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第十届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案


中学生 数学

年 月上

第!

#期

高中%




第 & 届 北 京 高 中数 学 知 识 应 用 竞 赛 初 赛 试 题 及 参 考答 案
(





>、



上 述 的 分 析 和 计 算 是 否 有 错 误0 如 果 有错
/

建 模

误 请 具 体指 明 (


,


(

满 分

分 (

一个物 件 的 三 视 图 如
,



画 出它 的具 有 最 小 体
)

积的直观图
( 一 个 物件 的三 视

图如 图

,

长度 单位 是



,

田田 田


如果 你 认 为 上 述 的分 析 和 计算 没 有 错 误
,

,

请说 明 为什 么 用 甲 胎 蛋 白诊 断 肝 癌 之差

)

其效果如此





满分

分(

。。 1



2

月 .

日 央 行宣 布存贷 ( 加息
)

,

款基 准 利 率 双 双 上 调 调 整 后 的 存款 利 率 见 表
,

,

后 的两 日 内 到 各 银 行 办 理 转 存业 务 的市 民 明 显 增 多 表 人 民 币 存 款 利 息调 整 表 《 项目 调整 前年利率 , (
)

画 出 具有 最小 体积 的直 观 图 并计算这个体积


1



2

月 .

日起 (
(

,

)

调 整后 年 利 率 ,
)



满分

分( 已

知肝癌在人群 中的发 病
)

率为

+ ,

)

人们 发现

甲胎 蛋 白 有 如 下 特 性 对患肝 癌 的人 们 胎蛋 白 检 验 时 人是 十
‘ ’ , , ,

用甲 ,
/

. #

的 对

四 目圣 目
’ 卜 中 中 ’叫


活期
) )

定 整 期 整 存 取

三个月
) )

2 # # 1

六 个月
)

一年
)

# ! + 1 ! +
)

)

二年 三年 五年
! !
)

1. +

)

)

即 呈 阳性




不 患肝 癌 的 人 用 甲 胎 蛋 白 检验 时 .
,

环的 人是
,







,

)

即 呈 阴性
)

当 用 甲胎 蛋 白

倒 腾 存 折有 必 要 吗 0 定 期 存 款 利 息 是 按 照 存 人
, ,



来 检验 肝 癌 时 设 人



的总 数 为 3
)

当 天利 率计 算的 提 前 支 取 一 律 按 照 活 期 计 算利 率 对
+3
,

此 时患 肝癌 的人 数 约 为


。 4 5

存 款人 所 获 的利 息 国 家 有 其 中化 验 呈
,

,

,

)

的利息税 显然 原有
,

,

&



)

的人 数 约 为
)

# .

6

)

45 5+

3


)

定 期 存 款 快 到 期 了 转 存 当然 不 合 适 如 果 央 行 加 息 前 刚 刚存 人 一 笔 款 转 存 一 下 是 合 适 的
,
)

不 患 肝 癌 的人 数 约
&



)


.

+
)

( 3

,

其 中化验 呈
(3

)

的人 数 约 为



如 果一 个人 对 自己 的 钱 长期 以 整存 整 取 三年 期 的
( 一
+





人 群 中化 验 为
)

&



的 总数 约
)

方式存 款 请 你具 体算一 算 怎 样情 况下转 存可 多获 利0



,

满分

分 ( 在 经济 学 中 供 给与 需 求 是 一 对

,

. # 6

)

+
)

3 &


)

. +

(

)



+

(3

,
)

度 崖 多 寸



其 中肝 癌 患 者 约
,

# .

6

矛盾

考 虑 某 种 商 品 的一
, ,



) 3
,

因此 对 一 个 化 验 为 & 能性是
)





个市场 没 有外 界干 预 只 有供 需 双 方 供 应 量 和需 求 量 与价 格 的 相 依 关 系 可 以
,

的人 来 说 他 患肝 癌 的 可

. # 又 一

)

+
)

3
)

)

. # 冰 ! 2
)

)

+

3 &

.

( 6



+

3 (

通 过 坐 标 系 中的图 像 来表 述 习惯上 以纵 轴
,

)



7

表示商 图
!

不 足 千 分 之 四 即 可 能 性 非 常小 请 回 答 以 下 问题

,

)

品 的价 格 横 轴

,



表示 商品

网址

, 8 9 9

:

; <=

< >

4 ?

