nbhkdz.com冰点文库

09.2011年北京市中学生数学竞赛复赛(高一)


21 0 2年第 4期 

2  7

2 1 年北 京 市中 学 生 数 学 竞赛 复 赛 ( 一 ) 0  1 高  
中图分类号 : 44 7  G 2. 9 文献标识码 :   A 文章编号 : 0 5 6 1 (0 2 0 0 2 一 4 10 — 4 6 2 1 ) 4- 0 7 o  

/>


填空题 ( 小题 8分 , 4 每 共 0分 )  

径 为 l的圆纸 片对任 意标 准 r点组都 能 至少  t 盖住其 中的 2 5个点 , 试求 r的最小值 . t  

1 二 次i 项式  .
+n  +b a、 ( b∈ N)  

的根 是 实 数 , a 且 b=2州.则这 样 的二 次 三   ’

五 、1 分 ) (5 已知函数 R —R, 使得对任  意实数 、 、 都 有  Y 
x )+ y   材)   )  ≥1
.  

项式共有 

个.  

2 在 半 径 为 1的 o  中 内 接 有 锐 角  . 0 △ A C, △ A C的垂 心 , B H是 B 角平 分 线 A L垂 
直 于 O .则 B   H C= .   3 已知定 义在 R上 的 函数  .
)   和 g  ) x+ m  = ( =2 2 .

求[ () + () +. [01(01] 1 1] [ 21 .+2 1' 1     ? ]2 ) 的值( a 表示不超过实数 a的最大整数) [] .  

参 考 答 案 




1 13 . .   41  

若 r x = g( ) 一   ( ) 厂(   ) g
为  1


) 的最小值  )

则m =  
. 
— —

易知 , ab 2的非负整数指数的幂 , 数 、是   即  =   b     k于是 , 2 , =2 叭 -. 由 
A =口  一4 ≥ O b  

4?a   7 5。= tn 3 . "

5 设  ) = ?  
(  )=   ), ) 

. 定义 

2≥ 3 k ≥ :7. k21一  半 6   0 1
但 ≤2 1 , k   1故 能够取  0
2 0 l一6 l+l=1 3    1 7   41

(  )=   一( )( = , , ) .  ) I 2 3 … . t  

则  o (  l)= 。 20 1 。


个不 同的整数值.  
而每个 k恰 对 应 一 个 所 求 的二 次 三 项  式, 故这样 的二次 三项 式共有 l 4   1个. 3  
2.  

. 


二 、1 ) ( 5分 已知 D是正△ A C边 BC上  B

点, 设△ A D、 A D的内心分别为 ,、 , B △ C I2 ,  外 心分 别 为 0 、:证 明 I 。0.  


I0 t  +1 0 2  =, . .    

如 图 1延 长 A , O与 0 D交 于 点  , 结  联 A H并 延长 与 B C交于点  , 结 C . 联 N 

三 、 1 ) I是正 整数 , (5分 设 t 记 
! 1×2 ×… ×   =  .

求方 程 
+  + . 。+ -

[ =0 击】2 1    1

的所有正整数解 ( a 表示不超过实数 a的  [] 最大整数) .   四、1 ) (5分 平面上的 n 点, 个 若其 中任 
三个点 中必 有 两 个 点 的距 离 不 大 于 1则 称  , 这样 的 n个点 为 “ 准 n点 组 ” 要 使 一个 半  标 .
图 1  

在 R △ C N和 R △ A B中 , t A t Ht  

万方数据

中 等 数 学 
A NC =   A C  B .
:   :   一2 +   一   .  

于是 , C N= B H   .   A   Ap  

由A 是A A C的角平分线得  L B
OAP =   P.  

ia7。 旱  一+  .  ̄ n .= = 2 t3  =  5  一  
暑 

由A P上 O 得 A A H, H= O=1 .   延长 B O与 oD交于 点 M, 结 A C   联 M、 M、
CH.  

。  1 。 30 7  

记  )= o x   + f ( )= l   x


则 

易知, 四边形 A H为 平行 四边形. MC  
则 C = H= O=1 M A A .  

又 B 2 故在 R A M C中, M= , t   B 由勾股定 
理得 
BC :  =  .  



 

l   薏 一  一 … 3 , ?    
1 一  = 

( = ( ) =  x=,         -+ 戈 ) )    13  
() , ;0 )   = ( ,(    )  .   于是 , ( 的表达式 是周期 为 3的循 环     ) 重 复的。  
则  o (   6 +( ) l  )= 7   x  1 0
=  

3   ?一

注意到,   F  =f( ( ) - (()  () g  ) g 厂 )  


(  + m) 2 2  一(x +2   2   m)

=2 +8mx+4m 一2   m 

= ( 2  一 m 一 m . z x+ m) 4   2  

(      ):x-1
. 

