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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 理


【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第三章 导数及其 应用 3.2 导数的应用 理

1.函数的单调性 在某个区间 (a , b) 内,如果 f′(x)>0 ,那么函数 y = f(x) 在这个区间内单调递增;如果

f′(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减.
2.函数的极值 一般地

,当函数 f(x)在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函 数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数 f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有 f′(x)>0.( × ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)=0,则 f(x)在此区间内没有单调性.( √ (3)函数的极大值不一定比极小值大.( √ ) (4)对可导函数 f(x),f′(x0)=0 是 x0 点为极值点的充要条件.( × ) )

(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( √ )

1.函数 f(x)=x -2ln x 的单调递减区间是__________. 答案 (0,1) 2 2?x+1??x-1? 解析 ∵f′(x)=2x- = (x>0).

2

x

x

∴当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. 2.已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=3,且 f(x)的导数 f′(x)在 R 上恒有

f′(x)<2(x∈R),则不等式 f(x)<2x+1 的解集为____________.
答案 (1,+∞)

1

解析 令 g(x)=f(x)-2x-1,∴g′(x)=f′(x)-2<0, ∴g(x)在 R 上为减函数,且 g(1)=f(1)-2-1=0. 由 g(x)<0=g(1),得 x>1. 3.函数 f(x)=x -3x +1 在 x=________处取得极小值. 答案 2 解析 由题意知 f′(x)=3x -6x=3x(x-2),令 f′(x)=0 得 x=0 或 2,由 f′(x)>0 得
2 3 2

x<0 或 x>2,由 f′(x)<0 得 0<x<2.∴f(x)在 x=2 处取得极小值.
4.(教材改编)如图是 f(x)的导函数 f′(x)的图象,则 f(x)的极小值点的个数为________.

答案 1 解析 由题意知在 x=-1 处 f′(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正. ln x ln x 2 ln x 5.设 1<x<2,则 ,( ) , 2 的大小关系是__________________.(用“<”连接)
2

x

x

x

ln x 2 ln x ln x 答案 ( )< < 2

2

x

x

x

解析 令 f(x)=x-ln x(1<x<2), 1 x-1 则 f′(x)=1- = >0,

x

x

∴函数 y=f(x)(1<x<2)为增函数, ln x ∴f(x)>f(1)=1>0,∴x>ln x>0? 0< <1,

x

ln x 2 ln x ∴( )< .

x
2

x



ln x

2

x

ln x 2ln x-xln x ?2-x?ln x - = = >0, 2 2

x

x

x

ln x 2 ln x ln x ∴( )< < 2 .

2

x

x

x

2


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