4 >

= 。 尾: =

)

!

)

电 子信箱

Α8 9 、

= Β:; Χ < >

4 ?

= >

。: 一



=

江痢
,

与建


)

中学生 数学
的 一 架 飞 机 时刻 请 回 答 下 列 问题
(
)

年 月上

第! 巧 期 《 高中 %
)

,

的量 供 应 量 和 需 求 量 与 价 格 的关 系 曲 线 就 可 以 在 同 一 个 坐 标 系 中 表 示 出来 典 型 的 供 应 曲线 是 一 条 上 升 的 曲线 用

,
)

时飞 行 的 水 平 速 度 Κ 千 米 Γ 小时(

需 求 曲 线是 一 条 下 降 的 曲 线
, ,

如 果 供 应 曲线 化图

绘 制 出这 架 飞 机 在 不 同 的 时 刻 飞 行 速 度 的 变

表示 需 求 曲 线 用 Δ 表 示 一 升 一 降 的 两 条 曲线
, ,

通 常 有 一 个 交点 这个 交点 被 称 作 均 衡 点 如 图
)

!

中点

(

根 据 飞 行速 度 的变 化 图 描 述 这 架 飞 机 在 整 个
)

Ε

这 时 的 商 品价 格 是

7



,

商 品交 易 量 是




,

航 程 中航 行 的 状态
( !
)

如果 政 府 干 预 市 场 比 如给 生 产 者 以 补 贴 一 个 单 位 的商 品 量 补 贴 为 移 长度 为
7。
,

,

估 算 这 次航 行 的里 程

>

元 那 么 供 应 曲线 将 向下 平 移 平
)

,

,



)

则 出 现 新 的平 衡 点
、。
)

Φ

这 时的商 品 价格是
7

.

! 5

. ! .

! # . +!

. ! ! .

!

.

! 2 + 1#

. + .

! .

. #

+ ! # 2!

商 品 交 易量 是
,

显 然 商品 的 总交 易额是 区 域图
, ,

,

Λ

的面 积 尽 管 政 府 将 补 贴 给 了 供 应 方 但 是 供 需 双 方 同 时 从政 府 提 供 的 补贴 中受 益 因 为 政 府补 贴 需 求 方 减 少 的 支 出量 是 区 域 圈 的 面 积 供 应 方 增 加 的 收 益 量
)

7


. #. . 2 . .

+

+1 .

.

+2 ++

+. 魂

.

,

,

1 22 # ! # . 1 1 . + . . 2 # 2 . 2

,

7
了(

#!

. 2

# +

.

##

. . +

#1 1 # .

2 . # !

是 区 域 困 的面 积
)

7


回 答 下 面 问题 ”
. . #


. 2

. . . + 1 # 22 #

.

+

7

年 全 国 高 考 试 题 中有 一 道 应 用 问 题 问 某 地 为促 进 淡 水 鱼 养 殖 业 的 发 展
, ,

,

Λ

.

.

1 !

.

. 1 22

.

题 的情 景 是

将价

7
Λ

格 控 制 在适 当范 围 内
)

决定对淡 水鱼 养殖提供政府 补
8

2. 1 2 22! + 22 ! 2 ! 1

2. . 22 # # 22
/

22!

2

# !

7


7

设 淡 水鱼 的 市 场 价 格 为
)

元Γ 千克

,

政府 补贴 为
,



222 1 22#

2 22

22 #

2 2#

元Γ 千克

根据 市 场 调 查


,

当 2 落二毯 州 时

淡水 鱼的

7
( 乙

2
22 ! ! 21 1 2 ! + 21 + + 21 + +1 2+ 1 # 2 2 #2 2 2 2 . ! 魂 + . ! Ο . + + # + . 1 2 + ! 2 2 2 2 # + . . + +1 ! + 2 +1 # 2 2+ 2

.

市场 日 供 应 量 足 关系
Η一 ΔΙ #

千 克与市场 需 求 量 Δ 千 克 近 似地 满
7
Λ

! 2 !

!

