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2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)


2007 年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.方程 3 ( x ? 1)(x ? 4) ? 3 ( x ? 2)(5 ? x) ? 6 的实数解的个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.大于 2 2. 2007 边形 P 被它的一些不在 P 内部相交的对角线分割成若干个区域, 正 每个区域

都是三角形, 则锐角三角形的个数为( ) A.0 B.1 C.大于1 D.与分割的方法有关
2 2 2 3.已知关于参数 a ( a ? 0 )的二次函数 y ? ax ? 1 ? a x ? a ? 3a ?

1 1 ? ( x ? R )的 4 4a

最小值是关于 a 的函数 f (a ) ,则 f (a ) 的最小值为( A.-2 B. ?

) D.以上结果都不对

137 64

C. ?

1 4

4.已知 a, b 为正整数, a ? b ,实数 x, y 满足 x ? y ? 4( x ? a ? 40,则满足条件的数对 ( a, b) 的数目为( A.1 B.3 C.5 ) D.7

y ? b ) ,若 x ? y 的最大值为

5.定义区间 (c, d ) ,[c, d ) , (c, d ] ,[c, d ] 的长度均为 d ? c ,其中 d ? c .已知实数 a ? b ,则

1 1 ? ? 1 的 x 构成的区间的长度之和为( ) x?a x?b A.1 B. a ? b C. a ? b D.2 6.过四面体 ABCD 的顶点 D 作半径为 1 的球,该球与四面体 ABCD 的外接球相切于点 D ,且
满足 与平面 ABC 相切. AD ? 2 3 ,?BAD ? ?CAD ? 45 ,?BAC ? 60 , 若 则四面体 ABCD 的
? ?

外接球的半径 r 为( A.2

) C.3 D. 2 3

B. 2 2

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 7.若关于 x, y 的方程组 ? ______________. 8.方程 x ? 3 y ? 2007的所有正整数解为_____________.
2 2

? ax ? by ? 1 有解,且所有的解都是整数,则有序数对 ( a, b) 的数目为 2 2 ? x ? y ? 10

9.若 D 是边长为 1 的正三角形 ABC 的边 BC 上的点,?ABC 与 ?ACD 的内切圆半径分别为 r1 ,

r2 ,若 r1 ? r2 ?

3 ,则满足条件的点 D 有两个,分别设 D1 , D2 ,则 D1 , D2 之间的距离为 5

_______________. 10.方程

( x ? 1)(x ? 4)(x ? 9) 2 x 3 ? 1 x 3 ? 43 x 3 ? 93 ? [ ? ? ] ? 1 的不同非零整数解的个数 ( x ? 1)(x ? 4)(x ? 9) 3 ( x ? 1) 3 ( x ? 4) 3 ( x ? 9) 3

为_____________. 11.设集合 A ? {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } , B ? {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } ,其中 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是五个
2 2 2 2 2

不同的正整数, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , A ? B ? {a1 , a4 } , a1 ? a4 ? 10 ,若 A ? B 中所有元 素的和为 246,则满足条件的集合 A 的个数为_____________. 12 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 定 义 两 点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ) 之 间 的 交 通 距 离 为 若 其中实数 x, y d ( P, Q) ?| x1 ? x2 | ? | y1 ? y 2 | . C ( x, y) 到点 A(1,3) ,B(6,9) 的交通距离相等, 满足 0 ? x ? 10 , 0 ? y ? 10 ,则所有满足条件的点 C 的轨迹的长之和为________. 三、论述题(每小题 20 分,共 60 分) 13.已知 ?ABC 的外心为 O , ?A ? 90 , P 为 ?OBC 的外接圆上且在 ?ABC 内部的任意一点,
?

以 OA 为直径的圆分别与 AB , AC 交于点 D, E , OD, OE 分别与 PB, PC 或其延长线交于点

F, G ,求证 A, F , G 三点共线.

14. 已知数列 {an } n ? 0 ) ( 满足 a0 ? 0 ,a1 ? 1 , 对于所有正整数 n , an?1 ? 2an ? 2007 n?1 , 有 a 求使得 2008| an 成立的最小正整数 n .

15.排成一排的10名学生生日的月份均不相同,有 n 名教师,依次挑选这些学生参加 n 个兴趣 小组,每个学生恰被一名教师挑选,且保持学生的排序不变,每名教师挑出的学生必须满足生日 的月份是逐渐增加或逐渐减少的(挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少) ,每名教 师尽可能多选学生.对于学生所有可能的排序,求 n 的最小值.

