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河北省衡水中学2012届高三下学期二调考试(数学理)


2011— 学年度下学期二调 二调考试 2011—2012 学年度下学期二调考试 高三理科数学试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 目要求的。 目要求的。 1.已知 U = R , A = { x | x > 0}

, B = { x | x ≤ ?1} ,则 ( A I Cu B ) U ( B I Cu A ) = ( 则 A. ? . C. { x | x > ?1} .
2



B. { x | x ≤ 0} . D. { x | x > 0或x ≤ ?1} .

2.已知 x 为实数,条件 p: x < x ,条件 q: 为实数, A.充分不必要条件 C.充要条件

1 ≥ 1, 则 p 是 q 的 ( x



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

3. 已知等差数列 1, a, b ,等比数列 3, a + 2, b + 5 ,则该等差数列的公差为 , , A.3 或 ?3 . B.3 或 ?1 . C.3 . D. ?3 .

上是减函数, 4.定义在 R 上的偶函数 f (x ) 满足 f (x + 1) = ?f ( x ), 且在 [ ?5,?4] 上是减函数, 是锐角三角形的两个内角, α、β 是锐角三角形的两个内角,则( ) A. f (sin α ) > f (cos β ) C. f (sin α ) < f (cos β ) B. f (sin α ) > f (sin β ) D. f (cos α ) > f (cos β ) )

5.如右框图, 等于( 5.如右框图,当 x1=6,x2=9,p=8.5 时,x3 等于( 如右框图 A.11 B.10 C. 8 D. 7

观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122, :1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,… 6. 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中 x,y,z 的值依次是

(

)

A.13,39,123

B. 42,41,123

C.24,23,123

D.28,27,123

7.从一个棱长为 的正方体中切去一部分,得到一个几何体 7.从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体,其 图如右图, 图如右图,则该几何体的体积为 ( A. )

三 视

7 8

B.

5 8

C.

5 6

D.

3 4
y=b

8.

已知函数 f ( x ) = A sin(ωx + ? )( A > 0, ω > 0) 的图象与直线

(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是 2,4,8,则 f (x ) 的单调 的三个相邻交点的横坐标分别是 , , , 区间是( 区间是( ) B. [6k ? 3,6k ], k ∈ Z D. 无法确定

递增

A. [6kπ ,6kπ + 3], k ∈ Z C. [6k ,6k + 3], k ∈ Z

9.投掷一枚正方体骰子( 6), (A)表示 9.投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有 1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为 α ,又 n (A)表示 投掷一枚正方体骰子
2 集合的元素个数, +3=1, R}, 的概率为( 集合的元素个数,A={ x | x + α x +3=1, x ∈R},则 n (A)=4 的概率为( 2



A.

1 6

B.

1 2

c.

2 3

D.

1 3

10.

设∠POQ=60°在 OP、OQ 上分别有动点 A,B,若 OA · OB =6, △OAB 的重心是 G,则| OG | 的最 POQ=60° OP、 =6, ) B. B. 2 C. C. 3 D. 4

小值是( 小值是( A.1

11.设点 11.设点 P 是椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 上一点,F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,I 为 ?PF1 F2 的内心, 上一点, 分别是椭圆的左、 右焦点, 的内心, a 2 b2


若 S ?IPF1 + S ?IPF2 = 2 S ?IF1F2 ,则该椭圆的离心率是 (

(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

1 4

12. 已知函数 f ( x ) = ?

?2 x ? 1( x ≤ 0) g(x)=f(x),把函数 g(x)=f(x)-x+1 的零点按从小到大的顺序排列成一个 ? f ( x ? 1) + 1( x > 0)
) C.45 D.55 D.

数列, 数列,则该数列的前 n 项的和 S n ,则 S10 =( A. 210 ? 1 B. 2 9 ? 1

第 Ⅱ卷 ?

本卷包括必考题和选考题两部分, 本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答,第 13) 21)题为必考题,每个试题考生都必须做答, (22)题~第(24)题为选考题,考试根据要求做答。 22) 24)题为选考题,考试根据要求做答。 填空题: 小题, 二、 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

? 1 ? ? 13. 13.设函数 f ( x ) = ? 4 ? x 2 ? 0 ? ?

( x ≤ 3) ( 3 < x < 2) ,则 ∫ 2010 f ( x )dx 的值为________. 的值为________. ?1 ( x ≥ 2)

14.正四面体 的中点, 14.正四面体 ABCD 的外接球的球心为 0,E 是 BC 的中点,则直线 OE 与平面 BCD 所成角的正切 值为 .

15. 在点( 处的切线斜率为15.已知曲线 f ( x ) = a ln x + bx + 1 在点( 1, f (1) )处的切线斜率为-2,且 x = 则 a-b= .

