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线线平行、线面平行、面面平行的判定方法(本人原创)


在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法
一、 两条直线平行的判定方法 (1) 在同一平面内没有公共点的两条直线平行(定义) (2) 先证在同一平面内,再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。 如①在同一平面内,两条直线被第三条直线所截,如果同位角或内错角相等,或同旁内角 互补,则两直线平行。 ②三角形、梯形中位线定理。 ③平行四边形、矩形、菱

形、正方形性质(对边平行)。 ④在同一个平面内,同垂直于一条直线的两条直线平行(注意:此结论在空间不适合) 。 (3) (线面平行的性质)如果一条直线和一个平面平行,则经过这条直线的一个平面与这个 平面相交,那么这条直线和交线平行。 (4) 如果两直线都平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行(平行的传递性) 。 (5) (面面平行的性质)如果两个平行平面分别和第三个平面相交,则它们的交线平行。 (6) (线面垂直的性质之一)如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。 (7) 用向量证明。 二、 一条直线和一个平面平行的判定

(1) 如果一直线和一平面没有公共点,那么这条直线就和这个平面平行(定义) (2) 平面外的一条直线,如果和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线就和这个平面平 行(线面平行的判定定理)。 (3) 如果两个平面相互平行,那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面. (线面平行的性质) 。 (4) 向量法。 三、 两个平面平行的判定

(1) 如果两个平面没有公共点,那么这两个平面互相平行(定义) (2) 如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行,那么这两个平面平行。 (3) 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个 平面平行。 (4) 如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面平行。 (5) 如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行。

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在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法
一、 两条直线垂直的判定 (1) 在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。 ①证明两条直线形成的角等于 90° ②正方形、矩形性质(四个角都是直角) ;③正方形、菱形对角线互相垂直; ④勾股定理逆定理;⑤“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理。 ⑥证明一个三角形两个内角和为 90°,则另一个内角为 90°。 ⑦证明一个三角形和一个直角三角形全等,利用全等三角形对应角相等证明直角。 ⑧证明两个邻补角相等且和为 180°,则每一个角为 90° (此两个角有公共定点,有一条公共边,非公共边互为反向延长线) 。 ⑨等腰三角形性质(三线合一) 。 ⑩直径所对的圆周角是直角。 (2) 如果一条直线垂直于一个平面,那么它垂直于这个平面内的任何一条直线。 (3) 如果平面内的一条直线和此平面的一条斜线在平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线 垂直(三垂线定理) (4) 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射 影垂直(三垂线定理的逆定理) 。 (5) 如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线,那么它也垂直于另一条直线 (此定理在平面和空间都适合) 。 (6) 证明空间两条异面直线相互垂直,可证明这两条直线所成的角为 90°。 (7) 向量法。 二、 一直线和一个平面垂直的判定 (1) 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么这条直线就垂直于这个平面。 (2) 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线就和这个平面垂直。 (3) 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 (4) 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面。 (5) 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 (面面垂直的性质定理) 。 (6) 如果两个相交平面α 和β 都垂直于平面γ ,那么它们的交线也垂直于平面γ (不能当定 理引用) 。 (7) 向量法。 三、 两平面垂直的判定 (1) 如果两相交平面所成的二面角为直二面角,那么这两个平面互相垂直(定义) 。 (2) 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直(线面垂直性质定理) 。 四、 有关直线与平面位置关系中的几个性质定理 (1) 夹在两个平行平面之间平行线段的长相等。 (2) 两平行平面间的距离处处相等。 (3) 两直线如果被三个平行平面所截,那么所截得下对应线段成比例。 (4) 如果两个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等。 五、 要点分析 (1) 线线、线面、面面平行关系的转化
线面 // 判定 面面 // 判定1 公理4 ?? ? ? ?? ? ????? ? 线线// ? ? ?? ?? ?? ? ? 线面 // ? ? ?? ?? ? ?? ?? 面面平行 平面几何定理 线面 // 性质 面面//性质2

(2)线线、线面、面面垂直关系的转化
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