! # 21! Μ Ν 雄 21+ +

2

8

& 7一 2 (
8



(

2
8

,

7

(
+

(
)

,

! 2 21+

! . 21 + +# 2#

Λ

了+ 一

一2 (



2



(

21 + 2#. +2 2! ! #+ 2

21 ! +! 2# . +. 2 # #1 . + +

7
)

++
2# # # 2 # . 1 22# + . ! 2

当 尸 一 Δ 时 的市 场 价 格 称 为市 场 平 衡 价格





请 在 一 个 坐标 系 下 画 出 这 个 问 题 的供 需 曲线 应 曲线 包 括
,



7
Λ

# !

7

一 。



7一

>

。两

种 情 况 ( 仿 照 上 面第 二

,

2 1

段 描 述 出这 个 问题 中 供 需 双 方 在 政 府 补 贴 下 的 受 益

7


度 ,雌 沙

情况

/

1

7

! 1 . +2 +2 . ! 2 1

(

)

如 果政 府干预 市场的 方 式为给 需 求方 补贴
,

Λ

2## ! 2 . +1 # . ! 2 2. ! 2

21

2
+

即需 求 方 每 消 费一 个 单 位 的 商 品 量 政 府 补 贴

>

)

元 请

7


在一 个 坐 标 系 中 画 出 补 贴 前 后 的 供 应 曲线 和 需 求 曲

. +



肇 馨

线 补 贴下 供 需 双 方 受 益情 况 是 怎 样 的 0 ( ! 如果 政府通 过 税收干 预 市场 请讨 论与 其相
, ,

,

7


#
. ! . +

.

7


2

适应 的 供需关 系曲线的 变 化 以 及 供应方与需求 方在
、 )

22

2
!

2

. ! 连

2

# ! 1

政 府 干预 下 的 收益 支 出情 况


7




满分

分( 表

的 数 据 记 录 了在 某 个 航 线 上

21 1

2

#

2

+

网址

Α8 9 9

心;

= Χ < >

4

?

=>

= :

7

:

=

)

+

电子 信箱

Α8 9 9

Β: ;

= Χ < >

4 ?

= >

)

= :

7£

=

中学生数 学

年 月上
续表

第!

# 期【 高中


+2 2 ! 21 1 ! 2+ 2 + # 2 ! 2 #. ! 2 # 1 ! 2 1! ! 2 ! 2 2 #+ ! 2 2 1 + . 2 + ! + +2 + . + . + # + + # ! . 1 . ! + 2 +理 2 1 # 2 ! 2 #. ! 2 # ! ! !
)





”,

的 甲 胎 蛋 白诊 断 肝 癌 其 效 果 差 的 原 因 是 不

’ ,

,

Μ

Ο 22

+ 2 #+

++ 2 #1 2 . 2 !

+1 + #2

#

患 肝 癌 的 病 人 在 总人 管其中有 .
,

中占的 比 例极大 . , 呈
, ‘

,

)

1 , . ,

)

尽 的



,







但 仍有

&



)



7 刀 7


1

人 数 量 远 比 患 肝 癌 的 人数 要 多 得 多 从 而 造 成 上述 结
)

2 ! 2 # !

+

果 因此 只看 这 一 个 指 标 是 无 法 诊 断肝 癌 的 医 学 上
2
)

,

)

2

! 2 +2 ! 2# ! ! +

要 用 别 的 办 法 或 观察 多个 指 标 三 解 + ,


2+ 1 ! 21 ! ! ! 1 魂

7


! 21 ! 2 ! 22

如 果 做 三 年 期 定 期存 款 利 息 从 原 来 的
!
)

,

2 #! ! 21 ! + !

2 1! ! 2 . +1

上升至
22 #
)

. , 1
,

,

)

那么 税后 利息也会 从
2
,
)

1



7
Λ

上升至

1

元 多出


,

21 !

2 11 ! 22 + 2. 2 + + . 1 + . + 22 # # # ! +1 1 2 1 + #

根 据 储 蓄 条 例规 定 支 取 未 到 期 的 定 期 存 款 存 期
#2

7


2

!

#

#1

!

无 论 长 短 银 行 只能 按 每 年

,

)

,

的 活期 利 率 付 息 这
)

,

2 . + +

2. 1 + 2. +

2 . + + . + . ! + ! !

意 味 着 办 理 转 存 也 需 要 付 出 一 定 的成 本 而 此 成 本 的
)

+ . + . + . + 2 # +1

Λ

2 . + . + . ! + +

#

高 低 则 取 决 于存 款存 人 时 间的 长 短 为 了方 便 我 们 设 储 户 的 存 款 日 期 为 距 月
2
. .
,

1

7
Π

年 年

2 2

2
+

. + . + 2 # # #

2

日前
)

>

天 三 年期 的 比较 获利 的 日期 为 .

