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广东省华南农业大学附中2014届高考数学一轮复习 数列单元精品训练 新人教A版

时间:2015-03-20


单元精品训练:数列
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两 部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知等比数列

?an ? 中,公比 q ? 0, 若 a 2 ? 4,

则 a1 ? a2 ? a3

有(

)

A.最小值-4 B.最大值-4 C.最小值 12 D.最大值 12 【答 案】B 2.在等差数列{an}中,已知 a5=3,a9=6,则 a13=( ) A.9 B.12 C.15 D.18 【答案】A 3.已知等差数列共有 10 项, 其中奇数项之和 15,偶数项之和为 30,则其公差是( ) A.5 B.4 C. 3 D.2 【答案】C 4.从集合{1,2,3……,20}中任选 3 个不同的数排成一个数列,则这个数列为等差数列的 概率是( ) A.

1 76

B.

1 38

C.

1 19

D.

2 19

【答案】B 5.在等比数列 ?an ? 中, a7 ? a11 ? 6, a4 ? a14 ? 5 ,则 A.

a 20 ?( a10

)

2 3

B.

3 2

C.

2 3 或 3 2

D. -

2 3 或- 3 2

【答案】C 6.已知等差数列{an}中,a7 + a9 = 16,a4 = 1,则 a12 的值是( A.15 B.30 C.31 【答案】A

) D.64

2n 7.已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, , 且 a5 a2 n ?5 ? 2 (n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log 2 a1 ? log 2 a3 ?

? log 2 a2 n ?1 ?

(
2

) C. n
2

A. n(2n ? 1) 【答案】C

B. (n ? 1)

D. (n ? 1)

2

8.在等差数列 {an } 中,设 Sn 为其前 n 项的和,已知

a2 1 S ? , 则 4 等于( a3 3 S5
D.

)

A.

8 15

B.

40 121

C.

16 25

5 7
) , 则 { An }
1

【答案】A 9. 设 {an } 是各项为正数的无穷数列,Ai 是边长为 ai , ai ?1 的矩形面积 ( i ? 1, 2,

为等比数列的充要条件为( A. {an } 是等比数列。 B. a1 , a3 , C. a1 , a3 , D. a1 , a3 , 【答案】D 10.设等差数列 于( ) A.6 【答案】A

)

, a2n?1, , a2n?1, , a2n?1,

或 a2 , a4 , 和 a2 , a4 , 和 a2 , a4 ,

, a2n , , a2n , , a2n ,

是等比数列。 均是等比数列。 均是等比数列,且公比相同。

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a3 ? a7 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等
B.7 C.8 D.9

11.在等比数列 ?an ? 中, a20 ? a21 ? 10 , a22 ? a23 ? 20 ,则 a24 ? a25 =( A.40 【答案】A B.70 C.30 D.90

)

12.一个样本容量为 9 的样本数据,它们组成一个公差不为 0 的等差数列 ?an ? ,若 a3 ? 8 , 且 a1 , a3 , a7 成等比数列,则此样本的中位数是( A. 12 【答案】A B. 13 C. 14 ) D. 15

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 2 13.已知不等式 x -2x-3<0 的整数解构成公差为负的等差数列{an}的前三项,则数列{an} 的第四项为 . 【答案】-1 14. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 则 S4 ,S8 ? S4 ,S12 ? S8 ,S16 ? S12 成等差数列. 类 比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , 数列. 【答案】 , ,

T16 成等比 T12

T8 T12 , T4 T8

15.数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和为 【答案】1830

16.已知数列

a0 , a1 , a2 ,...,an ..., 满足关系式 (3 ? an?1 )(6 ? an ) ? 18 且 a0 ? 3 ,则 i ?0

?a

n

1
i



值是____________ 【答案】

2 n? 2 ? n ? 3 3
2

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤) 17.已知等比数列{an}中, a1

? 0,a n?1 ?

1 . 2 ? an

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,证明: S n

? n ? ln(n ? 1) ;

9 n 3 b ? a ( ) | b ? b | ? . n (3)设 n ,证明:对任意的正整数 n、m,均有 n m 10 5
【答案】 (1)因为

1 a n?1 ? 1

?

1 1 ?1 2 ? an

?

2 ? an 1 ? ?1 ? an ? 1 an ? 1

所以

1 1 ? ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n a n ? 1 a1 ? 1
1 n

所以 a n ? 1 ?

(2)设 F ( x) ? ln(x ? 1) ? x( x ? 0) 则 F ( x) ?

