 ? a+1 ? a+1 a+1 1 当 a+1= ,即 a=0 或 a=-2(舍去)时等号成立.此时直线 l 的方程为 x+y-2=0. a+1 [点评](1)截距相等,包括过原点的情形. (2)应用基本不等式求最值一定要注意条件的验证. (理)(2010· 苏北四市)已知圆 O 的方程为 x2+y2=1,直线 l1 过点 A(3,0),且与圆 O 相切. (1)求直线 l1 的方程; (2)设圆 O 与 x 轴交于 P,Q 两点,M 是圆 O 上异于 P,Q 的任意一点,过点 A 且与 x 轴 垂直的直线为 l2,直线 PM 交直线 l2 于点 P′,直线 QM 交直线 l2 于点 Q′.求证:以 P′Q′ 为直径的圆 C 总过定点,并求出定点坐标. [解析] (1)∵直线 l1 过点 A(3,0),∴设直线 l1 的方程为 y=k(x-3),即 kx-y-3k=0, |3k| 则圆心 O(0,0)到直线 l1 的距离为 d= 2 =1, k +1 2 解得 k=± . 4

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2 ∴直线 l1 的方程为 y=± (x-3). 4 (2)在圆 O 的方程 x2+y2=1 中,令 y=0 得,x=± 1,即 P(-1,0),Q(1,0).又直线 l2 过点 t A 与 x 轴垂直,∴直线 l2 的方程为 x=3,设 M(s,t),则直线 PM 的方程为 y= (x+1). s+1

?x=3 ? 4t 解方程组? 得,P′?3,s+1?. t ? ? ?y=s+1(x+1) ? 2t 同理可得 Q′?3,s-1?. ? ?
4t 2t ∴以 P′Q′为直径的圆 C 的方程为(x-3)(x-3)+?y-s+1??y-s-1?=0,

?

??

?

6s-2 又 s2+t2=1,∴整理得(x2+y2-6x+1)+ y=0, t 若圆 C 经过定点,则 y=0,从而有 x2-6x+1=0, 解得 x=3± 2, 2 ∴圆 C 总经过的定点坐标为(3± 2,0). 2 [点评] ⊙C 经过定点,分离参数 t 与 s,则该定点应与 t、s 无关,故 y=0. 20.(本小题满分 12 分)圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒相交于两点; (2)求⊙C 与直线 l 相交弦长的最小值. [解析] (1)将方程(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,变形为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0. 直线 l 恒过两直线 2x+y-7=0 和 x+y-4=0 的交点, ? ?2x+y-7=0 由? 得交点 M(3,1). ?x+y-4=0 ? 又∵(3-1)2+(1-2)2=5<25,∴点 M(3,1)在圆 C 内,∴直线 l 与圆 C 恒有两个交点. (2)由圆的性质可知,当 l⊥CM 时,弦长最短. 又|CM|= (3-1)2+(1-2)2= 5, ∴弦长为 l=2 r2-|CM|2=2 25-5=4 5. 21.(本小题满分 12 分)已知圆 C 的方程为:x2+y2=4. (1)求过点 P(1,2)且与圆 C 相切的直线 l 的方程; (2)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB|=2 3,求直线 l 的方程; → → → → (3)圆 C 上有一动点 M(x0,y0),ON=(0,y0),若向量OQ=OM+ON,求动点 Q 的轨迹方 程,并说明此轨迹是什么曲线. |2-k| [解析] (1)显然直线 l 的斜率存在,设切线方程为 y-2=k(x-1),则由 2 =2 得,k1 k +1 4 =0,k2=- ,故所求的切线方程为 y=2 或 4x+3y-10=0. 3 (2)当直线 l 垂直于 x 轴时,此时直线方程为 x=1,l 与圆的两个交点坐标为(1, 3)和(1, - 3),这两点的距离为 2 3,满足题意; 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设其方程为 y-2=k(x-1), |-1+2| 即 kx-y-k+2=0, 设圆心到此直线的距离为 d, 2 3=2 4-d2, 则 ∴d=1, ∴1= 2 , k +1 3 ∴k= ,此时直线方程为 3x-4y+5=0,综上所述,所求直线方程为 3x-4y+5=0 或 x=1. 4 (3)设 Q 点的坐标为(x,y), → → → → ∵M(x0,y0),ON=(0,y0),OQ=OM+ON,