)

7
Λ





. ++ #

2 . + + # 1

如果
日前
,

1



2



.

日 不 转存 距

,

.



2



.
)

7






三年 定 期 到 期 Θ ( 本 息 转 存 新 三 年 期 定 期
!

22 2 + #2

1 . + # ! 2

7


这 样 按 定期 三 年 的 每 天 平 均 收 益 为 计算 在 息收 益 为
, ! ‘ ! ‘ +
,

年 收益 的



1! ! # +2

.

7
Λ



2

月 .

日那 一 天 可 以 得 到 的 税 后 利

,

#

, & 年
2



1

6

! 6

!

1 .


月 .
日那 一 天
,

, ,

2

,
)

参考答案
一 解 图
+


如果 样在
,

1

日本息转 存三 年期 定期



.



2

月 .

可 以 得到 的税后 利息

( 三视 图
,

图 ( 所对应 的 物件 不 唯 一
)

收益 为
,

是 其 中 的 一 个 也 是 体积 最 小 的一 个

“&
( 一 ,






( 图
#
,

+

所 示 的物件 它
,

澎 季
&
’ ,




)

6

4

,

又2

,

,“& ! 6 !

1 .

,

6

2

,



! 丫 ! ‘

+

,

& ‘

1

只 ! 6

!

1.


,
‘ “ 5

, ,

毛2

,

,

“&
)


6 2

6

5

, ,

& ! 6 !
)

1.

,
)

, ( 一
1#
)

,

,峨 崖 沙
)

即 解得
>

1

&
#+
)

2

>

毛2 2#

)

1



#>

,

的 三 视 图为 题 目所 示 三 视 图 图 ( 所 对应 的物件 不唯 一
, ,



#
,

天(
,

这 个 结 果说 明 如 果 在 2
,

2

月 .

日 的前

+ 天! #



图 # 是 其中 的 一 个 也 是 体积 最小的一个 它 由 体组 成 体 积 为 二 解
)

日 ( 之 内存 过 一 笔 钱 则 在 2 月 .

日转 存 新 三 年 期
,

,

.

个 小立 方

)

的收 益 实 际 高 于 到 期 再 转 存 的 收 益 故 有 必 要 做 转
)

,

.





肇 靡 豁

存 而

!

月 2

日 之 前 的 情 况 则 相 反 应 当不 做 转 存
, “

,

)



上述 的 分 析 和 计

同理 可 以 算 出 如 果 一 个 人 对 自 己 的钱 长 期 以 整 存 整取 一 年 期 的 方式 存 款 或长 期 以 整 存 整取
” , “ ”

算 没有 错 误 用 使肝 癌 病 人 . # ,


五年





使非 肝 癌 的 人 . ,

期 的 方 式存 款 转 存 收 益 高 于 不 转 存 的 分 界 日 期 分 别

,

网址

Α8 9 9

)

:

; 9= > <

4 。

扭>

= :

充:

=

)

#

电子 信 箱

Α8 9 9

Β:

;

= Χ

< >

4 ?

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= :

7‘

=


是 月
.

与建 模
1



1



1 .

日 2 月 日的前

. #!

日的 前 # + 天 ( 和

#



日 2 月


天(

)





(

淡 水 鱼 问题 的 供 求 关 系 曲 线 可 以 如
.
,

下 表示 因 为 政府 补 贴
,

买 鱼 的人 们 减 少 的支 出 量 是 区 域
)

2

圈 的 面 积 卖 鱼 方增 加 的 收 益 量是 区 域 圈 的 面 积
价格
1

1 #吃 资 争 +

鲤噢夔夔细苏赢 一

。 。。 ‘

/



! Δ

场 给需 求 方 以 补 贴 一 个 单 位 的 商品 量 补 贴 为
>

,


(
, , ,





1

#夏 (



#

#

!

! # (

如果政府干预市



元 那

么需 求 曲线 将 向 上 平 移 平 移长度 为
)

蘸蘸

摹 蘸

,

飞 机 飞行 的最 后 的 # 1
)

分 钟 内飞 机飞 行 的速度 是 千米Γ 小时减 小



,

则 出现 新 的 平
7。
,

逐渐减小的 从 到
# 。

+
)

+ 分时 的速度 . !