2 的极值点, 是 y = f (x) 的极值点, 3

16.关于 16.关于 f ( x ) = 3 sin( 2 x +

π
4

) 有以下命题: 有以下命题:

①若 f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0, 则 x1 ? x2 = kπ ( k ∈ Z ) ; ② f (x ) 图象与 g ( x ) = 3 cos( 2 x ? ③ f (x ) 在区间 [ ?

π
4

) 图象相同; 图象相同;

7π 3π π ,? ] 上是减函数; ④ f (x) 图象关于点 (? ,0) 对称。 上是减函数; 对称。 8 8 8


其中正确的命题是

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 设数列{ 满足: .等比数列 设数列 an }的前 n 项和 S n 满足 S n =n an -2n(n-1) 等比数列 bn }的前 n 项和为 Tn ,公比为 a1 ,且 T5 的前 ( - ) 等比数列{ . 的前 = T3 +2 b5 . (1)求数列{ an }的通项公式; )求数列 的通项公式; 的通项公式 (2)设数列 )设数列{

1 1 1 }的前 n 项和为 M n ,求证: ≤ M n < . 求证: 的前 5 4 an an+1

18. (本小题满分 12 分) 如图, 已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为蓌形, ⊥平面 ABCD,∠ABC=60°, ABCD,底面 为蓌形, PA⊥ ABCD,∠ABC=60° 如图, PA 分别是 BC,PC 的中点。 的中点。 (Ⅰ)求证:AE⊥PD; 求证:AE⊥PD; E,F

(Ⅱ)若直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值为

6 AF- 的余弦值. ,求二面角 E-AF-C 的余弦值. 4

19.( 学校游园活动有这样一个游戏项目: 个白球, 个黑球, 19.(本小题满分 12 分)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球,2 个黑球,乙箱子 个白球, 个黑球,这些球除颜色外完全相同 色外完全相同。 个球, 里装有 1 个白球,2 个黑球,这些球除颜色外完全相同。每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若 则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱) 摸出的白球不少于 2 个,则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在一次游戏中 (1)求在一次游戏中 个白球的概率; 获奖的概率。 ①摸出 3 个白球的概率;②获奖的概率。 (2)求在两次游戏中获奖次数 E(x)。 (2)求在两次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(x)。

20. (本小题满分 12 分)

已知椭圆 C:

1 x2 y2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆点,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 =1(a>b>0) 以原点为圆点,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 2 a b 2

相切。 x-y+ 6 =0 相切。 (Ⅰ)求椭圆的标准方程; 求椭圆的标准方程; ,A,B 轴对称的任意两个不同的点, (Ⅱ)设 P(4,0) A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交随圆 C 于另一点 , E,证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q;

21. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) =

a + x ln x , x

g ( x) = x3 ? x 2 ? 3 .

处的切线方程; (1)当 a = 2 时,求曲线 y = f ( x) 在 x = 1 处的切线方程; ) 成立, (2)如果存在 x1 , x2 ∈ [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ M 成立,求满足上述条件的最大整数 M ; ) 成立, 的取值范围. (3)如果对任意的 s, t ∈ [ , 2] ,都有 f ( s ) ≥ g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围. )

1 2

请考生在第 22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 、 23 、 24 请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 经过⊙ 如图, 如图,直线 AB 经过⊙ O 上的点 C ,并且 OA = OB, CA = CB, ⊙ O 交直线 OB 于 E , D ,连接 EC, CD . E 的切线; (I)求证:直线 AB 是⊙ O 的切线; )求证: O 1 的长. (II)若 tan ∠CED = , ⊙ O 的半径为 3 ,求 OA 的长. ) D 2 A C B

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
2 2 =1, 为极点, 在平面直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C1:x +y =1,以平面直角坐标系 xoy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴 2 2

为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系, (2cosθ sinθ 为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l:ρ(2cosθ-sinθ)=6. 上的所有点的横坐标, (Ⅰ)将曲线 C1 上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的 3 、2 倍后得到曲线 C2,试写出直 的参数方程. 线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程. (Ⅱ)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值. 的距离最大, 求出此最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) =| 2 x ? 1 | +2, g ( x ) = ? | x + 2 | +3. (Ⅰ)解不等式: g ( x ) ≥ ?2 ; 解不等式: 恒成立, 的取值范围。 (Ⅱ)当 x ∈ R 时, f ( x ) ? g ( x ) ≥ m + 2 恒成立,求实数 m 的取值范围。

2011— 2011—2012 学年度下学期二调考试答案 理科数学
一、选择题? 选择题 1.D 2.A 3.C 4.A 5.C 6.B 7.C 8.C 9.D 10.B 11.A 12. C 6.解析:观察各项我们可以发现: 14× 6.解析:观察各项我们可以发现:x 为前一项的 3 倍即 14×3,y 为前一项减 1,z 为前一项的 3 倍, 解析 42,41,123, 故应选 42,41,123,选 B 二、填空题? 填空题?