参考答案
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.方程 3 ? x ? 1?? x ? 4 ? ? 3 ? x ? 2 ?? 5 ? x ? ? 6 的实数解的个数为( ) 。

? A? 0
答 设 选A。

? B ?1
3

?C ? 2
, 则

? D? 大于 2
a ? b ? 6, a3 ? b3 ? 6 , 因 此

a?

? x ? 1?? x ? 4 ? , b ? 3 ? x ? 2 ?? 5 ? x ?

a 2 ? b2 ? ab ? 1 ,从而可得 ab ?
???

35 35 2 ? 0 的两个实根,判别式 ,因此 a , b 是方程 t ? 6t ? 3 3

32 ? 0 ,无解,所以选 A 。 3 2. 2007 边形 P 被它的一些不在 P 内部相交的对角线分割成若干个区域, 正 每个区域都是三
) 。

角形,则锐角三角形的个数为(

? A? 0

? B ?1

? C ? 大于1

? D?

与分割的方法有关

答 选B 。 只有包含正 2007 边形中心 O 的三角形是锐角三角形,所以只有一个,选 B 。 3. 已知关于参数 a ? a ? 0? 的二次函数 y ? ax ? 1 ? a x ? a ? 3a ?
2 2 2

1 1 ? ? x ? R ? 的最小 4 4a

值是关于 a 的函数 f ? a ? ,则 f ? a ? 的最小值为(

) 。

? A? ? 2
答 选A。 当x??

? B? ?

137 64

?C ? ?

1 4

? D? 以上结果都不对

11 1 1 ? a2 2 时, y 的最小值为 f ? a ? ? a ? a ? ,其中 0 ? a ? 1 。因为对称轴为 4 4 2a

a?

11 ,所以当 a ? 1 时 f ? a ? 的最小值为 ?2 ,选 A 。 8
4.已知 a , b 为正整数, a ? b ,实数 x, y 满足 x ? y ? 4

?

x ? a ? y ? b ,若 x ? y 的最大

?

值为 40 ,则满足条件的数对 ? a, b ? 的数目为(

) 。

? A ?1
答 选C 。
2

? B? 3

?C ? 5
2

? D? 7 。
x ? a ? y ? b ? 4 2 ? x ? a ? y ? b? ,

因为 ? u ? v ? ? 2 u ? v
2

?

? ,所以 x ? y ? 4 ?

?

于是有

? x ? y?

2

?3 2 x ? ? y ?3?2 a ? b ?0 因 此 x ? y ?1 6 ? 4 1 6?? 2 ?b。 由 于 a ? , ? ?

16 ? 4 16 ? 2 ? a ? b ? ? 40 , 得 a ? b ? 10 , 其 中 x ? y 的 最 大 值 当 x ?

1 ? b ? a ? 40 ? , 2

y?

1 ? a ? b ? 40 ? 时取到。又因为 a ? b ,所以满足条件的数对 ? a, b ? 的数目为 5 ,选 C 。 2
5.定义区间 ? c, d ? , ?c, d ? , ? c, d ?, ?c, d ? 的长度均为 d ? c ,其中 d ? c 。已知实数 a ? b ,则

满足

1 1 ? ? 1的 x 构成的区间的长度之和为( x?a x?b

) 。

? A ?1
答 选D。 原不等式等价于

? B? a ? b
2x ? ? a ? b? ? 1。 ? x ? a ?? x ? b ?

?C ? a ? b

? D? 2

2 当 x ? a 或 x ? b 时 , 原 不 等 式 等 价 于 x ? ? a ? b ? 2? x ? ? a ? b ? ? ab ? 0 。 设

f ? x ? 2x ? ? ?

a? b ? 2 ?

a ?x? ? ?

b , a b ? ? ? ? f, b ?则 f ? b a a 0

? ? ? a? b

设 ? 0 。 f ? x? ? 0 的

两个根分别为 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? , 则满足 f ? x ? ? 0 的 x 构成的区间为 ? a, x2 ? , 区间的长度为 x2 ? a 。 当 b ? x ? a 时,同理可得满足 f ? x ? ? 0 的 x 构成的区间为 ? b, x1 ? ,区间的长度为 x1 ? b 。 由 韦 达 定 理 , x1 ? x2 ? a ? b ? 2 , 所 以 满 足 条 件 的 x 构 成 的 区 间 的 长 度 之 和 为

x2 ? a ? x1 ? b ? ? a ? b ? 2? ? a ? b ? 2 ,所以选 D 。
6.过四面体 ABCD 的顶点 D 作半径为 1 的球,该球与四面体 ABCD 的外接球相切于点 D , 且与平面 ABC 相切。若 AD ? 2 3, ?BAD ? ?CAD ? 45?, ?BAC ? 60? ,则四面体 ABCD 的 外接球的半径 r 为( ) 。