鬓蒸蘸Ρ Ρ

衡点 这 时 的 商品 价格是 商 品 交易 量 是
。 、 ,

飞机 着 陆 这 段 时 间 飞 机 飞 行 的水 平 速 度 的
)

显 然 商品

变化 可 以 近 似 地看 成 是 匀 减 速 的 在其 余 的 时 间 即 ! #
,

的 总 交 易 额 中除 去 政 府 补
)

。一

1 一
2

#1

一 1 2 分钟的 时间

贴 需 求 方 总 支 出额 是 区 域 网 的面 积 供 需 双 方 均 从 政 府 提 供 的 补贴 中受 益 因 为政 府 补 贴 需 求 方 减 少 的 支 出量 是 区 域 圈 的 面 积 供 应 方 增 加 的 收 益量 是 区 域 皿
)

内 飞 机 飞 行 的 速 度 基本 上 是 在 米Γ 小时之间
,

千米 Γ 小时 一.

千 千

,

,

这 时 可 以 近 似 地 认 为大 约 是 以 2
)

,

的面 积
( !

米Γ 小 时 的 速 度 匀速 向 前 飞 行 的
( !

政 府 对市 场 的 税
,

方法

飞 行 的 里程 大 约 是

收 干 预方 式 如 果 政 府 向 供 应 方 收税 一 个 单 位 的 商 品 量税 收为
Σ元
, , ,

Τ

Γ Γ Γ,



Τ Τ 公 吮、 Τ 、 卜、ΤΤ

则供 应 曲 线
Σ

将 向上 平 移 平 移 长 度 为
( 图2
,

输祥
… 瓢鬃蘸Υ Υ
黝 蘸纂黔 Ρ

2

Γ Γ尸

Γ洲夕 夕



6

2. # 6



&2 46

蓄音
, ,

&

6 . !

6


.

七+ #

+

千米 (

)

方法

根 据速 度图 在

.

# 一+

+ 这段时间内 # 一
#

飞 机 的速 度 是 变化 的 可 以 认 为 在
,

这 1
,

/

如 果 政府 向需 求方

分钟 飞 机 作 匀 减 速 飞 行 速 度 达 到 . 作匀加速 飞 行 + . 分钟于 时 然后又 匀 减速 2 1
, ,

千米 Γ 小时 再
.

收 税 一个 单位 的 商 品 量 税 收 为 Σ 元 则需 求 曲线 将 向
,

1 速度达 到 +

+ 千 米Γ 小
2+ 1

分钟 于 ! 分钟到
)

速 度达 到
+



, 心 母 沙 本


下 平移 平 移 长 度为 Σ 图
( .
)

,

米Γ 小 时 再 匀加 速 飞 行
,

+ 速度 达 到 . !

供 应 方减 少 了 收 益 减
, ,

,

千米 Γ 小时 最 后匀 减 速 飞 行 到 着陆 飞 行 的 距 离 也 可近 似 计 算 为
2. #
一又 一 乙


少 量 是 区 域 目 的 面 积 需求 方 增 加 了支 出 增 加 量 是 区
)

域 圈 的 面积 五 解


1
5

)

2. #

&
下 了一 乙

.
一一



,

1
二丁

,

.
Ω

& . +




下 二刃 一卜

Π

( 根据 表 Μ







6

ΣΠ



.

. +

& 2 +1

所 给的 数据 可 以 绘 出 飞 机
)

6

筋十

2 +1 十 . !

6

丽& 苛

—器
. ! 丫
,

筋&

一‘ ! . 千米 #

飞 行 的速 度 图 如 图

注 由 于 在 近 似 计算 时 采 用 的 方 法 不 同 不 同 方 法 的结 果 也 不 一 样
+连 仁
, ,

,

馨 摹 臀
1

(

由所 绘 制 的 速 度 图 可 以 看 出 飞 机 在 起 飞 的 前
,

如果算法合理
)

并 且 计算 结 果 在

分钟 的 时 间 内 飞 机 的 速 度 是 逐 渐 增 加 的 即从

.

!



〕 内 都算正 确

,

网址

Α8 9 9

:

= ; Χ

< >

4 ?

= >

一= :

7

£=

1

)

电 子信 箱

8 9 ,

= Β: ; Χ

< >

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一=

:

7£

=


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