π
13.

3

+

2+ 3 2

14.

2 2

15. 10

16. ②③④

三、解答题 17.

18.( 为菱形, ABC=60 可得△ 为正三角形. 18.(Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC 为正三角形. 证明: 的中点, AE⊥BC.又 BC∥AD, AE⊥ 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC.又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. PA⊥ ABCD, ABCD, PA⊥ 因为 PA⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 而 PA ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 且 PA∩AD=A, PAD, PA∩AD=A, AE⊥ PAD, PAD.所以 AE⊥PD.…… ……6 所以 AE⊥平面 PAD,又 PD ? 平面 PAD.所以 AE⊥PD.……6 分 AE,AD, 两两垂直 垂直, 为坐标原点, (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点, xyz, AB=2,AP=a, 如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,设 AB=2,AP=a,则 A(0,0,0) , ,C ,D ,P ,E ,F ( 3 , -1, 0) C( 3 , 1, 0) D( 0, 2, 0) P( 0, 0, a) E( 3 , 0, 0) F( , , , , , 建立 B

3 1 a ,, ) , 2 2 2

,且 的法向量, 所以? , 所以? PB =( 3 ,-1,-a) 且? AE =( 3 ,0,0)为平面 PAD 的法向量,设直线 PB 与平面 PAD 所成

的角为θ 的角为θ, sinθ=|cos< 由 sinθ=|cos<? PB ,? AE >|=

| PB ? AE | | PB | ? | AE |
=

3 4 + a2 3
=

6 ……8 ……8 分 4

所以? ,0,0) ,? 解得 a=2 所以? AE =( 3 ,0,0) ? AF =( ,

3 1 , , 1) 2 2

? 3 x1 = 0, ?m ? AE = 0 ? ? 设平面 AEF 的一法向量为 m=(x1,y1,z1),则 ? ,因此 ? 3 取 z 1= - 1 , 则 1 ?m ? AF = 0 x1 + y1 + Z1 = 0 ? ? 2 ? 2
m=(0,2,-1),……10 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A, BD⊥ AFC, m=(0,2,-1),……10 分 因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以 BD⊥平面 AFC,故 BD 为平面 AFC 的一法 …… ,3,0) 向量. , 向量.又 BD =(- 3 ,3,0) cos< 所以 cos<m, BD >=

m ? BD
| m | ?BD

=

2×3 15 = . 5 5 × 12 15 .……12 分 ……12 5

因为二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为 AF- 为锐角,

19.( 个白球” 19.(1) ① 设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai (i = 0 , 1, 2, 3), 则 )
1 C 32 C 2 1 P( A3 ) = ? = …………………… 分 ……………………3 C 52 C 32 5

② 设“在 1 次游戏中获奖为事件 B” 则 B = A2 ∪ A3 又 P( A2 ) =
1 1 2 1 C 32 C 2 C 3 ? C 2 C 2 1 ? 2 + ? 2 = 互斥, 且 A2 , A3 互斥, C 52 C 3 C 52 C3 2

所以 P ( B ) = P ( A2 ) + P ( A3 ) =

1 1 7 + = ………………6 分 ………………6 2 5 10

(2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0, 1,2 ) , ,

7 2 9 ) = 10 100 7 7 21 1 P (x = 1) = C 2 (1 ? ) = 10 10 50 7 2 49 P ( x = 2) = ( ) = 10 100

P ( x = 0) = (1 ?

所以 x 的分布列是 x P 0 1 2

9 100

21 50

49 100

9 21 49 7 + 1? + 2 ? = …………………………12 分 …………………………12 100 50 100 5 c 1 c2 a 2 - b2 1 2 2 3 2 20.解 ( (Ⅰ 20.解: Ⅰ)由题意知 e= = ,所以 e = 2 = = .即 a = b . 2 a 2 a c 4 4
X 的数学期望是 E(X) = 0 ?

6 x2 y2 2 2 =4, =3. + =1.… 又因为 b= = 3 ,所以 a =4,b =3.故椭圆的方程为 =1.…4 分 4 3 1+1
的斜率存在, y=k(x-4). (Ⅱ)由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y=k(x-4).

? y = k ( x ? 4) ? 2 2 2 2 +3) 12=0. ①…6 由 ? x2 y2 ,得(4k +3)x -32k x+64k -12=0. ①…6 分 + =1 ? 3 ?4

y2 + y 1
设点 B(x1,y1),E(x2,y2),则 A(x1,-y1).直线 AE 的方程为 y-y2=

x2 ? x1

(xy=0, (x-x2).令 y=0,得

x=x2-

y2 ( x2 ? x1 ) 4), 4)代入 代入, .将 y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入, y2 + y1 2 x1 x 2 ? 4( x1 + x2 ) x1 + x2 ? 8
. ②…8 分

整理, 整理,得 x=

32k 2 64k 2 ? 12 由①得 x1+x2= , x 1x 2= …10 分 4k 2 + 3 4k 2 + 3
Q(1,0).……12 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1,0).……12 分 21. ( ) 解: 1)当 a = 2 时, f ( x ) =

代入②整理, x=1. 代入②整理,得 x=1.