? A? 2

? B? 2

2

?C ? 3

? D? 2

3

答 选C 。 过 D 作平面 ABC 的垂线,垂足为 H ,作 DE ? AB ,垂足为 E , DF ? AC ,垂足为 F , 则 HE ? AB, HF ? AC , 且 有 A E ? A F? A c o s 4 5 ? D ? 。 , 6 由 于 ? A E H?? A F H 则

?HAE ? 30? , AH ?

AE ? 2 2 , DH ? AD2 ? AH 2 ? 2 ,因此 DH 为半径为1 的球的 cos 30?
2 2

直径, 从而四面体 ABCD 的外接球的球心 O 在 DH 的延长线上, 于是有 r ? ? r ? 2? ? 2 2 解得 r ? 3 。 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)

?

?

2



7.若关于 x, y 的方程组 ? 目为 答 。

? ax ? by ? 1, 有解,且所有的解都是整数,则有序数对 ? a, b ? 的数 2 2 ? x ? y ? 10

32 。

因为 x2 ? y 2 ? 10 的整数解为

?1,3? , ?3,1? , ?1, ?3? , ? ?3,1? , ? ?1,3? , ?3, ?1? , ? ?1, ?3?, ? ?3, ?1? ,
所以这八个点两两所连的不过原点的直线有 24 条, 过这八个点的切线有 8 条, 每条直线确定了唯 一的有序数对 ? a, b ? ,所以有序数对 ? a, b ? 的数目为 32 。 8.方程 x2 ? 3 y 2 ? 2007 的所有正整数解为 答 。

x ? 4 2 ,y ? 9 。
2

因为 a ? 0,1? mod 3 , 2007 ? ?

?0

mod 3 ? ,所以 x ? 0 ? mod 3 。设 x ? 3x1 ,类似的可得 ?

y ? 0 ? mod3? 。设 y ? 3 y1 ,则原方程化为 x12 ? 3 y12 ? 223 ,1 ? x1 ? 223 ,即 1 ? x1 ?14 。因
为 223 ? 1? mod3? ,所以 x1 ? ?1? mod 3 。又因为 223? 3 mod 4,所以 x1 为偶数,于是 ? ? ?

x1 ??2, 4, 8,10,14 ? ,经验证, x1 ? 14, y1 ? 3 ,所以 x ? 42, y ? 9 。
或由 1 ? y1 ?

223 ? 1 ,得 1 ? y1 ? 8 ,又因为 y1 为奇数,所以经验证 y1 ? 3, x1 ? 14 。 3

9.若 D 是边长为 1 的正三角形 ABC 的边 BC 上的点, ?ABD 与 ?ACD 的内切圆半径分别 为 r , r2 ,若 r1 ? r2 ? 1 为 答 。

3 ,则满足条件的点 D 有两个,分别设为 D1 , D2 ,则 D1 , D2 之间的距离 5

6 。 5 1 3 x2 ? x ?1 。一方面, S?ABD ? ?x? ,另一方面, 2 2

设 BD ? x ,由余弦定理得 AD ?

S?ABD ?

1 3 1 ? x ? x 2 ? x ? 1 r1 , 解 得 r1 ? 1 ? x ? x2 ? x ? 1 2 6

?

?

?

?

。 同 理 可 得

r2 ?

1 3 3 2 ? x ? x 2 ? x ? 1 。从而有 r1 ? r2 ? 3 ? 2 x 2 ? x ? 1 。当 x ? 时, r1 ? r2 有最 2 6 6

?

?

?

?

大值, 且最大值为

19 3 3 ?1 3 3 ?1 2 ? 0。 , 所以 。 由于 r1 ? r2 ? , 所以 x ? x ? ? r1 ? r2 ? 100 5 2 6 2

设两个根分别为 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ?

