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湖南省新田县第一中学高中数学必修2课件:学2.3.2平面的斜线和平面所成的角


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1、理解平面的斜线和平面所成
的角的概念; 2、掌握平面的斜线和平面所成

的角的求法。

一、斜线在平面内的射影:
(一)点的射影: P
线段PO称为点P到 平面α的垂线段

α

O

点O称为点P到平面 α内

的射影

直线l称为平面 α的斜线
P O l

(二)斜线:

α

线段PO称 为点P到平 面α的斜线 段

O称为斜

(三)斜线的射影:

l
P O

直线OQ称为 斜线l在平面 α内的射影

α

Q

斜线上任意一点 在平面上的射影,一 定在斜线的射影上。

线段OQ称为斜线段PO 在平面α内的射影

思考:两条平行直线、相交直线、异面直线在同 一个平面内的射影可能是哪些图形?

二、平面的斜线和平面所成的角:
平面的一条斜线 和它在平面上的射影 所成的锐角,叫做这 条直线和这个平面所 成的角。简称线面角

?

?
规定:

1、一条直线垂直与平面,它们所成的角是直角;

2、一条直线和平面平行,或在平面内,它们 所成的角是0 ?的角。

思 考 题:
1、直线与平面所成的角θ的取值范围是:

2、斜线与平面所成的角θ的取值范围是:

3、两异面直线所成的角θ的取值范围是:

练习:正方体ABCD-EFGH中
H E

HC与平面ABCD G 所成的角是?
F

∠HCD BG和EA与平面 ABCD所成的角 C 分别是?

D
A B

∠GBC与∠EAB

EC和EG与平面ABCD所成的角分别是? ∠ACE

例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1

C1
B1 P

A1 D

1

C

A

B

解:连结B1C, BC1交于O, 连结A1O
? A1B1 ? 面B1BCC1,BO ? 面B1BCC1 ? A1B1 ? BO ? BO ? B1C
? BO ? 面A1DCB1,A 1O为A1B在平面A1B1CD 上的射影, ?BA A1B1CD所成的角 1O是A 1 B与平面 2 在Rt?A1BO中, 由A1B ? 2,BO ? 知: 2 0 ? ?BA1O ? 30

即BA1与平面A1B1CD所成的角为 30

0

线面角的计算小结:
1、找出或作出线面角; 2、证明(1)中的角就是所求的角; 3、求出此角的大小。

步骤: 一“作”二“证”三“求”
关键:确定斜线在平面内的射影.

变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
E,F分别是BC,CC1的中点,

求EF与面ACC1A1所成的角.
D1 C1 B1 F C
O

A1
D A

B

E

1

特例:四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影O
P

(1)P到三顶点距离相等
0是 ABC的外心 (2)对棱相互垂直
B

0是

ABC的垂心
O A C

PA、PB、PC两两垂直 (3)P到三边AB、BC、AC距离相等

0是 ABC的内心

例2 : AB ? 面BCD, BC ? CD, AB ? BC, AD与平面BCD所成的角为 30 ,
0

?1?求AD与平面ABC所成的角; E ?2?求AD与BE所成的角.
C D

E为AC的中点.

A

B

【总一总★成竹在胸】
1.直线与平面垂直的概念 2.直线与平面垂直的判定、性质
线线垂直 线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想 空间问题 平面问题


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