2 2 + x ln x , f '( x) = ? 2 + ln x + 1 , f (1) = 2 , f '(1) = ?1 , x x

所以曲线 y = f ( x) 在 x = 1 处的切线方程为 y = ? x + 3 ; (2)存在 x1 , x2 ∈ [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ M 成立 ) 等价于: 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ≥ M ,

LLLL 4 分

3 2 考察 g ( x ) = x ? x ? 3 , g '( x ) = 3 x ? 2 x = 3 x ( x ? ) , 2

2 3

x
g '( x) g ( x)

由上表可知: 由上表可知: g ( x ) min = g ( ) = ?

2 3

85 , g ( x) max = g (2) = 1 , 27

[ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max = g ( x) max ? g ( x) min =
所以满足条件的最大整数 M = 4 ; 3)当 x ∈ [ , 2] 时, f ( x ) = )
2

112 , 27

LLLL 8 分

1 2

a + x ln x ≥ 1 恒成立,等价于 a ≥ x ? x 2 ln x 恒成立, 恒成立, 恒成立, x

记 h( x) = x ? x ln x , h '( x) = 1 ? 2 x ln x ? x ,

h '(1) = 0 。 1 2

记 m( x) = 1 ? 2 x ln x ? x , m '( x) = ?3 ? 2 ln x ,由于 x ∈ [ , 2] ,

m '( x) = ?3 ? 2 ln x < 0 , 1 2

上递减, 所以 m( x) = h '( x) = 1 ? 2 x ln x ? x 在 [ , 2] 上递减,又 h/(1)=0, ) ,

1 2

当 x ∈ [ ,1) 时, h '( x) > 0 , x ∈ (1, 2] 时, h '( x) < 0 ,
2 上递增, 上递减, 即函数 h( x) = x ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递增,在区间 (1, 2] 上递减,

1 2

所以 h( x) max = h(1) = 1 ,所以 a ≥ 1 。

LLLL 12 分

(3)另解:对任意的 s, t ∈ [ , 2] ,都有 f ( s ) ≥ g (t ) 成立 另解: 等价于: 的最大值, 等价于:在区间 [ , 2] 上,函数 f ( x ) 的最小值不小于 g ( x ) 的最大值, 由(2)知,在区间 [ , 2] 上, g ( x ) 的最大值为 g (2) = 1 。 )

1 2

1 2

1 2

1 f (1) = a ≥ 1 ,下证当 a ≥ 1 时,在区间 [ , 2] 上,函数 f ( x) ≥ 1 恒成立。 恒成立。 2 1 a 1 当 a ≥ 1 且 x ∈ [ , 2] 时, f ( x ) = + x ln x ≥ + x ln x , 2 x x 1 1 h '(1) = 0 记 h( x ) = + x ln x , h '( x ) = ? 2 + ln x + 1 , x x 1 1 当 x ∈ [ ,1) , h '( x ) = ? 2 + ln x + 1 < 0 ;当 x ∈ (1, 2] , 2 x 1 h '( x) = ? 2 + ln x + 1 > 0 , x 1 1 上递减, 上递增, 所以函数 h( x ) = + x ln x 在区间 [ ,1) 上递减,在区间 (1, 2] 上递增, x 2 h( x) min = h(1) = 1 ,即 h( x) ≥ 1 ,
成立, 所以当 a ≥ 1 且 x ∈ [ , 2] 时, f ( x ) ≥ 1 成立,

1 2 1 即 对 任 意 s, t ∈ [ , 2] , 都 有 f ( s ) ≥ g (t ) 。 2

LLLL 12 分

(Ⅰ 由题意知, 的直角坐标方程为:2x23. 解: Ⅰ)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0. (

∵ C 2: ( (

? x = 3 cos θ x y 的参数方程为: 为参数)……5 ) + ( ) 2 =1 ∴C2:的参数方程为: ? (θ为参数)……5 分 2 2 3 ? y = 2 sin θ

cosθ 2sinθ , ,则点 的距离为: (Ⅱ)设 P( 3 cosθ,2sinθ) 则点 P 到 l 的距离为:

d=

| 2 3cosθ ? 2 sin θ ? 6 | | 4 sin(60° ? θ ) ? 6 | = , 5 5
3 |4+6| ,1) ……10 ,1)时,此时 dwax=[ =2 5 ……10 分 2 5

sin(60° ∴当 sin(60°-θ)=-1 即点 P(-


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