6 。 5

? x ? 1?? x ? 4 ?? x ? 9 ? ? 2 ? x3 ? 1 ? x3 ? 43 ? x3 ? 93 ? ? 1 的不同非零整数解的 10.方程 ? ? ? x ? 1?? x ? 4?? x ? 9 ? 3 ? ? x ? 1?3 ? x ? 4 ?3 ? x ? 9?3 ? ? ?
个数为 答 。

4。

3 3 2 2 利用 a ? b ? ? a ? b ? a ? ab ? b ,原方程

?

?

? x ? 1?? x ? 4 ?? x ? 9 ? ? 1 ? 2 ? x3 ? 1 ? 1 ? x3 ? 43 ? 1 ? x3 ? 93 ? 1? ? 0 ? ? 3 3 3 ? ? x ? 1?3 ? x ? 1?? x ? 4 ?? x ? 9 ? ? x ? 4? ? x ? 9? ? ? ?
等价于

? x x3 ? 49 x 4x 9x ? ?? ? ? ? ?0。 2 2 ? x ? 1?? x ? 4 ?? x ? 9 ? ? ? x ? 1? ? x ? 4 ? ? x ? 9 ?2 ? ? ?
4 2 方程两端同除 x ,整理后得 x x ? 98 x ? 288 x ? 385 ? 0 。再同除 x ,得

?

?

?x
2 即 x ? 6x ? 7

2

? 31? ? ? 6 x ? 24 ? ? 0 。
2 2

?

?? x

2

? 6 x ? 55 ? ? 0 ,从而有

? x ? 7?? x ?1?? x ? 5?? x ?11? ? 0 。
经验证 x1 ? ?7, x2 ? 1, x3 ? ?5, x4 ? 11 均是原方程的根,所以原方程共有 4 个整数根。
2 2 2 2 2 11.设集合 A ? ? a1 , a2 , a3 , a4 , a5? , B ? a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,其中 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是五个

?

?

不同的正整数, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , A ? B ? ?a1, a4 ? , a1 ? a4 ? 10 ,若 A ? B 中所有元素的和 为 246 ,则满足条件的集合 A 的个数为 答 2。 。

因为 a12 ? a1 ,所以 a1 ? 1, a4 ? 9 。由于 B 中有 9 ,因此 A 中有 3 。若 a3 ? 3 ,则 a2 ? 2 , 于 是 a5 ? a52 ? 146 , 无 正 整 数 解 。 若 a2 ? 3 , 由 于 1 0? a5 ? 1 1 所 以 a2 ? a5 , 于 是 ,
2

a3 ? a32 ? a5 ? a52 ? 152 。又因为 a3 ? 4 ,当 a5 ? 10 时, a3 ? 6 ;当 a5 ? 11 时, a3 ? 4 ,因此
满足条件的 A 共有 2 个,分别为 ?1,3,4,9,11 , ?1,3,6,9,10? 。 ?

12 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 定 义 两 点 P ? x, y , ? 2 , ? Q x 1 1

之 ? 2y 间 的 交 通 距 离 为

d ? P Q? , ?

1

x? 2 x ?

1

y? 。 C ? , y xy 2若

其中实数 x, y 满 ? 到点 A?1,3? , B ? 6,9? 的交通距离相等, 。

足 0 ? x ? 10,0 ? y ? 10 ,则所有满足条件的点 C 的轨迹的长之和为 答

5

?

2? 1 。

?

由条件得 x ?1 ? y ? 3 ? x ? 6 ? y ? 9 。 当 x ? 1, y ? 9 时,无解; 当 1 ? x ? 6, y ? 9 时,无解; 当 x ? 6, y ? 9 时,无解; 当 x ? 1,3 ? y ? 9 时, y ? 8.5 ,线段长为 1 。 当 1 ? x ? 6,3 ? y ? 9 时, x ? y ? 9.5 ,线段长为 5 2 。 当 x ? 6,3 ? y ? 9 时 y ? 3.5 ,线段长为 4 。 当 x ? 1, y ? 3 时,无解。 当 1 ? x ? 6, y ? 3 时,无解。 当 x ? 6, y ? 3 时,无解。 综上所述,点 C 的轨迹构成的线段的长之和为 1 ? 5 2 ? 4 ? 5

?

2 ?1 。

?