则 一 m — m= 1 4 2 2   
A.   一2   一   .  

m=


一  

.  

故  .20 1   ( 1 )=

=  

.  

二 、 图 3 作 以 A为 中心 、 时 针 旋 转  如 , 逆

如图 2 作等腰 R  A C 使  , t B , A
G =9   0。. AC =BC =1.  

则A   . B=   作  C D=3 。 A 0.  

则 竽. C ∞     每 




, D 

D  E B   

1 

/  

图2  

B  

作  B D的平分线 A 记 C - . A E E- 则  - X
BE =l-X, - 加 = _    

lI   冬  3

因  A C+ A C D   D,  
=  

A DC +   A DB =1 0 。 8 。 

所 以 , D、 D。 A、 C、 四点 共 圆.  
√  3

因此 , 2 △ A   D是 D C的外 心 , 即 
0.   D, .  

故 

=  

丁  

从而 , O = Ol A 2 D 2 l 2 A l D = O = O =0 0 .  

万方数据

21 0 2年第 4期 

故 点 0。 在△ A D的外 接 圆  0 上 , C 2 且 
0l AO2:   0l DO2=6 . 0。  

设  = 口+ : 口 6   , 6   6+ + 其中, ̄r O 2 <  
<51 O≤6  , ≤5, b∈ N。  

由 A1 9 。   ,D= 0 + L A D = 2 。知点  B 10 ,
, 在 q o 上.   )2   则 / 0, ll D=1 0 一 0 A   8 。   1D
=1 0。一3 。=1 0 . 8 0 5 。 
l 01 + l D   , DOI=1 0 J 8 。一1 0。=3 . 5 0。  

因 , 】6 b 此【 = +.   a  

蕲 :口5 =口5 c   3++ 3+ + 0 br 0 6 喑, 2
其中 ,≤r<   0 c 4 c N  0 3 4 ,≤ ≤ ,∈ . 1
因此 ,   =0 5 3 。+ b+c .  

同理 , , 在 △ A D 的外 接 圆o D 点 2 B  上 ,  
DI02=1 0。  2 5 .

又 ,2 ×09,  l= 1 =。  D 寺 8 0则 , 。
I DO2+ 2  
=  

设  =1o 2 6 4   2 口+ 0 + c+
10 2 ¨ 2 b+ c+ 0 4   ,  

, DOl l   0, DO 



,  ,

一  

=9 0。一6 。=3 。 0 0.  

其 中 ,≤r<  ,≤d , 0 4 3 0 ≤3 d∈ N  1 .
因此 ,   =10 2 b+ c 2 口+ 0 4 

比较得  I0 D= Io 2 i    2 o .  

故△ 01 J △ % 0  ,D 。  2
j ,0 = 2D l 1 1 D,, I =ho . 2   设  = 6   6 b 2 +   30 0 +1 c 3
_3 o¨ 6 6 06+1 c+3d+¨   , 2  

注 意到 , J   r = 0. 。   9。   由勾 股定理 得 

+ :1 .   1   丘 因此, 0 + 2; I . ,   , =i   。 0  
三 、 正整 数解 有  对
x] >x-1
=   ,   :


其 中 ,<r< e 0 12 0 5 2,= ,,.  ̄  

眦 , 】 6 +b1 + [ =0 6+c e 者 3口 0 2 .    
,  

设 =0 l +cde   卉7口2 2+ ++ 2+0 46 2罱 6
= 2 a 10   2 c d+ e 。 7 0   2 b 4  6 2 f 

【 =詈 > ,  】【】詈一  .
 ̄ + + _<0  l   詈 l21 J l   x  1

其 中 , = 1? , 0,  

则式①等价于 
1 3 a+ 0 b+ 1  1 d+3 l   7 26 4c 0 2 e  


挚 22 < 1     o1
:  <1 2 7.    0 5

2 0l .   1 

由 口 b… , 的取值范围依次得  ,, ,
a:1 b= d= , =1 f o  , c= 3 e , = .

【】【】 一【 =   = 一 =击】0 爵  

故所求为 
=l×7 0 +3× 1 0+3 ×2 + 2 2 4   3×6+l×2+0×1  


【】【】… 【】 ?① 青+ + + =o.   者 者 2?
设 = 丽0 <’口 , N 亩 口r≤ 6≤ 6∈ ) +(    ≤口 ? 1 1 0  
因 , 】m 此[ = 舂  
万方数据

1 7.  1 2 

四、 首先 证 明 :  > 8 ni 4.    