1 ?x ?1 ? ? 0 ( x ? 0) x ?1 x ?1

故 F ( x) ? F (0) ? 0,所以ln(x ? 1) ? x ( x ? 0)

1 1 1 1 ) ? ,1 ? ? 1 ? ln(1 ? ) n n n n 1 所以 a n ? 1 ? ? 1 ? ln( n ? 1) ? ln n n
所以 ln(1 ? 所以 S n ? (1 ? ln 2 ? ln1) ? (1 ? ln 3 ? ln 2) ? ? ? [1 ? ln(n ? 1) ? ln n]

S n ? n ? ln(n ? 1) 分
(3)因为 bn ?

n ?1 9 n ?( ) n 10

bn n ? 1 n ? 1 10 n 2 ? 1 10 所以 ? ? ? ? ? bn?1 n n 9 9 n2


bn n 2 ? 1 10 ? ? ? 1时,n ? 10即n ? 4 bn?1 9 n2 bn n 2 ? 1 10 ? ? ? 1时,n ? 10即n ? 3 bn?1 9 n2



3

所以 b1<b2<b3<b4>b5>b6>…… 又因为 n ? 2时,bn ? 0,并且b1 ? 0,所以 0 ? bn ? b4 所以对任意的正整数 n、m,均有|bn-bm|的最大值为

3 9 19683 24000 3 ? ( )4 ? 0 ? ? ? 4 10 40000 40000 5 3 所 以对任意的正整数 n、m,均有|bn-bm|< 5 b4 ? b1 ?
18.已知数列|an|的前 n 项和 Sn ? kcn ? k (其中 c ,k 为常数) ,且 a2=4,a6=8a3 (1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn。 【答案】(1)当 n ? 1 时, an ? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 ) 则 an ? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 )

a6 ? k (c6 ? c5 ) , a3 ? k (c3 ? c2 )

a6 c6 ? c5 ? 3 2 ? c3 ? 8 ,∴c=2.∵a2=4,即 k (c2 ? c1 ) ? 4 ,解得 k=2,∴ an ? 2n (n)1) a3 c ? c
当 n=1 时, a1 ? S1 ? 2 综上所述 an ? 2n (n ? N * ) (2) nan ? n2n ,则

Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ?

? n2 n (1) ? ( n ? 1)2 n ? n2 n ?1 (2)

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ?

(1)-(2)得

?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? Tn ? 2 ? (n ?1)2n?1

? 2n ? n2n?1

19.设数列 {an } 是等比数列, Tn ? na1 ? (n ?1)a2 ?

? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1, T2 ? 4 ,

(1)求数列 {an } 的首项和公比; (2)求数列 {Tn } 的通项公式。 【答案】 (1) ?

? T1 ? a1 ? 1 ? a ?1 ?a ? 1 ? q ? 2?? 1 ?? 1 ?q ? 2 ?T2 ? 2a1 ? a2 ? 4 ?a2 ? 2

(2) an ? 2n?1 ,

Tn ? n ?1? (n ?1) ? 2 ? (n ? 2) ? 22 ?

? 2 ? 2n?2 ? 1? 2n?1
4

2Tn ? n ? 2 ? (n ?1) ? 22 ? (n ? 2) ? 23 ?
两式相减: Tn ? 2n?1 ? n ? 2

? 2 ? 2n?1 ? 1? 2n

20.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5,S15=225。 (1)求数列{an}的通项 an; (2)设 bn= 2 +2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 【答案】 (1)设等差数列{an}首项为 a1,公差为 d,由题意,
an





解得

,∴an=2n-1 ;

(2)





=

2n?1 an 21.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? ( n ? N ? ). an ? 2n
(1)证明:数列 ?

(2)求数列 ?an ? 的通项公式 an .

? 2n ? ? 是等差数列; ? an ?

2n ?1 2n 2n ?1 2n an ?1 an 【答案】 (1)由已知可得 n ?1 ? ,即 ? ? 1,即 ? ?1 2 an ? 2n an ?1 an an ?1 an
∴ 数列 ?

? 2n ? ? 是公差为 1 的等差数列 ? an ?

(2)由(Ⅰ)知

2n 2n 2 a ? ,∴ ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 n n ?1 an a1

22.数列 {an } 中, a1 ? 3 , an ? an?1 ? 2n ?1 ? 0. (n ? N ? 且 n ≥ 2) (1)求 a2、a3 的值; (2)证明:数列 {an ? n} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式;

5

(3)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn . 【答案】 (1)

a1 ? 3 , an ? an?1 ? 2n ?1. (n ? N ? 且 n ≥ 2)

? a2 ? ?a1 ? 4 ? 1 ? ?6

a3 ? ?a2 ? 6 ? 1 ? 1
(2)证明

an ? n (?an?1 ? 2n ? 1) ? n ?an?1 ? n ? 1 ? ? ? ?1 (n ≥ 2) an?1 ? (n ? 1) an?1 ? n ? 1 an?1 ? n ? 1

? 数列 {an ? n} 是首项为 a1 ? 1 ? 4 ,公比为 ?1 等比数列 ? an ? n ? 4 (?1)n?1
即 an ? 4 (?1)n?1 ? n

? {an } 的通项公式是 an ? 4 (?1)n?1 ? n (n ? N ? )
(3)

an ? 4 (?1)n?1 ? n (n ? N ? )
? an ? [4(?1)n?1 ? n] ? n)

Sn ? a1 ? a2 ?

? [4(?1)0 ?1] ? [4(?1)1 ? 2] ? [4(?1)2 ? 3] ? ? 4[(?1)0 ? (?1)1 ? (?1)2 ?
? 2[1 ? ( ?1) n ] ? n( n ? 1) 2

? (?1)n?1 ] ? (1 ? 2 ? 3 ?

6


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