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2014第一章 导数及其应用 单元测试(人教A版选修2-2)

时间:2015-12-15


选修 2-2 第一章 导数及其应用 单元测试
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设函数 y=f(x)在(a,b)上可导,则 f(x)在(a,b)上为增函数是 f′(x)>0 的( A.必要不充分条件 C.充分必要条件 B.充分不必要条

件 D.既不充分也不必要条件 ) )

2.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是 2x+y-1=0,则( A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0 C.f′(x0)=0

D.f′(x0)不存在 )

1 5 3.曲线 y=3x3-2 在点(-1,-3)处切线的倾斜角为( A.30° B.45° C.135° D.150°

4.曲线 f(x)=x3+x-2 的一条切线平行于直线 y=4x-1,则切点 P0 的坐标为 A.(0,-1)或(1,0) C.(-1,-4)或(0,-2) B.(1,0)或(-1,-4) D.(1,0)或(2,8) ) D.y=-x+ln(1+x) )

5.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( A.y=sin2x B.y=x3-x

C.y=xex

6.已知 f(x)为偶函数,且?6f(x)dx=8,则?6 f(x)dx 等于( ?0 ?-6 A.0 B.4 C.8 D.16 )

7.已知函数 f(x)=x3-3x2-9x,x∈(-2,2),则 f(x)有( A.极大值 5,极小值为-27 C.极大值 5,无极小值

B.极大值 5,极小值为-11 D.极小值-27,无极大值

8.函数 f(x)在其定义域内可导,y=f(x)的图像如右图所示,则导函数 y=f′(x)

1

的图像为(

) ) 1 B.(-6,+∞) 1 D.(-∞,-6) )

9.函数 y=2x3+x2 的单调递增区间是( 1 A.(-∞,-3)∪(0,+∞) 1 C.(-∞,-3)和(0,+∞)

10.由抛物线 y=x2-x,直线 x=-1 及 x 轴围成的图形的面积为( 2 A.3 B.1 4 C.3 5 D.3 )

1 11.函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在 x=a处有极值,则 ac+2b 的值为( A.-3 12.曲线 y=e 9 A .2e2
1 x 2

B.0

C.1

D.3 )

在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为( B.4e2 C.2e2 D.e2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中的横线上) 13. 函数 f(x)在 R 上可导, 且 f′(0)=2.?x, y∈R, 若函数 f(x+y)=f(x)f(y)成立, 则 f(0)=________. 14.积分?53x2dx=________.
?2

1 15.若函数 f(x)=3x3-f′(1)· x2+2x+5,则 f′(2)=________. 16.一物体以初速度 v=9.8t+6.5 米/秒的速度自由落下,且下落后第二个 4s 内 经过的路程是________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程步骤)
2

1 28 17.(10 分)已知函数 f(x)=3x3-4x+m 在区间(-∞,+∞)上有极大值 3 . (1)求实数 m 的值;(2)求函数 f(x)在区间(-∞,+∞)的极小值.

18.(12 分)用总长为 14.8 米的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制的容 器的底面的长比宽多 0.5 米, 那么高为多少时容器的容器最大?并求出它的最大 容积.

19.(12 分)设函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax(a∈R). (1)当 a=1 时,求证:f(x)为 R 上的单调递增函数; (2)当 x∈[1,3]时,若 f(x)的最小值为 4,求实数 a 的值.

3

a 20.(2010· 北京)(12 分)设函数 f(x)=3x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两根分别为 1,4. (1)当 a=3,且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围.

21.(12 分)已知函数 f(x)=ax3+bx2 的图像经过点 M(1,4),曲线在点 M 处的切线 恰好与直线 x+9y=0 垂直. (1)求实数 a,b 的值 (2)若函数 f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求 m 的取值范围.

22.(2010· 全国Ⅰ)(12 分)已知函数 f(x)=(x+1)lnx-x+1. (1)若 xf′(x)≤x2+ax+1,求 a 的取值范围;(2)证明:(x-1)f(x)≥0.