在平面上作长为 5的线段 A 分别 以A B,   和 B为 圆  、. 0 5为半径 作 两个 圆. 每 一个  在

中 等 数 学 

圆内, 2 取 4个点. 则平 面上有 4 8个点 满 足题 

没条件 ( 任意三 点 中必有 两点 的距离 不大 
于 1. )  

厂 )喜 ( :  1
又令 y  = . = 0 则 

显然 , 可能作 出一个半 径 为 1 圆 , 不 的 其 
包 含有 2 5个所 选的点.  
因此 ,  > 8 凡 4.  

o  0  0 ÷ ) ) + 一 ) . ≥ 
将 o: 代 得对 意 数 都     )丢 人 ,任 实   有
)  .. ≤  
又 令 Y= =1 贝  z .0

其次证明:  = 9 n; 4 .     若 n 4 , A是其中的一点. = 9设 作半径为  l 的  . 若所有的点都在  4 则满足题设  中,
条件.  

① 

否则 , 至少有一 点  不在 oA 中. 作半  再 径为 1的 0露 则 点 A、 的 距 离 大 于 l 如  . B (
图 4) .  

戈  )( 1 ÷ ) 一 ) . + , ≥   
将  1 : 代入得 , )  对任意实数 都有 

) ÷. ≥  
综合式① 、 , ② 对任意实数 都有 
): 1 了
. 

②  

经 证 )告 足 设 件 验 , =满 题 条 .  
故[ 1] e ( ] .+ 2 1 (01] 1 ) +2 2 +. [ 0,2 1     f) ? l )
1{   冬4
=  +  ?+

【 】    

于是 , A 外, 除 、 余下的 4 个点 中每一  7
点 P都与 A、 成三点 组 , 有  B组 必 ≤l P 或  ≤l  , 即点 P或 在 0A中 , 或在 0曰中.  
根据抽 屉原 理 , 有 一 个 圆 至少 包 含 了  必

=0 +1+l+… +l 0 5+l 0 5  o  0 

= ( 2+… +10 5  2 1+  0 )


( 1+1 0 )×10 5   5 0  0  

=l 0 10 0    l  3 .

( 牵延 林

提供 )  

这4 7个 点 中的 2 4个 点 ( 妨设 为 0A) 再  不 ,

加上圆心点 A 就有不少于 2 , 5个点在这个半  径为 1 的0A中( 圆内或圆周上) .  
因此 , n的最小 值 是 4. 9   五 、 = : 0 则  令  y= = .

0 + 0 一 0≥ )   ) 广()  

( )寺≤ J 一)0 f ‘  ( 0
j ,0 = 1 ()  
。 

再令 ;, : 1 同样有  )   . =

万方数据

2011年北京市中学生数学竞赛复赛(高一)
刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 中等数学 High-School Mathematics 2012(4)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx201204009.aspx


2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答

2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答一、填空题(满分 40 分,每小题...

09年高一北京数学竞赛复赛参考解答

09年高一北京数学竞赛复赛参考解答09年高一北京数学竞赛复赛参考解答隐藏>> 2009 年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答 年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解...

2011北京市中学生数学竞赛高一年级初赛参考解答

2011北京市中学生数学竞赛高一年级初赛参考解答_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2011 年北京市中学生数学竞赛 高中一年级初赛试题及参考解答一、选择题(每小题 6 ...

北京市高一数学竞赛(解析版)

年北京市中学生数学竞赛 高一年级初赛试题一 、选择题﹙满分 36 分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文字母代号填入第一页指定地方,答对得 6 分,答错或...

2013年北京市中学生数学竞赛 高一组

2013年北京市中学生数学竞赛 高一组_学科竞赛_初中教育...2013 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答...

2015年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛

2015年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2015年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛_学科竞赛_高中...

高一数学竞赛定稿(09)_373

09年高一北京数学竞赛复赛... 4页 2财富值 2012年高一数学竞赛解答09 暂无评价...2011年浙江省温州市摇篮杯... 8页 免费 高中数学趣味竞赛题 2页 1财富值 趣...

2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案

2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题 1.设函数 f ? x ? 对 x ? 0 ...

2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答

2|× |?2|= 4. 即 3k+1=OG× GC= 4,因此 k =1. 2013 年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及解答 第1页 共5页 4.定义在 R 上的偶函数 f (...