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【数学】2.1.1《椭圆及其标准方程》PPT课件(新人教版选修1-1)


§2.1 椭圆及其标准方程

导入新课: 绘图纸上的三个问题 1.视笔尖为动点,两个图钉为定点, 动点到两定点距离之和符合什么条 件?其轨迹如何? 2.改变两图钉之间的距离,使其与 绳长相等,画出的图形还是椭圆吗? 3.绳长能小于两图钉之间的距离吗?

y

x

演示

究:
|MF1|+ |MF2|>|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| 椭圆 线段 |MF1|+ |MF2|<|F1F2| 不存在

归纳:椭圆的定义:
平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆. 定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两焦点的距离 叫做椭圆的焦距.

探究:如何建立椭圆的方程?
建系 列式 化简 设点

椭圆上的点满足PF1+PF2 为定值,设为2a,则2a>2c
y

则: ? x + c ?
? ?

2

+ y

2

+

P(2x , y ) 2 ? x - c ? + y = 2a
2

?x
2

2 2 + c ? + y F= -2 a 0-? O ? x -F2? c +0 ? c? , y 1? c , 2

x
- c? + y
2 2

y
F2 P
O

?x

+ c ? + y = 4a - 4a
2 2 2 2

?x

- c? + y
2 2

2

?

?x

? a - cx = a

?x c? + y 设 P( x,y -)是椭圆上任意一点

?

设F1F=2c,则有F1(-c,0)、F2(c,0) 1 F1F2 F 以F1、F2 所在直线为 2x 轴,线段 设 a - c = b ? b > 0 ? 得 b2x2+a2y =a2b2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系.
2 2 2

?a

2

-c

2

?x

2

+a y = a

2

2

2

?a

2

-c

2

?

x

即:

x a

2

2

+

y b

2

2

=1

?a

> b > 0?

2.椭圆的标准方程 y
F1 O
2 2 2 2

y
F1

F2

x
y a
2 2

O F2
? x b
2 2

x
? 1

x a

?

y b

? 1

方 (1)方程的左边是两项平方和的形式,等号的右边是1; 程




(2)在椭圆两种标准方程中,总有a>b>0; (3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上; (4)a、b、c都有特定的意义,

a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半;c—半焦距.
有关系式 a 2 ? b 2 ? c 2成立。

变式演练 加深理解
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程: ( 1) 两 个 焦 点 的 坐 标 分 别 是 ( - 4, 0) 、 ( 4, 0) , 椭 圆 上 一 点 到 两 焦 点 距 离 的 和 等 于 10;
王新敞
奎屯 新疆

( 2) 两 个 焦 点 的 坐 标 分 别 是 ( 0, 2) 、 ( 0, 2) , 3 5 并且椭圆经过点( - ,). 2 2
王新敞
奎屯 新疆

解:(1)所求椭圆标准方程为 (2)所求椭圆标准方程为
y

x
2

2

?
? x

y
2

2

?1
?1

25

9

10

6

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点(0,1). (2)焦点在y轴上,与y轴的一个交点为P(0,-10), P到它较近的一个焦点的距离等于2.
解:(1)所求椭圆的标准方程为 (2)所求椭圆的标准方程是
.

x

2

? y ?1
2

4
y

2

?

x

2

?1

100

36

求椭圆标准方程的解题步骤: (1)确定焦点的位置; (2)设出椭圆的标准方程; (3)用待定系数法确定a、b的值,

写出椭圆的标准方程.

例3 已知椭圆经过两点 的标准方程 x
解:设椭圆的标准方程 则有
王新敞
奎屯 新疆

(?

3 5 , )与 ( 3 , 2 2
y
2

5)

,求椭圆

2

?

? 1( m ? 0 , n ? 0 , m ? n )

m

n

3 2 5 2 ? (? ) ( ) ? 2 2 ? ?1 ? m n ? 2 ?( 3)2 ( 5) ? ?1 ? n ? m

,解得 m ? 6 , n ? 10
x
2

所以,所求椭圆的标准方程为

?

y

2

?1

6

10

变式题组一
1.已 知 椭 圆 方 程 为 (A)6 (B)3 x
2

23

+

y

2

= 1, 则 这 个 椭 圆 的 焦 距 为 ( ) (D)6 5

32

(C)3 5

2 . F1、 F 2 是 定 点 , 且 F1 F 2 = 6, 动 点 M 满 足 M F1 + M F 2 = 6, 则点M的轨迹是( (A)椭 圆 3.已 知 椭 圆 (B)直 线 x
2

) (C)圆 (D)线 段

+

y

2

= 1上 一 点 P 到 椭 圆 一 个 焦 点 的 距 离 )

25

16

为 3, 则 P 到 另 一 焦 点 的 距 离 为 ( ( A )2 (B)3 (C)5 ( D )7

变式题组二
1.如 果 方 程 x +ky =1表 示 焦 点 在 y轴 上 的 椭 圆 , 那 么 实 数 k的 取 值 范 围 是 ( (A)( 0, +? ) (C)( 1, +? ) 2.椭 圆 (A)5 x
2 2 2



(B)( 0, 2) (D)( 0, 1) )

+

y

2

m

4

= 1 的 焦 距 是 2 , 则 实 数 m的 值 是 ( (C)3或 5 x
2

(B)8

(D)3 = 1的 两 个 焦 点 , 过

3 . 已 知 F1、 F 2 是 椭 圆

25

+

y

2

49

F1的 直 线 与 椭 圆 交 于 A、 B 两 点 , 则 D A B F 2的 周长为( (A)8 6 ) (B)20 (C)24 (D)28

反思总结 提高素质
标准方程
不 同 点 图形
x a
2 2

+

y b

2 2

= 1( a > b > 0 )

y a

2 2

+

x b

2 2

= 1( a > b > 0 )

y

y

o
F1(-c,0)、F2(c,0)

x

o

x

焦点坐标
定义 共 同 点
a、b、c的关系 焦点位置的判定

F1(0,-c)、F2(0,c)

平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常 数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.

b2 = a2 –c2
椭圆的两种标准方程中,总是 a>b>0. 所以哪个 项的分母大,焦点就在那个轴上;反过来,焦点在哪 个轴上,相应的那个项的分母就越大.

椭圆标准方程的求法: 一定焦点位置; 二设椭圆方程; 三求a、b的值.

作业:
一. 人教版选修P42
二. 思考题
方 程 Ax2+By2=1什 么 时 候 表 示 椭 圆 ? 什 么 时 候 表 示 焦 点 在 x轴 上 的 椭 圆 ? 什 么 时 候 表 示 焦 点 在 y轴 上 的 椭 圆 ?

1,2


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