4

选修 2-2 第一章 导数及其应用 单元测试答案
1.解析 y=f(x)在(a,b)上 f′(x)>0?y=f(x)在(a,b)上是增函数,反之,y=f(x) 在(a,b)上是增函数?f′(x)≥0? / f′(x)>0.答案 A B

2.解析 曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为 f′(x0)=-2<0.答案 3.解析 y′=x2,k=tanα=y′|x=-1=(-1)2=1,∴α=45° .答案
2 4.解析 设 P0(x0,y0),则 f′(x0)=3x0 +1=4,

B

∴x2 0=1,∴x0=1,或 x0=-1. ∴P0 的坐标为(1,0)或(-1,-4).答案 B 5 解析 对于 C,有 y′=(xex)′=ex+xex=ex(x+1)>0.答案 C 6 解析 ∵f(x)为偶函数,且(-6,0)与(0,6)关于原点对称, ∴?6 f(x)dx=?6 f(x)dx+?6f(x)dx ?0 ?-6 ? -6

=2?6f(x)dx=2×8=16.答案
?0

D

7 解析 f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3). 当 x<-1 时,f′(x)>0,当-1<x<3 时,f′(x)<0. ∴x=-1 是 f(x)的极大值点.且极大值为 f(-1)=5,在(-2,2)内无极小值. 答案 C 8.解析 由 y=f(x)的图像知, 有两个极值点, 则 y=f′(x)的图像与 x 轴应有两个 交点,又由增减性知,应选 D.答案 D 9 解析 y′=6x2+2x=2x(3x+1),
5

1 令 y′>0,得 x<-3,或 x>0.∴函数 y=2x3+x2 的单调增区间为 1 (-∞,-3)和(0,+∞).答案 C 10 解析 如图所示,阴影部分的面积为 S1=?0-1(x2-x)dx
?

1 1 ? =(3x3-2x2)? ?-1

0

5 =6.S2=

? 1 2 ?? (x -x)dx ?? 0

1 ? 1 3 1 2? ? ?=-( x - x )? 3 2 ?0 ?

1 =6,

故所求的面积为 S=S1+S2=1.答案 B 1 1 11 解析 f′(x)=3ax2+2bx+c,依题意知,3a×(a)2+2b×a+c=0, 3 2b 即a+ a +c=0,∴2b+ac=-3.答案 A

1 1 2x 1 12.解析 f′(x)=2e ,∴曲线在点(4,e2)处的切线的斜率为 k=f′(4)=2e2,

1 切线方程为 y-e2=2e2(x-4). 切线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为 A(2,0), B(0, 1 -e2),则切线与坐标轴所围成的三角形 OAB 的面积为 S=2×2×e2=e2. 答案 D 13 解析 令 y=0,则有 f(x)=f(x)f(0) ∵f′(0)=2,∴f(x)不恒为 0,∴f(0)=1.答案 14 解析
? ? 3x dx=x ? ?2 ?2
5 2 3 5

1 117

=53-23=117.答案

15 解析 ∵f′(x)=x2-2f′(1)x+2, ∴f′(1)=1-2f′(1)+2.∴f′(1)=1.∴f′(x)=x2-2x+2.
6

∴f′(2)=22-2×2+2=2.答案 2 16 解析
? ? (9.8t+6.5)dx=(4.9t +6.5t)? ?4 ?4
8 2 8

=4.9×64+6.5×8-4.9×16-6.5×4 =313.6+52-78.4-26=261.2.答案 261.2 米 解答题 17 解 f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2). 令 f′(x)=0,得 x=-2,或 x=2. 故 f(x)的增区间(-∞,-2)和(2,+∞) 减区间为(-2,2). (1)当 x=-2,f(x)取得极大值, 8 28 故 f(-2)=-3+8+m= 3 , ∴m=4. 1 4 (2)由(1)得 f(x)=3x3-4x+4,又当 x=2 时,f(x)有极小值 f(2)=-3.

18 解 设容器底面宽为 xm,则长为(x+0.5)m,高为(3.2-2x)m.
?3.2-2x>0, ? 由? 解得 0<x<1.6, ?x>0, ?

