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双曲线的定义及其标准方程(优秀)

时间:2017-11-07


双曲线及其标准方程

复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
2. 引入问题:

Y

/>M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

①如图(A), |MF1|-|MF2|=常数 ②如图(B),
|MF2|-|MF1|=常数

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 常数 (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

双曲线在生活中 ☆.☆

双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.

| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
说明 思考: (1)2a< |F1F2| ; (2)2a >0 ;
F1 o F2 M

(1)若2a= |F1F2|,则轨迹是? (1)两条射线 (2)若2a> |F1F2|,则轨迹是? (2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是? (3)线段F1F2的垂直平分线

如何建立适当的直角坐标系?
? 探讨建立平面直角坐标系的方案 y y y y

M
y

F O1

O

O

F2x xx

O

x

O

方案一

x

方案二

原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单; (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段 所在的直线作为坐标轴.) (对称、“简洁”)

双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 1. 建系.

y
M

以F1,F2所在的直线为x轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点. 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式

F1

O

F2

x

|MF1| - |MF2|=±2a


4.化简

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

? ( x ? c)

2

?y

2

? ? ?? 2a ?
2

( x ? c) ? y
2

2

?

2

cx ? a 2 ? ? a ( x ? c) 2 ? y 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2
x2 a2

? b 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

y2

此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程

若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M

y
M F2 x

F1

O

F2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? ? 1 2 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

看 x , y 前的系数,哪一个为正, 则在哪一个轴上

2

2

2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?

学习小结:
双曲线定义 | |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

双曲线图象
F1 o F2

x
F1

x

标准方程 焦点
a.b.c 的关系

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2

2

2

c ?a ?b
2

双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

练习巩固:

双曲线及其标准方程(一)
2 2

x ? y ?1 1. 过双曲线 的焦点且垂直x轴的弦的长度 3 4 8 3 为 . 3 6 (0,? ) 2 2 2. y -2x =1的焦点为 2 、焦距是 6 .
3.方程(2+?)x2+(1+?)y2=1表示双曲线的充要条件 -2<?<-1 是 .

练习巩固:

下列方程各表示什么曲线?

(1)

( x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y ? 4
2 2 2 2

方程表示的曲线是双曲线

(2)
(3)

( x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y ? 5
2 2 2 2

方程表示的曲线是双曲线的右支

( x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y
2 2 2

2

?6

方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点, 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。

题型二
例2

利用双曲线的定义求轨迹问题 动圆 M 与圆 C1 : (x + 3)2 + y2 = 9 外

切,且与圆 C2: (x - 3)2 + y2 = 1 内切,求动 圆圆心M的轨迹方程.

【解】 ∵圆 M 与圆 C1 外切,且与圆 C2 内切, ∴ |MC1|= R+ 3, |MC2|= R- 1, ∴ |MC1|- |MC2|= 4. ∴点 M 的轨迹是以 C1、 C2 为焦点的双曲线的右支, 且有 a=2, c=3,b2= c2- a2=5, x 2 y2 ∴所求轨迹方程为 - = 1(x≥2). 4 5

【名师点评】

利用定义法求双曲线的标

准方程,首先找出两个定点 (即双曲线的两
个焦点 );然后再根据条件寻找动点到两个

定点的距离的差(或差的绝对值)是否为常数,
这样确定 c 和 a 的值,再由 c2= a2 + b2求 b2 , 进而求双曲线的方程.

例 1 已 知 两 定 点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程.

解: ∵ F1F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

变式训练 1:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足

PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 解: ∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6
∴ 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x y ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
课本例2
2 2

解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.

例3.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹 爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮 弹爆炸点的轨迹方程.

如图所示,建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上,并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y), 则 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680 A o B x 即 2a=680,a=340 ? AB ? 800 ? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c 2 ? a 2 ? 44400 ? 800 ? PA ? PB ? 680 ? 0 , ? x ? 0 x 2 y2 ? ? 1( x ? 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400

思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.

思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差,可以确定爆炸点在某条曲线上,但不能确定 爆炸点的准确位置 . 而现实生活中为了安全,我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
答:再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两处 测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方 程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

x y 例2:如果方程 ? ? 1 表示双曲 2? m m ?1 线,求m的取值范围.

2

2

解: 由(2 ? m)(m ? 1) ? 0 得m ? ?2或m ? ?1 ∴ m 的取值范围为 (??, ?2) ? (?1, ??)
思考: 2 2 方程 x ? y ? 1 可以表示哪些曲线? 2? m m ?1
_____________.

题型三 双曲线定义的应用
2 y 例3 设 P 为双曲线 x2- =1 上的一点,F1,F2 是该双曲 12

线的两个焦点,若 |PF1|∶ |PF2|= 3∶2,求△PF1F2 的面积.