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∴(x,y)=(x0,2y0),∴x=x0,y=2y0. y x2 y2 2 ∵x0+y2=4,∴x2+?2?2=4,即 + =1, 0 ? ? 4 16 x2 y2 ∴Q 点的轨迹方程是 + =1,轨迹是一个焦点在 y 轴上的椭圆. 4 16 22.(本小题满分 14 分)(文)已知圆 C 经过点 A(1,3)、B(2,2),并且直线 m:3x-2y=0 平分 圆 C. (1)求圆 C 的方程; (2)若过点 D(0,1),且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M、N. (ⅰ)求实数 k 的取值范围; → → (ⅱ)若OM· =12,求 k 的值. ON 3 5 3-2 5 [解析] (1)线段 AB 的中点 E?2,2?, AB= =-1, 故线段 AB 的中垂线方程为 y- = ? ? k 2 1-2 3 x- ,即 x-y+1=0. 2 因为圆 C 经过 A、B 两点,故圆心在线段 AB 的中垂线上. 又因为直线 m:3x-2y=0 平分圆 C,所以直线 m 经过圆心. ?x-y+1=0 ?x=2 ? ? 由? 解得,? , 即 圆 心 的 坐 标 为 C(2,3) , 而 圆 的 半 径 r = |CB| = ? ? ?3x-2y=0 ?y=3 (2-2)2+(2-3)2=1, 所以圆 C 的方程为:(x-2)2+(y-3)2=1. (2)直线 l 的方程为 y=kx+1. |2k-3+1| 圆心 C 到直线 l 的距离 d= , 1+k2 |2k-3+1| 2 (ⅰ)由题意得 d= 2 <1,两边平方整理得:3k -8k+3<0, 1+k 4- 7 4+ 7 解之得: <k< . 3 3 ? ?y=kx+1 ① (ⅱ)将直线 l 的方程与圆 C 的方程组成方程组得,? 2 2 ? ?(x-2) +(y-3) =1 ② 将①代入②得:(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0, 设 M(x1,y1)、N(x2,y2),则由根与系数的关系可得: 4(1+k) 7 x1+x2= ,x1x2= , 1+k2 1+k2 而 y1y2=(kx1+1)· 2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1, (kx 4(1+k) 7 → → 所以OM · =x1x2 +y1y2 =(1+k2)x1x2 +k(x1 +x2)+1=(1 +k2)· ON +1= 2 +k· 1+k 1+k2 4k(1+k) +8, 1+k2 4k(1+k) 故有 +8=12,整理 k(1+k)=1+k2,解得 k=1.经检验知,此时有 Δ>0,所以 k 1+k2 =1. → → → (理)已知定点 A(0,1)、B(0,-1)、C(1,0),动点 P 满足AP· =k|PC|2. BP (1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线. → → (2)当 k=2 时,求|2AP+BP|的最大值和最小值. [解析] (1)设动点的坐标为 P(x,y),则 → → → AP=(x,y-1),BP=(x,y+1),PC=(1-x,-y).

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→ → → ∵AP· =k|PC|2, BP ∴x2+y2-1=k[(x-1)2+y2], ∴(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0. 若 k=1,则方程为 x=1,表示过点(1,0)且平行于 y 轴的直线. k 1 k 1 若 k≠1,则方程化为?x+1-k?2+y2=?1-k?2,表示以?k-1,0?为圆心,以?1-k?为半 ? ? ? ? ? ? ? ? 径的圆. (2)当 k=2 时,方程化为(x-2)2+y2=1. → → ∵2AP+BP=2(x,y-1)+(x,y+1)=(3x,3y-1), → → ∴|2AP+BP|= 9x2+9y2-6y+1= 36x-6y-26. 又∵(x-2)2+y2=1,则令 x=2+cosθ,y=sinθ, 于是有 36x-6y-26=36cosθ-6sinθ+46 =6 37cos(θ+φ)+46∈[46-6 37,46+6 37], → → 故|2AP+BP|的最大值为 46+6 37=3+ 37, 最小值为 46-6 37= 37-3.

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