设容器的容积为 ym3,则有 y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x, y′=-6x2+4.4x+1.6, 令 y′=0,即-6x2+4.4x+1.6=0, 4 解得 x=1,或 x=-15(舍去). ∵在定义域(0,1.6)内只有一个点 x=1 使 y′=0,且 x=1 是极大值点, ∴当 x=1 时,y 取得最大值为 1.8.
7

此时容器的高为 3.2-2=1.2m. 因此,容器高为 1.2m 时容器的容积最大,最大容积为 1.8m3.

19 解 (1)证明:当 a=1 时,f(x)=2x3-6x2+6x,则 f′(x)=6x2-12x+6=6(x -1)2≥0, ∴f(x)为 R 上的单调增函数. (2)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a =6(x-1)(x-a) ①当 a≤1 时, f(x)在区间[1,3]上是单调增函数, 此时在[1,3]上的最小值为 f(1) =3a-1, 5 ∴3a-1=4,∴a=3>1(舍去); ②当 1<a<3 时,f(x)在(1,a)上是减函数,在区间(a,3)上是增函数,故在[1,3] 上的最小值为 f(a)=2a3-3(a+1)a2+6a2=4.化简得(a+1)(a-2)2=0,∴a=- 1<1(舍去),或 a=2; ③当 a≥3 时,f(x)在区间(1,a)上是减函数,故 f(3)为最小值, ∴54-27(a+1)+18a=4, 22 解得 a= 9 <3(舍去). 综上可知,a=2.

a 20 解 由 f(x)=3x3+bx2+cx+d,得 f′(x)=ax2+2bx+c, ∵f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0 的两根分别为 1,4,
? ?a+2b+c-9=0, ∴? (*) ?16a+8b+c-36=0, ?
8

? ?2b+c-6=0, (1)当 a=3 时,由(*)得? ? ?8b+c+12=0,

解得 b=-3,c=12. 又∵曲线 y=f(x)过原点,∴d=0. 故 f(x)=x3-3x2+12x. a (2)由于 a>0,所以“f(x)=3x3+bx2+cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点”, 等价于“f′(x)=ax2+2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立”. 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a. 又 Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9),
? ?a>0, 解? 得 a∈[1,9], ? ?Δ=9?a-1??a-9?≤0,

即 a 的取值范围是[1,9]. 21 解 (1)∵f(x)=ax3+bx2 的图像经过点 M(1,4), ∴a+b=4.① 又 f′(x)=3ax2+2bx,则 1 f′(1)=3a+2b,由条件 f′(1)(-9)=-1, 得 3a+2b=9② 由①、②解得 a=1,b=3. (2)f(x)=x3+3x2,f′(x)=3x2+6x, 令 f′(x)=3x2+6x≥0,得 x≥0,或 x≤-2, 若函数 f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,则[m,m+1]?(-∞,-2]∪[0, +∞), ∴m≥0,或 m+1≤-2,即 m≥0,或 m≤-3, ∴m 的取值范围是(-∞,-3]∪[0,+∞).

9

x+1 1 22 解 (1)f′(x)= x +lnx-1=lnx+x , xf′(x)=xlnx+1, 题设 xf′(x)≤x2+ax+1 等价于 lnx-x≤a. 1 令 g(x)=lnx-x,则 g′(x)=x -1. 当 0<x<1 时,g′(x)>0; 当 x≥1 时,g′(x)≤0, x=1 是 g(x)的最大值点, g(x)≤g(1)=-1. 综上,a 的取值范围是[-1,+∞). (2)由(1)知,g(x)≤g(1)=-1, 即 g(x)+1≤0,即 lnx-x+1≤0, 当 0<x<1 时, f(x)=(x+1)lnx-x+1 =xlnx+(lnx-x+1)≤0; 当 x≥1 时, f(x)=lnx+(xlnx-x+1) 1 =lnx+x(lnx+x-1) 1 1 =lnx-x(lnx-x+1)≥0.
所以(x-1)f(x)≥0.

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