三、论述题(每小题 20 分,共 60 分) 13.已知 ?ABC 的外心为 O , ?A ? 90? , P 为 ?OBC 的外接圆上且在 ?ABC 内部的任意 一点,以 OA 为直径的圆分别与 AB, AC 交于点 D, E , OD, OE 分别与 PB, PC 或其延长线交 于点 F , G ,求证 A, F , G 三点共线。 连 AG ,与 BP 交于点 F ? ,由于 OE ? AE ,因此 ?GAC 是等腰三角形,所以 ?GAC ? ?GCA , 2?BAC ? ?BOC ? ?BPC ? ?BAC ? ?GCA ? ?PBA , 于 是 可 得 ?PBA ? ?BAG ,从而有 F ? 在 AB 的中垂线上。由于 OD ? AD , F 在 AB 的中垂线上,于是 证明 有 F ? ? F ,即 A, F , G 三点共线。 14. 已知数列 ?an ?? n ? 0? 满足 a0 ? 0, a1 ? 1 , 对于所有正整数 n , an?1 ? 2an ? 2007an?1 , 有

求使得 2008 an 成立的最小正整数 n 。 解法一 设 m ? 2008 , an?1 ? 2an ? 2007an?1 的特征方程为 ? ? 2? ? 2007 ? 0 ,特征根为
2

1 ? m , 结 合 a0 ? 0, a1 ? 1 , 得 an ?

1 1? m 2 m

??

? ? ?1 ? m ? ? 。 由 二 项 式 定 理 得
n n

an ?

k ? 1 ? n k k n k k Cn m 2 ? ? ? ?1? Cn m 2 ? 。 ?? 2 m ? k ?0 k ?0 ?
n ?3 2 n?4 2 n ? Cn m n ?1 2 ; n?2 2 。

1 3 n 当 n 为奇数时, an ? Cn ? Cn m ? ? ? Cn ?2 m 1 3 n 当 n 为偶数时, an ? Cn ? Cn m ? ? ? Cn ?3m

n ? Cn ?1m

于是 m an ? m Cn ,即 2008 n ,所以满足条件的最小正整数为 2008 。
1

解法二

下面都是在模 2008 意义下的 an ,则 an?1 ? 2an ? an?1 ,即 an?1 ? an ? an ? an?1 ,因此

数列 ?an ? 在模 2008 意义下具有等差数列的特点。又因为 a0 ? 0, a1 ? 1 ,所以 an ? n 。于是有

2008 n ,因此满足条件的最小正整数为 2008 。
15.排成一排的 10 名学生生日的月份均不相同,有 n 名教师,依次挑选这些学生参加 n 个兴 趣小组,每个学生恰被一名教师挑选,且保持学生的排序不变,每名教师挑出的学生必须满足生 日的月份是逐渐增加或逐渐减少的(挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少的) ,每 名教师尽可能多选学生,对于学生所有可能的排序,求 n 的最小值。 解 n 的最小值为 4 。 若 n ? 3 , 不 妨 假 设 这 10 名 学 生 生 日 的 月 份 分 别 为 1, 2,?,10 , 当 学 生 按 生 日 排 序 为

4,3, 2,1,7,6,5,9,8,10 时,存在一名教师至少要挑选前四名学生中的两名,由于这两名学生生日
的月份是逐渐减少的,且后六名学生生日的月份均大于前四名学生生日的月份,因此这名教师不 可能再挑选后六名学生;在余下的不超过两名教师中,一定存在一名教师至少要挑选第五名至第 七名学生中的两名,同理,这名教师不可能再挑选后三名学生;余下的不超过一名教师也不可能 挑选后三名学生,矛盾。 下面先证明:对于互不相同的有序实数列 a1 , a2 ,?, am ,当 m ? 5 时,一定存在三个数

ai , a j , ak ?i ? j ? k ? 满足 ai ? a j ? ak 或 ai ? a j ? ak 。
设 最 大 数 和 最 小 数 分 别 为 as , at , 不 妨 假 设 s ? t 。 若 s ? 1 ? t , 则 as , as ?1 , at 满 足

as ? as?1 ? at; s ? 1 ? t ,因为 m ? 5 ,所以要么在 as , as ?1 的前面,要么在 as , as ?1 的后面至少有

两个数, 不妨假设在 as , as ?1 的后面有两个数 as ? 2 , as ?3 , 从而 as ? as ?2 ? as ?3 与 as ?1 ? as ?2 ? as ?3 中 一定有一个成立。 引用上面的结论, n ? 4 时, 当 第一名教师至少可以挑选三名学生; 若余下的学生大于等于 5 名,则第二名教师也至少可以挑选三名学生;这时剩下的学生的数目不超过 4 名,可以被两名教 师全部挑选,因此, n 的最小值为 4 。


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