【解】

已知得 2a=2,

又由双曲线的定义得 |PF1|- |PF2|= 2, ∵ |PF1|∶ |PF2|= 3∶ 2,∴ |PF1|= 6, |PF2|= 4. 又 |F1F2|= 2c=2 13, 62+42- 52 由余弦定理,得 cos∠ F1PF2= = 0, 2×6×4 ∴三角形 F1PF2 为直角三角形. 1 S△ PF1F2= × 6× 4= 12. 2

【名师点评】

双曲线的定义是解决与双

曲线有关的问题的主要依据,在应用时,

一 是 注 意 条 件 ||PF1| - |PF2|| =
2a(0<2a<|F1F2|)的使用,二是注意与三角形

知识相结合,经常利用正、余弦定理,同
时要注意整体运算思想的应用.

跟踪训练
x 2 y2 3.设双曲线 - = 1,F1、F2 是其两个焦点,点 M 在双曲 4 9 线上. (1)若∠F1MF2= 90° ,求△ F1MF2 的面积; (2)若∠F1MF2= 60° 时,△ F1MF2 的面积是多少?

解:(1)由双曲线方程知 a=2,b= 3, c= 13, 设 |MF1|= r1, |MF2|= r2(r1> r2). 由双曲线定义得 r1- r2= 2a= 4,
2 两边平方得 r2 r2= 16, 1+ r2- 2r1· 即 |F1F2|2- 4S△ F1MF2=16,即 4S△ F1MF2=52- 16,

∴ S△ F1MF2=9. (2)若∠ F1MF2= 60° ,在△ F1MF2 中,
2 由余弦定理得 |F1F2|2= r2 , 1+ r 2- 2r1r2cos 60° |F1F2|2= (r1- r2)2+ r1r2,∴ r1r2= 36, 1 则 S△ F1MF2= r1r2sin 60° = 9 3. 2

方法感悟

1.对双曲线定义的理解

双曲线定义中 ||PF1| - |PF2|| = 2a(2a<|F1F2|) ,
不要漏了绝对值符号,当 2a= |F1F2|时表示两 条射线.

解题时,也要注意“绝对值”这一个条件,

2.双曲线方程的求法

求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量
”.“定位”是指除了中心在原点之外,判

断焦点在哪个坐标轴上,以便使方程的右边
为1时,确定方程的左边哪一项为正,哪一项 为负,“定量”是指确定a2,b2的值,即根据 条件列出关于 a2 和 b2 的方程组,解得 a2 和 b2 的 具体数值后,再按位置特征写出标准方程.

易错警示

双曲线定义运用中的误区

精彩推荐典例展示
例4
x 2 y2 设 F1、 F2 是双曲线 - =1 的焦点,点 P 在双曲 16 20

线上,若点 P 到焦点 F1 的距离等于 9,则点 P 到焦点 F2 的 距离是 ( A. 1 C. 1 或 17 ) B.17 D.不存在

【 常见错 误 】

(1) 利用 双 曲线 定义 ||PF1| -

|PF2||=8求|PF2|时,易忽略绝对值号,而错选 A. (2)根据双曲线的定义可得到答案C,但由于双 曲线上的点到双曲线焦点的最小距离是c-a= 6-4=2,而|PF2|=1<2,不合题意,所以应 该舍去,造成错误的原因是忽略双曲线的相 关性质,没有检验 |PF1| +|PF2|= 10 < |F1F2| 造

成的.

【解析】

双曲线的实轴长为8,由双曲线的定

义得
||PF1|-|PF2||=8,

所以|9-|PF2||=8,
所以|PF2|=1或17. 因为|F1F2|=12,当|PF2|=1时, |PF1|+|PF2|=10<|F1F2|, 不符合公理“两点之间线段最短”,应舍去. 所以|PF |=17.

【失误防范】

运用双曲线的定义解决相

关问题时, (1) 不能忽略“绝对值”号,以 免造成漏解, (2) 求出解后,要注意检验根 的合理性,以免出现增根.

跟踪训练
x 2 y2 4.已知双曲线 - =1. 36 45 (1)求此双曲线的左、右焦点 F1, F2 的坐标; (2)如果此双曲线上一点 P 与焦点 F1 的距离等于 16,求点 P 与焦点 F2 的距离.

解:(1)根据双曲线的标准方程可知, 此双曲线的焦点在 x 轴上, 且 a2= 36,b2= 45, 于是有 c2= a2+b2= 36+45= 81,所以 c=9, 焦点 F1, F2 的坐标分别为 (9,0), (- 9,0). (2)因为点 P 在双曲线上, 所以 ||PF1|- |PF2||= 2a.由 a=6, |PF1|= 16, 得 16- |PF2|= ± 12. 因此, |PF2|= 4 或 |PF2|= 28. 因为 |PF2|+ |PF1|=20 或 44> |F1F2|, 所以 |PF2|= 4 或 |PF2|= 28 均合理.

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